lundi 29 mars 2021

Loxodromie et orthodromie avec PSTricks

 Ce projet a pour but de représenter et de calculer les routes loxodromiques et orthodromiques entre 2 villes du globe terrestre, celui-ci étant modélisé par une sphère de rayon 6378,137 km.
La documentation est très riche dans ce domaine et parfois contradictoire. Pour la théorie et les calculs, j'ai finalement retenu le document de Robert Rolland, intitulé ``navigation'' qui est sur le site de l'auteur :

http://robert.rolland.acrypta.com 

et qui présente un double avantage : la théorie est clairement exposée avec les problèmes inhérents aux calculs numériques et une application en java qui m'a permis (et vous permettra) de vérifier les calculs.

La commande \psOrthoLoxodrome[options] permet de représenter le globe, les villes de départ et d'arrivée, les trajets loxodromiques et orthodromiques, d'afficher les distances loxodromiques et orthodromiques en km et en milles, et le cap de départ dans les deux cas. 

Les options sont détaillées dans la documentation. Les fichiers sont accessibles ici dans une version dont les calculs ont été faits avec la package fp de Michael Mehlich :

http://manuel.luque.free.fr/pst-ortholoxodromie/pst-ortholoxodrome.zip

et dans une version dont les calculs ont été faits avec le package xintexpr de Jean-François Burnol :

http://manuel.luque.free.fr/pst-ortholoxodromie/pst-ortholoxodromie.zip 

ou

pst-ortholoxometrie

2 avril 2021 : correction de précision

Les 3 exemples suivants, ont été extraits de la documentation.




samedi 20 mars 2021

Projection stéréographique inverse de la spirale logarithmique

 C’est la réalisation d’Erik Mahieu avec Mathematica :

 https://demonstrations.wolfram.com/InverseStereographicProjectionOfTheLogarithmicSpiral/

qui m’a donné envie de réaliser quelque chose d’équivalent avec PSTricks. Bien sûr Mathematica possède des outils très puissants, ce qui n’enlève rien au talent d’ErikMahieu ainsi qu’aux très nombreux auteurs qui déposent leurs applications sur la plate-forme :

 https://demonstrations.wolfram. com/.

Deux commandes additionnelles à pst-solides3d ont été nécessaires : \listplotIIID[options], qui avait déjà été utilisée dans plusieurs exemples, comme :

http://pstricks.blogspot.com/2018/05/les-attracteurs-de-lorenz-rossler-et.html 

http://pstricks.blogspot.com/2012/10/swinging-atwoods-machine-animation-en-3d.html 

et \psInverseStereographicLogarithmicSpiral[options] qui est détaillée dans la documentation.

Les fichiers sont accessibles ici :

InverseStereographicLogarithmicSpiral.zip

ou sur Drive :

InverseStereographicLogarithmicSpiral.zip

Images extraites de la documentation :


 


 



En inversant les couleurs (avec The Gimp) l'image est plaisante :



lundi 15 mars 2021

Projection stéréographique inverse

Avec une sphère de rayon unité. $\Omega$ est le pôle nord. Le plan horizontal de projection est tangent au pôle sud.

\[
O \begin{pmatrix}
  0 \\
  0 \\
  0
 \end{pmatrix}
 \quad
 \Omega \begin{pmatrix}
  0 \\
  0 \\
  1
 \end{pmatrix}
  \quad
 A \begin{pmatrix}
  x \\
  y \\
  z
 \end{pmatrix}
 \quad x^2+y^2+z^2=1
  \quad
 B \begin{pmatrix}
  X \\
  Y \\
  -1
 \end{pmatrix}
  \quad
\overrightarrow{ \Omega A} \begin{pmatrix}
  x \\
  y \\
  z-1
 \end{pmatrix}
  \quad
\overrightarrow{ \Omega B} \begin{pmatrix}
  X \\
  Y \\
  -2
 \end{pmatrix}
\]
\[
\overrightarrow{\Omega A}=k\overrightarrow{\Omega B} \Longleftrightarrow
\begin{pmatrix}
  x \\
  y \\
  z-1
 \end{pmatrix}
 =k
 \begin{pmatrix}
  X \\
  Y \\
  -2
 \end{pmatrix}
\]

Le problème posé est le suivant : on donne les coordonnées d'un point $B$ du plan $z=-1$, il faut en déduire les coordonnées du point $A$ de la sphère $x=f(X,Y);y=g(X,Y);z=h(X,Y)$.
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
  x=kX\\
  y=kY\\
  1-z=2k
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\begin{array}[m]{l}
  x^2+y^2=k^2(X^2+Y^2)\\
  k=\dfrac{1-z}{2}
\end{array}
\]
Sachant que $x^2+y^2=1-z^2$ on a, en remplaçant :
\[
1-z^2=\frac{(1-z)^2}{4}(X^2+Y^2)\Longrightarrow 4(1+z)=(1-z)(X^2+Y^2)
\]
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
  x=\dfrac{4X}{X^2+Y^2+4}\\[1em]
  y=\dfrac{4Y}{X^2+Y^2+4}\\[1em]
  z=\dfrac{X^2+Y^2-4}{X^2+Y^2+4}
\end{array}
\right.
\]

Les exemples suivants, extraits de la documentation, sont réalisés avec la commande 

\psInverseStereographicProjection[options] dont l'utilisation et les options sont dcrites dans la documentation.

Les fichiers sont téléchargeables ici :

  http://manuel.luque.free.fr/ProjectionStereographiqueInverse/psInverseStereographicProjection.zip

ou ici sur Drive :

Projection stéréographique inverse

 





Vue de dessus, dans l'axe $Oz$, en se plaçant très haut :


Vue de dessus, en positionnant la caméra au pôle nord $(z=1$).



vendredi 5 mars 2021

Polynômes cubiques plaisants (2)

L'article "La voie-sans-effort™ vers le cubisme" de Jean-François Burnol, écrit en français, est la suite ou le complément de "Les polynômes cubiques plaisants" écrit lui en anglais conjointement avec Jürgen Gilg et intitulé : 

"Nice cubic polynomials: symmetry and arithmetic of the Lagrange resolvent

disponible ici : http://pstricks.blogspot.com/2021/02/polynomes-cubiques-plaisants.html

Il est rédigé de manière indépendante de l'autre et s'attache au problème suivant : décrire tous les triangles équilatéraux inscrits dans le cercle unité et dont les sommets ont des abscisses rationnelles.
Le texte évidemment écrit avec des démonstrations rigoureuses, est néanmoins empreint d'un humour doux un peu ironique qui rend sa lecture ``plaisante''. 

Les fichiers sont ici :http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/Effortslesscubism.zip

ou :

 La voie-sans-effort™ vers le cubisme

ainsi que sur :http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr

C'est aussi, pour les illustrations, une magistrale démonstration des possibilités de xint utilisé pour
manipuler exactement des fractions qui associé à PSTricks donne des figures remarquables et des animations aux formats SVG(grâce au package animate d'Alexander Grahn) que vous apprécierez. 

 http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-effortless-1.html

 http://www.le-gilgomat.de/NiceCubics.html

 Deux échantillons au format Gif.


 

Bonus

Les animations suivantes concernent des polynômes de la forme P(x) = x^3 - Ax . On s'occupe des cas où les racines de P(x)=u sont entières. Ces animations sont obtenues avec A fixé en donnant à u des valeurs adéquates. Comme déjà indiqué les racines sont les abscisses des sommets d'un triangle équilatéral dont le rayon est égal à la distance horizontale entre les deux extrema locaux du graphe de la fonction polynomiale
On remarquera en particulier le cas  où  A=1729 pour lequel il existe 8 valeurs de u.
Chaque valeur de u correspond à deux triangles équilatéraux (exceptionnellement un seul, lorsqu'il est symétrique dans l'axe horizontal).
Donc pour A=1729, cela fait 16 triangles. 

Jean-François Burnol a effectué les calculs avec xint (il est en aussi l'auteur). Les animations sont générées avec le package animate d'Alexander Grahn.
Le fichier anim-integer-auto.tex (écrit par Jean-François Burnol) permet de générer 8 SVG (pour 8 valeurs de A).
Les fichiers qui permettent de générer les images pour les Gifs ont été adaptés par Jürgen Gilg

Les fichiers sont ici :

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto.zip

ou sur Drive :

anim-integer-auto.zip 

ainsi que sur :

http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr

Vous aurez un aperçu de tout ce qui a été publié par Jean-François Burnol et Jürgen Gilg sur ce thème des "polynômes cubiques plaisants" en allant sur :

 http://www.le-gilgomat.de/NiceCubics.html

et 

 https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/xint-polexpr/

Voici les liens pour les animations au format SVG :

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-1.html

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-2.html 

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-3.html

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-4.html 

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-5.html

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-6.html 

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-7.html

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-8.html 

Les animations au format Gif :












mercredi 3 mars 2021

Lignes de courbure d'un ellipsoïde avec PSTricks

C'est une commande \psLinesCurvatureEllipsoid[options] permetant de dessiner les lignes de courbures d'un ellipsoïde. 

Les options sont précisées dans la documentation . Les fichiers sont téléchargeables ici :

http://manuel.luque.free.fr/ellipsoid/psLinesCurvatureEllipsoid.zip

ou

 psLinesCurvatureEllipsoid.zip

Les équations des lignes de courbure sont données par :

https://mathcurve.com/surfaces.gb/ellipsoid/ellipsoid.shtml 

\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
x  =\pm a\sqrt{\dfrac{(a^2-u^2)(a^2-v^2)}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}}\\[1em]
y  =\pm b\sqrt{\dfrac{(b^2-u^2)(b^2-v^2)}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}}\text{ avec } b\leqslant u \leqslant a \text { et } c\leqslant v \leqslant b\\[1em]
z = \pm c\sqrt{\dfrac{(c^2-u^2)(b^2-v^2)}{(c^2-b^2)(c^2-a^2)}}
\end{array}
\right.
\]

Des images extraites de la documentation :







vendredi 26 février 2021

Polynômes cubiques plaisants

Peut-être  connaissez-vous déjà les ``polynômes cubiques plaisants'', qui sont des polynômes très particuliers : polynômes cubiques à coefficients entiers dont les racines sont des entiers et dont les dérivées première et seconde ont également des racines entières.  

En voici une étude originale et particulièrement approfondie dans le document intitulé :

Nice cubic polynomials: symmetry  and arithmetic of the Lagrange resolvent

dont les auteurs sont Jean-François Burnol et Jürgen Gilg. En voici la présentation que les auteurs ont écrite( les schémas ont été réalisés avec PSTricks).

Les fichiers sont téléchargeables ici :

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/NiceCubicPolynomials.zip 

ou

Polynômes cubiques plaisants

ou

http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr 

On cherche la description complète des polynômes de degré 3
\[ P = (X-x_0)(X-x_1)(X-x_2)\]
tel que $P$ et $P'$ ont toutes leurs racines rationnelles. On dit alors que $P$ est un polynôme (cubique) « plaisant ». Ce problème a été résolu il y a longtemps (Chapple 1960, Zuser 1963) mais dès le degré 4 n'est de nos jours pas complètement compris.
Le texte de J.-F.~B. et J.~G. montre que $P$ est plaisant si et seulement si la « résolvante de Lagrange »
\[y = x_0 + x_1 j + x_2 j^2\]
est, modulo l'action de $\mathbb{Q}^*$ par multiplication, un carré dans $\mathbb{Q}(j)$
(on a posé $j = \mathrm{exp}(2\pi i/3)$).

La résolvante de Lagrange $y$ dans le plan complexe a l'ambiguïté du choix de l'ordre des racines: le texte explique (on suppose ici les racines réelles) que ceci correspond à une orbite (de cardinalité $6$ si les racines sont distinctes) sous l'action du groupe des symétries du triangle équilatéral de sommets $1$, $j$, $j^2$.

Il est important que dans la condition énoncée ci-dessus pour que $P$ soit plaisant, on considère $y$ seulement modulo l'action multiplicative de $\mathbb{Q}^*$: non seulement parce que par exemple multiplier par 5 les 3 racines ne modifie certainement pas le fait d'être plaisant pour $P$, tandis que 5 n'est pas un carré dans $\mathbb{Q}(j)$, mais aussi parce que remplacer $x_0$, $x_1$, $x_2$ par $-x_0$, $-x_1$, $-x_2$ ne modifie pas non plus le fait d'être plaisant, mais que $-1$ n'est pas un carré dans $\mathbb{Q}(j)$.

D'une manière générale, on peut appliquer une transformation affine aux racines et donc toujours supposer que $P=X(X-a)(X-1)$, et si l'on regarde alors ce que signifie pour $y = 1 + aj$ d'être un carré dans $\mathbb{Q}(j)$, modulo $\mathbb{Q}^*$, on obtient une paramétrisation de la forme $a = (w^2-2w)/(w^2-1)$, $w$ rationnel.

Ceci peut se reformuler de plusieurs manières par exemple que les $(X-u^2)(X-2uv)(X-v^2)$ pour $u$ et $v$ rationnels donnent toutes les solutions, à transformation affine des racines près. Pour des racines soient entières on prend $u$ et $v$ entiers et on autorise encore un facteur, en particulier il faut parfois multiplier par 3 les racines de $P$ pour que celles de $P'$ soient entières.

Dans le contexte rationnel, le texte explique qu'avec la formule $a =(w^2-2w)/(w^2-1)$ il y a 12 valeurs de $w$ qui donnent des $X(X-a)(X-1)$ équivalents modulo les transformations affines des racines (en en maintenant une en $0$ et une autre en $1$). Ceci s'exprime par 12 transformations homographiques de $w$ qui donnent une action du groupe diédral $D_{12}$ de cardinalité 12. Le texte explique que géométriquement ce $D_{12}$ est à voir comme le quotient $D_{24}/\{\pm e\}$ du groupe des symétries du dodécagone par son centre.

Le texte diffère des approches trouvées dans les références bibliographiques non seulement par l'intervention des groupes diédraux, mais aussi parce que les approches habituelles se contentent de ramener le problème à celui des solutions rationnelles de l'équation $a^2 -a + 1 = d^2$, ou de manière équivalente, des solutions rationnelles à l'équation $a^2 - ab + b^2 = 1$, mais ne déterminent pas les conditions d'unicité dans les paramétrisations obtenues.

Par exemple ici, une condition d'unicité dans le cas rationnel est $0<w<2-\sqrt{3}$, pour les polynômes avec trois racines distinctes, prises à équivalence près sous les transformations affines.

Figure 1

 Racines de $X(X-3)(X-8)$ et mise en évidence du niveau
$\frac13=\mathrm{PGCD}(\frac43,3,6,8)$ (qui est $\mathrm{PGCD}(4,9,18,24)/3$).


Figure 2

L'application $\mapsto a=\frac{w^2-2w}{w^2-1}$

Les points marqués correspondent à douze valeurs de $w$, qui sont une orbite du groupe diédral $D_{12}$ (cf. la légende de la figure 4 pour les explications), à partir de $w=\frac15$ (qui donne $a=\frac38$).
Les deux valeurs $w_1$ et $w_2$ de même image $a$ vérifient $s=\frac{w_1+w_2}2
  = (1 -a)^{-1}$, donc $a = \frac{s-1}s$ et le graphe en est donné en vert. Le fait
  que $w\mapsto\frac{w-2}{2w-1}$ échange $w_1$ and $w_2$ n'est pas représenté.

Figure 3
 L'homographie cyclique d'ordre six $f(w)=\frac{2w-1}{w+1}$ et deux de ses orbites.

Ensemble elles forment une orbite de l'action d'un groupe d'homographies isomorphe à $D_{12}$ (voir la légende de la figure 4) et ces douze valeurs de $w$ sont celles telles que $X(X-1)(X-a(w))$ sont dans la même classe d'équivalence (permutation des racines, transformation affine des racines) de $X(X-3)(X-8)$.
On a indiqué l'axe de symétrie correspond à l'invariance du graphe sous $(x,y)\mapsto (1-y,1-x)$, ce qui signifie que
    $1-w=f(1-f(w))$. Avec $\sigma(w)=1-w$, ceci correspond à
    $\sigma=f\sigma f$, ou encore $(f\sigma)^2=\mathrm{Id}$.  Plus généralement, $\{\sigma,
    f\sigma, f^2\sigma, f^3\sigma, f^4\sigma, f^5\sigma\}$ donne tous les éléments d'ordre $2$ de $D_{12}$, excepté l'élément central non trivial.

Figure 4
 Réseau hexagonal dans le plan complexe et orbites du groupe diédral de l'hexagone

L'application $w\mapsto a(w) = \frac{w^2-2w}{w^2-1}$ qui paramétrise les polynômes cubiques « plaisants » est simplement l'élévation au carré, appliquée à $\mathbb{Q}(j)$, projectivisée vers le quotient $\mathbb{Q}(j)/\mathbb{Q}^*$.


D'un point $W$ dans le plan complexe, hors des lignes de symétrie de l'hexagone des racines sixièmes de l'unité, six points sont obtenus par l'action des symérties $D_6$ du triangle équilatéral des racines cubiques de l'unité; et douze points par l'action du groupe $D_{12}$ des symétries de l'hexagone, qui contient $z\mapsto -z$.  La projection centrale de l'origine sur la droite $1+\mathbb{R} j$ donne alors$12/2=6$ points $1+wj$ (ils sont distincts). Élever au carré $1+wj$ (ou les points de la $W$-orbite) dans le plan complexe et projeter donne $6$ points $1+aj$ (ils sont distincts).  Si $w$ est rationnel alors les $a$ le sont aussi ($1+aj = [(\sigma(1+wj))^2]$, $z\mapsto [z]$ est la projection, $\sigma\in D_{12}$).

    La figure est avec $w=\frac15$,qui donne $a=\frac38$.


Une autre orbite sous $D_{12}$ dans le plan complexe est obtenue de la première par une rotation de $90$ degrés suivie d'une homothétie de rapport $\sqrt 3$, qui remplace $W$ par le point $W'$ indiqué.  Donc après projection nous avons en tout $12$ valeurs de $w$.   Si on élève au carré, avant de projeter, on obtient $6$ points sur la droite, les mêmes que précédemment ($(i\sqrt 3 z)^2 = -3z^2$ donne la même projection que $z^2$).
    Cela signifie au total qu'il y a douze $w\in\mathbb{Q}$ donnant les  six $a$ d'une orbite de l'action de $D_6$ sur $1+\mathbb{Q} j\cup\{\infty\}$.

    Les douze points $1+wj$ sur la droite sont l'orbite d'une action projective sur $1+\mathbb{Q} j$ de $D_{24}/\{\pm\mathrm{Id}\}$ avec $D_{24}$ le groupe des symétries du dodécagone.

L'action dans le plan de $D_{24}$ (qui ajoute $z\mapsto iz$ à  $D_{12}$) ne laisse pas stable $\mathbb{Q}(j)$ car $i\notin\mathbb{Q}(j)$. Mais $i\sqrt3\in\mathbb{Q}(j)$, donc l'action projective induite sur $1+\mathbb{R}j\cup\{\infty\}$ laisse stable $1+\mathbb{Q}j\cup\{\infty\}$.

Le secteur ombragé d'angle $30^\circ$ est un domaine fondamental pour l'action of $D_{12}$ sur le plan, et sa moitié inférieure d'angle d'ouverture $15^\circ$ un domaine fondamental pour $D_{24}$.  Sur la droite $1+wj$ cela correspond à la restriction $0<w<2-\sqrt3$ (car on exclut les points venant de l'intersection de la droite avec les axes de symétrie).


Bonus 

Dans le cas d'une équation cubique à coefficients réels $P = 0$ avec trois racines, celles-ci sont les abscisses des sommets d'un triangle équilatéral dont le rayon est égal à la distance horizontale entre les deux extrema locaux du graphe de la fonction polynomiale; l'animation le met en évidence en faisant varier le second terme de l'équation $P = u$, ce qui correspond à intersecter le graphe avec une droite horizontale.

Une animation au format SVG est accessible sur le lien :

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/animcuberoots.html

Les fichiers sources sont dans l'archive .zip indiquée au début. Les animations ont été créées avec le package animate d'Alexander Grahn. 

Une animation complémentaire (de Jürgen Gilg) en rapport avec la figure 4, au format SVG est visible ici :

http://www.le-gilgomat.de/NiceCubics.html

ou

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/animfig4.html 

Les explications sont sur la première animation, le fichier source a été inclus dans l'archive .zip.

mardi 23 février 2021

Coordonnées sphériques avec PSTricks

 Cette représentation des coordonnées sphériques en 3D est due à l'initiative d'Antonio Ferriz

Elle a nécessité l'utilisation du package pst-solides3d et l'ajout de 2 nouveaux objets meridian et parallel.

Pour l'épaisseur et la couleur des méridiens et des parallèles ce sont les options usuelles de PSTricks qui sont utilisées (linecolor= et linewidth=), pour le dessin en pointillés de la partie cachée de ces lignes, c'est l'option visibility de pst-solides3d. 

On n'est pas obligé de représenter la sphère, le dessin des parallèles et méridiens en donnent une image, mais il est possible de la représenter avec le booléen  [showSphere].

Les fichiers sont dans l'archive .zip téléchargeable ici :

http://manuel.luque.free.fr/psCoorSph/psSphericalCoordinates.zip

ou

Coordonnées Sphériques 

Voici deux images possibles obtenues avec la commande :

\psSphericalCoordinates{longitude}{latitude}


 



Il est possible d'utiliser conjointement pst-solides3d et https://ctan.org/pkg/pst-geo :

https://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-solides3d/bonus/

à condition de respecter les correspondances entre les options de 2 packages :


 On obtient par exemple, l'image suivante :

Le fichier est inclus dans l'archive .zip ainsi que le dossier data (données cartographiques)



dimanche 14 février 2021

Oscillations verticales d’un système formé de 2 masses et 2 ressorts

Vous trouverez la documentation et les références cet article dans l'archive .zip, téléchargeable ici :

http://manuel.luque.free.fr/psDoubleSpringMass/psDoubleSpringMass.zip

 ou

psDoubleSpringMass

La commande qui permet de réaliser des animations utilise, outre les packages habituels de PSTricks, les packages :

- https://ctan.org/pkg/pst-ode

https://ctan.org/pkg/animate

tous deux d'Alexander Grahn,

et ``pst-ressort'' qui est inclus dans l'archive, pour des exemples et la documentation de ce package, voir :

http://pstricks.blogspot.com/2014/03/representation-dun-ressort-en-pseudo.html
http://pstricks.blogspot.com/2014/03/application-de-pst-ressort-un-pistolet.html

http://pstricks.blogspot.com/2014/03/chaine-doscillateurs-partie-1.html
http://pstricks.blogspot.com/2014/03/illustrations-du-couplage-de-deux.html
http://pstricks.blogspot.com/2014/03/applications-de-pst-ressort-suite-2.html
http://pstricks.blogspot.com/2014/04/pendules-couples-par-un-ressort.html
http://pstricks.blogspot.com/2016/06/un-oscillateur-ressort-non-sinusoidal.html
http://pstricks.blogspot.com/2014/03/oscillateur-elastique-horizontal-une.html
http://pstricks.blogspot.com/2016/06/oscillateurs-paralleles-couples-par-des_16.html
http://pstricks.blogspot.com/2016/06/4-oscillateurs-en-parallele-couples-par.html

et une autre version sur le même thème que celui de cette page :

http://pstricks.blogspot.com/2014/03/illustrations-avec-pstricks-du.html

Voici 3 animations obtenues avec la commande \psDoubleSpringMass[options] :





vendredi 12 février 2021

Le cercle de Carlyle avec PSTricks et animate

C'est une illustration  du cercle de Carlyle réalisée par Jürgen Gilg avec PSTricks et animate

Ce cercle est abondamment documenté sur internet (voir par exemple :

 https://en.wikipedia.org/wiki/Carlyle_circle).

On peut télécharger les fichiers de Jürgen ici :

http://manuel.luque.free.fr/Carlyle-Circle/Carlyle-Circle.zip

ou

 Cercle de Carlyle
Voici quelques explications essentielles à la compréhension des animations ci-dessous, extraites de la documentation.

C'est une méthode géométrique pour trouver les racines d'une équation quadratique.

On considère un polynôme normalisé de degré $2$ :
\begin{equation*}
  P(x)=x^2-px+q
\end{equation*}
Les points : $C_1(0,1)$ et $C_2(p,q)$ -- définissent le diamètre du cercle de \textsc{Carlyle}.

Coordonnées du centre du cercle (milieu du segment de $[C_1C_2]$ : $M(\frac{p}{2},\frac{1+q}{2})$

Rayon du cercle : $r=\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q-1}{2}\right)^2}$

Équation du cercle :
\begin{equation*}
  C:\,\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1+q}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q-1}{2}\right)^2
\end{equation*}
Les racines $x_1$, $x_2$ de l'équation $x^2-px+q=0$, sont les abscisses des points d'intersection du cercle avec l'axe $x$.

Alors on fait $y=0$ :
\begin{align*}
\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+\left(0-\frac{1+q}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q-1}{2}\right)^2\\
x^2-px+\frac{p^2}{4}+\frac{1+2q+q^2}{4}&=\frac{p^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}\\
x^2-px+q&=0
\end{align*}
Ce sont aussi les abscisses des points d'intersection de la parabole d'équation $y=x^2-px+q$ avec l'axe des abscisses. 

Deux animations pour illustrer la propriété du cercle de Carlyle. 





mercredi 3 février 2021

Plus vite que la pesanteur

La revue Pour la Science n◦434 - Décembre 2013, contient un article intitulé
"Tomber plus vite qu’en chute libre" dans lequel les auteurs Jean-Michel Courty et Édouard Kierlik décrivent 3 expériences illustrant le thème : chute verticale d’un ressort à boudin, chute simultanée d’une planche en rotation par une extrémité autour d’un axe horizontal et d’une bille en acier, chute d’une échelle à montants.
C’est la deuxième qui est illustrée dans cette page.

Parmi les auteurs ayant réalisé et publié cette expérience, une des plus illustrée est celle réalisée par Michael Vollmer et Klaus-Peter Möllmann. L'article est intitulé "Faster than g, revisited with high-speed imaging" et a été publié dans "European Journal of Physics" :

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/33/5/1277

L'article de Aljoša Erman est aussi très intéressant :

http://mafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2007_2008/Faster_than_gravity.pdf

L'archive(zip) contient 3 documents aux formats .tex (que vous pourrez éventuellement compiler) et .pdf.

http://manuel.luque.free.fr/FasterThanG/faster-than-g.zip 

ou sur Drive :

Faster-Than-Gravity


- faster-than-gravity-theory : contient l'étude théorique du phénomène.
- psFasterThanG-animate : une animation incluse dans le pdf grâce au package animate.
- psFasterThanG-gif : le fichier pour créer les images en vue d'un Gif animé, avec l'option [export] du package animate. 

Ces animations, sont mises en œuvre avec la macro \psFasterThanB{angle en degrés}{nombre d'images} dont les arguments peuvent prendre les valeurs suivantes :
111 = nombre d'images pour 35.26 degrés
115 = nombre d'images pour 30 degrés
  20 = nombre d'images pour 25 degrés

Le nombre d'images est à ajuster (ou à calculer) pour que la bille retombe en fin de course sur la planche.

Pour les animations, les packages pst-ode et animate d'Alexander Grahn ont été utilisés.

 https://ctan.org/pkg/animate

https://ctan.org/pkg/pst-ode

Pour le calcul des intégrales (elliptique ou autre) c'est la macro postscript (SIMPSON) de Dominique Rodriguez(l'auteur de pst-euclid)) qui a permis le calcul. 

8 février 2021 : Alexander Grahn qui a eu la gentillesse de lire cet article, fait la remarque qu'on peut utiliser le package pst-ode pour calculer la durée de chute de la tige :

``Pour la durée de chute, c'est la méthode de Simpson que vous avez choisie pour calculer l'intégrale définie, Eq. (2). Cependant, l'intégrale définie peut aussi être traitée comme une équation différentielle, et donc être calculée avec la commande \pstODEsolve. Il suffit de mettre la condition initiale (limite
inférieure) à zéro:

%durée de la chute
\pstODEsolve[algebraicAll]{T1}{Coeff2*y[0]}{a1}{Pi/2}{2}{0}{1/sqrt(1-k2*sin(t)^2)}%
\pstVerb{/T1 T1 exch pop def}% supprimer cond. initiale."

Le code est ainsi allégée de la macro (SIMPSON). 

L'archive zip contient la version d'Alexander Grahn  (psFasterThanG-gif-ode.tex) à compiler.

Le rapporteur a été dessiné par Dominique Rodriguez.

https://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/rapporteurs/

2 Gif's

 Angle initial =35,26 degrés

 

Angle initial = 25 degrés

 


 

vendredi 15 janvier 2021

Puzzle de Dudeney avec PSTricks (version 3)

 Il s'agit toujours du puzzle du Mercier, énigme 26, intitulée ``The Haberdasher's Puzzle''. 

C'est la suite de :

http://pstricks.blogspot.com/2020/12/le-puzzle-de-dudeney-avec-pstricks.html

et

http://pstricks.blogspot.com/2020/12/le-puzzle-de-dudeney-avec-pstricks_28.html

Tous les fichiers, ainsi que ceux des précédentes versions, sont dans l'archive, accessible ici :

 http://manuel.luque.free.fr/Dudeney-puzzle/Dudeney-puzzle-1-2-3.zip

ou

 Dudeney-puzzle-1-2-3.zip

Si on ne souhaite pas obtenir, par découpage du triangle équilatéral en 4 pièces, un carré mais un rectangle dans un cas plus général, il suffit de placer le point I entre A et l'origine. Avec les coordonnées choisies pour le triangle équilatéral, son abscisse doit être comprise entre -1 et 0. 

Dans les fichiers joins, elle est le paramètre de la commande :
\PointCoordinates{-0.509015}, cette valeur particulière permet de reconstituer le carré. Dans le cas général, on écrira la valeur souhaitée de xI.\PointCoordinates{xI}.

 La figure de base dans le cas du carré.

Deux animations (Gif), en faisant glisser le point I entre A et l'origine.




Et une animation qui permet de passer du triangle au rectangle(ou au carré) qui synchronise les rotations respectives autour des 3 articulations pour que les 4 pièces s’emboîtent exactement à la fin, ici avec xI=-0.75