PStricks : applications: La molécule de méthane avec pst-solides3d

Les fichiers à compiler :

http://manuel.luque.free.fr/Alkanes/Methane.zip

La molécule de méthane $\mathrm{CH_4}$ est constituée d'un atome de carbone placé au centre d'un tétraèdre régulier dont les sommets sont occupés par les atomes d'hydrogène. Déterminons l'angle entre deux liaisons $\mathrm{C-H}$ .
Nous représentons ci-après le tétraèdre $\mathrm{ABCD}$ dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux de côté $a$ . Sur la hauteur issue du sommet $\mathrm{D}$ sur la face $\mathrm{ABC}$ , le centre de gravité $\mathrm{G}$ est situé au quart de la hauteur en partant de la base $\mathrm{ABC}$ : $\mathrm{HG=\dfrac{HD}{4}}$ et au trois-quarts en partant du sommet : $\mathrm{DG=\dfrac{3}{4}DH}$ , on en déduit que $\mathrm{\dfrac{GH}{GD}=\dfrac{1}{3}}$ . $\mathrm{G}$ est équidistant des sommets~: $\mathrm{GA=GB=GC=GD}$ .

Afin de déterminer l'angle

$\alpha$ entre 2 liaisons, on dessine le triangle rectangle

$\mathrm{AHD}$ .

Dans le triangle rectangle (AHG), on a

$\cos\beta=\dfrac{\mathrm{GH}}{\mathrm{GA}}=\dfrac{1}{3}$ .

$\alpha=180-\beta=180-\arccos\left(\dfrac{1}{3}\right)=109,471^{\mathrm{o}}$

Si l'on prend comme unité la distance entre G et les sommets :

$\mathrm{GA=GB=GC=GD=1}$ , l'arête

$a$ du tétraèdre vaut :

$a=2\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1,63299$

La molécule de méthane a déjà été dessinée avec pst-solides3d, vous la retrouverez avec d'autres exemples de molécules dans la documentation du package, le code est écrit en postscript avec les macros spécifiques de pst-solides3d.pro écrites par Jean-Paul Vignault en utilisant la commande \codejps. Cette fois-ci ce sont uniquement les commandes de pst-solides3d.tex qui sont utilisées. Les différentes étapes :