Trou noir et géodésiques avec PSTricks

La revue “Pour la Science" propose sur le site : http://www.scilogs.fr/, un ensemble de blogs scientifiques dont les rédacteurs sont des collaborateurs attitrés ou occasionnels de la revue. Didier Nordon et Jean-Paul Delahaye comptent parmi ceux qui tiennent régulièrement une rubrique chaque mois dans la revue. Didier Nordon rédige le “Bloc-notes” où il note et commente des idées et des paradoxes d’une manière drôle et d’une écriture concise, c’est très instructif et on l’impression d’être plus intelligent après la lecture et de s’être bien amusé, de plus les textes sont éclairés par des dessins de Matyo, qui commentent très intelligemment et avec beaucoup d’esprit les réflexions  de Didier Nordon.
Jean-Paul Delahaye propose avec “Logique & Calcul", un rendez-vous avec les mathématiques. C’est souvent ardu, mais rigoureux, sans aucune concession avec des facilités de vulgarisation, l’écriture est plaisante et des schémas clairs et nombreux soutiennent le propos, c’est dans la continuité des articles de Martin Gardner auquel le dernier numéro de “Pour la Science"(Décembre 2014) rend hommage.
C’est le titre d’un article d’un autre auteur, Richard Taillet :
http://www.scilogs.fr/signal-sur-bruit/dessine-moi-un-trou-noir/
qui m’a rappelé le livre que Jean-Pierre Petit avait sobrement intitulé “Trou noir” et qui avait été publié vers 1980, par les éditions Belin sous l’égide de la revue “Pour la Science", il n’est plus réédité mais Jean-Pierre Petit met à la disposition des lecteurs tous ses ouvrages gratuitement et en plusieurs langues sur le site :
http://www.savoir-sans-frontieres.com/
Les “Aventures d’Anselme Lanturlu” se présentent comme des bandes dessinées, très bien dessinées, les dessins sont simples, plaisants et efficaces, où par le truchement d’un certain nombre de personnages comme Anselme Lanturlu, Sophie, Albert(Einstein), Léon le pélican toujours avec un cigare dans le bec, Tirésias l’escargot souvent la cible des remarques moqueuses de Léon, un oiseau coiffé d’une toque de professeur d’Oxford et d’autres, un grand nombre de thèmes scientifiques sont développés et illustrés.
Dans le “Trou noir”, Anselme Lanturlu et ses amis abordent le thème des géodésiques et du trou noir avec des explications lumineuses et des dessins très explicites.
Est-ce qu’il est possible de dessiner un trou noir et des géodésiques avec PStricks, dans les limites posées par Richard Taillet :
«Lorsqu’on cherche à dessiner une surface sur laquelle les distances obéissent à ces règles bizarres, on obtient des surfaces courbées, que l’on peut parfois visualiser dans un espace tridimensionnel. On dit qu’on a réalisé un plongement.
C’est notamment le cas pour le plan équatorial autour d’une masse sphérique et ce plongement est alors appelé un paraboloïde de Flamm. Son équation est donnée par z²= 4a(r −a) où r désigne la coordonnée radiale, qu’on mesurerait dans le plan équatorial avec une règle usuelle, et a une distance appelée le rayon de Schwarzschild et proportionnelle à la masse du corps central responsable de la courbure. »
Bien sûr des logiciels de calcul scientifique comme Maple ou Mathematica sont plus adaptés à ce type de représentation, comme, par exemple, l’a fait Jason Cantarella, avec Mathematica :
http://www.jasoncantarella.com/downloads/RelativityGeodesics.pdf
C’est plus long avec PSTricks, mais l’avantage(peut-être) c’est que l’on peut personnaliser ses schémas. Ce n’est pas interactif, mais on peut facilement réaliser des animations avec le package animate d’Alexandre Grahn.
La représentation du paraboloïde de Flamm ne pose aucun problème, en voici deux versions :

Pour les géodésiques, le package pst-ode permet de résoudre le système d’équations différentielles et de représenter des géodésiques du paraboloïde de Flamm..

 Une animation :

Le fichier source et le pdf sont dans le répertoire :

trou-noir

8 décembre 2014 :
Alexander Grahn, l'auteur du package pst-ode me rappelle, fort à propos, que  la commande \pstODEsolve possède une option  `AlgebraicOutputFormat'  permettant des expressions en notation infixée pour la composition de la liste des résultats : cela simplifie les calculs (postscript devient inutile).

%\pstODEsolve[algebraic]{

thetar}{0 1}{0}{8}{299}{\InitCond}{\Geodesiques}
    %\pstVerb{
    %    /tabthetarZ [thetar] def
    %    /XYZ  {
    %    0 2 tabthetarZ length 2 sub {/iC exch def
    %    tabthetarZ iC get /Theta exch RadToDeg def
    %    tabthetarZ iC 1 add get /radius exch def
    %    radius Theta cos mul
    %    radius Theta sin mul
    %    radius 1 sub sqrt 2 mul
    %    } for
    %    } def }%
    \pstODEsolve[algebraic,algebraicOutputFormat]{XYZ}{
      x[1]*cos(x[0]) |
      x[1]*sin(x[0]) |
      2*sqrt(x[1]-1)
    }{0}{8}{299}{\InitCond}{\Geodesiques}
    \listplotIIID[linecolor=red]{XYZ}}

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