Le rayon des spires d’un ressort

 C'est un sujet que Jürgen Gilg avait traité et illustré avec pst-solides3d et pst-rubans. Cet article avait été déposé sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-solides3d/bonus/?idsec=ressort

mais les fichiers n'étant plus compilables avec la dernière version de pst-solides3d, j'y ai apporté les corrections nécessaires, ils sont disponibles sur :

http://manuel.luque.free.fr/probleme-ressort/probleme-ressort.zip

ou sur Drive :

problème-ressort 

C'est un ressort de $n$ spires de hauteur initiale $h_0$, le rayon initial est noté $r_0$.

Géométriquement le ressort est constitué d'un ruban en acier enroulé en hélice circulaire. 

On tire sur l'extrémité du ressort, sa nouvelle hauteur est $h_1$ et le rayon des spires est alors $r_1$.

Questions :

1. Calculer la longueur du ruban (figure 1), c'est-à-dire plus précisément celle de l'hélice.
2. Lorsque le ressort est allongé (figure 2), la longueur du ruban restant invariable, calculer le nouveau rayon des spires $r_1$.

 

 Formule établie par Juergen Gilg (voir son article inclus dans le zip) :

\[
    r_1^2  = \frac{1}{4\pi^2n^2}h_0^2 - \frac{1}{4\pi^2n^2}h_1^2 + r_0^2
\]

 Les variations du rayon des spires sont négligeables pour les allongements usuels !

1. $r_0=0.5$ pour $h_0=6$ ;
2. $r_1=0.45$ pour $h_1=15$.

 Une animation issue de son  article :