mardi 21 novembre 2023

Courbes de dosage pH-métrique acide-base

Courbes de dosage pH-métrique acide-base avec le package `pst-dosage'. d’après l’article de Marc Chapelet : B.U.P. N°668

Il existe une ancienne version de pst-dosage :  

https://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pc/

que j’avais écrite en 1999, mais qui n’est plus utilisable, à moins d’y apporter l’une ou l’autre des corrections suivantes :
Dans l’appel du package, écrire ; \usepackage{pstricks,pst-dosage}

ou modifier le fichier pst-dosage.sty par ce contenu :
\RequirePackage{pstricks}
\ProvidesPackage{pst-dosage}[1999/10/24 package wrapper for PSTricks pst-dosage]
\input pst-dosage.tex
\endinput

L’article de Marc Chapelet est paru dans le bulletin de l’Union des Physiciens de novembre 1984, il est accessible avec le lien suivant :

https://bupdoc.udppc.asso.fr/consultation/article-bup.php?ID_fiche=8847

Dans la première version de `pst-dosage', j'avais adapté et reproduit, avec l'autorisation de l'auteur, son article, on pourra donc éventuellement se reporter à la documentation de la première version.

Cette version n’est plus compatible avec l’ancienne, même si les commandes ont des noms  identiques.

La nouvelle version est accessible ici :

http://manuel.luque.free.fr/pst-dosage/pst-dosage.zip

ou sur Drive : pst-dosage.zip

Quelques images extraites de la documentation ;

Dosage d’un acide fort concentration molaire CA, de volume VA par une base forte de concentration CB (illustration avec pst-labo)


 Dosage d’une base forte de concentration CB, de volume VB par un acide fort de concentration molaire CA.


 





Changer le papier millimétré :

Superposer des courbes

Faire des remarques sur une courbe.

Dosage d’une solution de vinaigre dilué au 1/10 par une solution de soude. Mise en évidence de la zone tampon autour de la demi-équivalence.


lundi 31 juillet 2023

Deux billes reliées par un ressort en chute libre verticale

Les schémas :

C'est un exercice que j'ai trouvé dans deux manuels de physique : 

"Lagrangian Dynamics" de Dare A.Wells (Schaum's Outline Series in Engineering 1967) pages 12-13 (Figure 2.8) et sous le titre "Système de deux masselottes en interaction élastique et en chute libre" exercice E25-1 dans le livre ``Leçons de physique'' de José-Philippe Pérez, Pujol, Lacoute et Desmeule édité par De Boeck en 2011, ce dernier propose une solution mais ne tient pas compte des rayons respectifs des billes.

Le ressort de longueur initiale (à vide) $l_0$ est sans masse et a pour raideur $k$, les deux billes ont pour masses et rayons respectifs $m_1$, $r_1$ et et $m_2$, $r_2$.

À l'origine des dates $t=0$ le système est en équilibre, le ressort est étiré par le poids de la bille 2.
\[
m_2g=k\Big(\big(z_2(0)-z_1(0)\big)-(r_1+r_2)-l_0\Big)
\]
$z_1(0)=0$ du fait du choix de l'origine de l'axe, on en déduit $z_2(0)$ :
\[
z_2(0)=(r_1+r_2)+l_0+\frac{m_2g}{k}
\]
et la position du centre de masse du système :
\[
z_G(0)=\frac{m_2}{m_1+m_2}\Big((r_1+r_2)+l_0+\frac{m_2g}{k}\Big)
\]
À un instant $t$ quelconque, la longueur du ressort vaut :
\[
l(t)=z_2(t)-z_1(t)-(r_1+r_2)
\]
et son allongement(ou compression) :
\[
\Delta l(t)=l(t)-l_0
\]
La relation fondamentale de la dynamique appliquée à chacune des deux billes donne :
\[
m_1\ddot{z_1}=\hphantom{-}k\big((z_2-z_1)-(r_1+r_2)-l_0\big) + m_1g
\]
\[
m_2\ddot{z_2}=-k\big((z_2-z_1)-(r_1+r_2)-l_0\big) + m_2g
\]
\begin{equation}
\ddot{z_1}=\hphantom{-}\frac{k}{m_1}\big((z_2-z_1)-(r_1+r_2)-l_0\big) + g
\end{equation}
\begin{equation}
\ddot{z_2}=-\frac{k}{m_2}\big((z_2-z_1)-(r_1+r_2)-l_0\big) + g
\end{equation}
on choisit comme variable  $Z=z_2-z_1$, $\ddot{Z}=\ddot{z_2}-\ddot{z_1}$.
\[
\ddot{Z}=-k\Big(Z-(r_1+r_2)-l_0\Big)\Big(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\Big)
\]
En posant $\mu=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$, l'équation différentielle en $Z$ s'écrit :
\[
\ddot{Z}+\frac{k}{\mu}Z=\frac{k}{\mu}\big((r_1+r_2)+l_0\big)
\]
$\omega_0^2=\dfrac{k}{\mu}$
\[
\ddot{Z}+\omega_0^2Z=\omega_0^2(r_1+r_2+l_0)
\]
Compte-tenu des conditions initiales : $Z(0)=z_2(0)$ et $\dot{Z}(0)=0$, la solution de cette équation est :
\[
Z(t)=\frac{m_2g}{k}\cos\omega_0t+r_1+r_2+l_0
\]
On peut en déduire $z_1(t)$ et $z_2(t)$, sachant que :
\[
z_G(t)=\frac{m_1z_1(t)+m_2z_2(t)}{m_1+m_2}
\]
d'où
\[
z_1(t)=z_G(t)-\frac{m_2}{m_1+m_2}Z(t)
\]
Et que :
\[
z_G(t)=\frac{1}{2}gt^2+z_G(0)
\]
\[
z_2(t)=z_1(t)+Z(t)=z_G(t)+\frac{m_1}{m_1+m_2}Z(t)
\]

Le package "pst-massspring" ne comprend qu'une seule commande \psMS[options], dont les options et leurs valeurs par défaut sont les suivantes :

  1. t=0 : le temps en secondes ;
  2. m1=0.5 : masse de (1) en kg ;
  3. m2=2 : masse de (2) en kg ;
  4. k=7.5 : constante de raideur N/m ;
  5. l0=5 : longueur initiale du ressort.

Les rayons sont calculés à partir des masses (on suppose que toutes deux sont en acier). Ce package a été écrit pour créer des animations, en voici deux, la première avec les valeurs par défaut.


 La deuxième avec m1=m2=1 et k=10


Les fichiers sont compris dans l'archive .zip qui comprend aussi les packages pst-massspring et pst-ressort(ce dernier contient de nombreux autres exemples sur ce site).

Chute-libre-de-deux-masses-reliees-par-un-ressort.zip

ou sur drive 

Chute-libre-de-deux-masses-reliees-par-un-ressort.zip

La compilation des fichiers s'effectue avec la procédure classique pour PSTricks, par exemple :

LaTeX  pst-massspring-anim1.tex

dvips  pst-massspring-anim1.dvi

ps2pdf  pst-massspring-anim1.ps

convert   -delay 5 -density 100x100 -alpha remove pst-massspring-anim1.pdf[1-1000]  -loop 0  pst-massspring-anim1.gif

 

 

 

 

samedi 24 juin 2023

Couple d'al-Tusi, version de John Goodman

 Suite de https://pstricks.blogspot.com/2023/06/theoreme-de-la-hire-avec-pstricks.html

Pour remplacer l'engrenage intérieur de La Hire, John Goodman propose un train d'engrenages composé de 3 roues, avec l'avantage de pouvoir aussi modifier l'amplitude des oscillations.

https://en.wikipedia.org/wiki/Tusi_couple 

https://equation-of-time.info/introduction-1

 Voici 3 simulations réalisées avec PSTricks utilisant les idées de John Goodman, dont les fichiers sont ici :

http://manuel.luque.free.fr/LaHireTheorem/GoodmanTusiCouple.zip

ou

GoodmanTusiCouple.zip 

Ils sont à compiler par la procédure habituelle, voir l'exemple de : 

https://pstricks.blogspot.com/2023/06/theoreme-de-la-hire-avec-pstricks.html

 


 


La roue jaune est deux fois plus épaisse, elle peut donc rouler sur la roue fixe et entrainer au-dessus la roue bleue.

samedi 17 juin 2023

Théorème de La Hire avec PSTricks

 C'est une illustration du théorème de la Hire : 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_La_Hire

d'après la maquette réalisée par Alexandre Clair et déposée au musée des Arts et Métiers :

arts-et-metier-Alexandre Clair 

il existe déjà de nombreuses et belles illustrations, en particulier en 3D de ce mécanisme de transformation d'un mouvement circulaire uniforme en un mouvement rectiligne sinusoïdal, mais bon il manquait celle réalisée avec PSTricks ! Les fichiers sont ici :

 http://manuel.luque.free.fr/LaHireTheorem/LaHireTheorem.zip

ou

LaHireTheorem.zip 

On compile  avec la séquence habituelle :

                     LaTeX LaHireTheorem.tex

                     dvips LaHireTheorem.dvi

                    ps2pdf  LaHireTheorem.ps

et pour le Gif :

 convert   -delay 5 -density 100x100 -alpha remove  LaHireTheorem.pdf  -loop 0  LaHireTheorem.gifLaHireTheorem.tex

On pourra modifier le nombre de dents(pourvu qu'elles restent dans le rapport 2/1) et que les roues conservent les rayons initiaux, ainsi :

\pstgears[Z1=36,Z2=18,m=0.2,

donne :






lundi 29 mai 2023

Deux ampoules à décanter et leur support pour pst-labo

 Le tube de la version précédente était peut-être un peu trop long, voici la nouvelle version  et un nouveau modèle d'ampoule que l'on trouve couramment dans les laboratoires.

Les options ont été revues en utilisant celles de pst-labo pour les aspects des deux phases, les explications sont dans le document pdf inclus dans l'archive zip.

Les fichiers sont ici :

http://manuel.luque.free.fr/SeparatyFunnel/SeparatyFunnel-v2.zip 

ou sur Drive :

Separaty Funnel v2

Les modèles :


Pour l’ampoule la commande est : \pstSeparateFunnel[[options] et pour le support \pstSupport.
Les options des ampoules à décanter(ce sont les valeurs par défaut qui sont indiquées), qui sauf
[OpenTap] et [separateFunnelType=1] sont déjà dans pst-labo : 

  1. [separateFunnelType=1], type d’ampoule (1 ou 2) ;
  2. Le booléen [bouchon] : true par défaut, ce booléen sera position à [bouchon=false] pour permettre l’écoulement d’un liquide ;
  3. Le booléen [OpenTap] : true par défaut pour le robinet ouvert, [OpenTap=false] pour le robinet fermé ;
  4. [niveauLiquide1=11] : niveau de la phase inférieure ;
  5. [niveauLiquide2=12] : niveau de la phase supérieure.

Pour les aspects des deux phases, il y a deux styles :
\newpsstyle{AqueoPhase}{linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor={[cmyk]{0.216,0.03,0,0}}}
\newpsstyle{OrganicPhase}{linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor={[cmyk]{0.2,0.1,0.5,0}}}
Pour représenter une ampoule vide, il faut mettre les deux liquides au même niveau 4 : [niveauLiquide1=4,niveauLiquide2=4]

Quelques images extraites de la documentation :







On pourra ajuster la hauteur de l'ampoule afin qu'elle s'ajuste au mieux dans le support avec l'astuce suivante :

\rput(0,0.4){\pstSeparateFunnel[OpenTap=false,bouchon,aspectLiquide2=OrganicPhaseMagenta,linewidth=0.07]}



mardi 16 mai 2023

Ampoule à décanter et son support pour pst-labo

 La nouvelle version avec deux types d'ampoules est ici :

https://pstricks.blogspot.com/2023/05/deux-ampoules-decanter-et-leur-support.html

 Suite à une remarque de Nicolas Le Boulaire ayant noté qu’il manquait une ampoule à décanter dans la verrerie proposée, en voici un modèle. Support et ampoule sont distincts.

Les fichiers et les explications  des deux commandes sont ici :

http://manuel.luque.free.fr/SeparatyFunnel/SeparatyFunnel.zip

ou

 ampoule à décanter + support

Quelques extraits de la documentation.

Pour l’ampoule la commande est : \pstSeparateFunnel[[options] et pour le support \pstSupport.
Commençons par les options de l’ampoule à décanter, qui sauf [OpenTap] sont déjà dans pst-labo : 

  1. Le booléen [bouchon] : true par défaut, ce booléen sera position à [OpenTap=false] pour permettre l’écoulement d’un liquide ;
  2. Le booléen [OpenTap] : true par défaut pour le robinet ouvert, [OpenTap=false] pour le robinet fermé ;
  3. [niveauLiquide1=11] : niveau de la phase inférieure (on ne descendra pas au-dessous de -1 (voir le schéma du corps de l’ampoule) ;
  4. [niveauLiquide2=12] : niveau de la phase supérieure (on n’ira pas au-dessus de 15).

 






jeudi 11 mai 2023

Le rayon des spires d’un ressort

 C'est un sujet que Jürgen Gilg avait traité et illustré avec pst-solides3d et pst-rubans. Cet article avait été déposé sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-solides3d/bonus/?idsec=ressort

mais les fichiers n'étant plus compilables avec la dernière version de pst-solides3d, j'y ai apporté les corrections nécessaires, ils sont disponibles sur :

http://manuel.luque.free.fr/probleme-ressort/probleme-ressort.zip

ou sur Drive :

problème-ressort 

C'est un ressort de $n$ spires de hauteur initiale $h_0$, le rayon initial est noté $r_0$.

Géométriquement le ressort est constitué d'un ruban en acier enroulé en hélice circulaire. 

On tire sur l'extrémité du ressort, sa nouvelle hauteur est $h_1$ et le rayon des spires est alors $r_1$.

Questions :

  1. Calculer la longueur du ruban (figure 1), c'est-à-dire plus précisément celle de l'hélice.
  2. Lorsque le ressort est allongé (figure 2), la longueur du ruban restant invariable, calculer le nouveau rayon des spires $r_1$.

 


 Formule établie par Juergen Gilg (voir son article inclus dans le zip) :

\[
    r_1^2  = \frac{1}{4\pi^2n^2}h_0^2 - \frac{1}{4\pi^2n^2}h_1^2 + r_0^2
\]

 Les variations du rayon des spires sont négligeables pour les allongements usuels !

  1. $r_0=0.5$ pour $h_0=6$ ;
  2. $r_1=0.45$ pour $h_1=15$.

 Une animation issue de son  article :