mardi 27 octobre 2020

Le modèle épidémiologique SIR avec PSTricks

 Par Jürgen Gilg avec la participation de Manuel Luque.

Il existe de très nombreux documents ayant pour thème ce modèle, en voici deux particulièrement intéressants :

Le dossier mis en ligne par le CNRS : Modélisation d'une épidémie

et qui a servi de modèle à l'élaboration de la commande PSTricks.

La revue tangente dont le N$^o$194 comporte un dossier très complet sur le sujet intitulé 

Covid-19  : une approche mathématique et sous-titré;

Puissance et limites des modèles, l'épidémiologie vue par la statistique.
https://www.tangente-mag.com/numero.php?id=186

On rappelle simplement les paramètres et les équations :

\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
\dfrac{\mathrm{dS}}{\mathrm{d}t}  = -\beta\mathrm{S}(t)\mathrm{I}(t)\\[1em]
\dfrac{\mathrm{dI}}{\mathrm{d}t}  = \beta\mathrm{S}(t)\mathrm{I}(t) - \gamma\mathrm{I}(t)\\[1em]
\dfrac{\mathrm{dR}}{\mathrm{d}t}  = \gamma\mathrm{I}(t)
\end{array}
\right.
\]

  1. $S(t)$ représente les personnes saines (susceptible en anglais) au temps $t$.
  2. $I(t)$} les personnes infectées (infected) à $t$.
  3. $R(t)$ les personnes retirées (removed) à $t$.
  4. $\gamma$ est le taux de guérison.
  5. $\beta$  est le taux de transmission.

 La commande \psSIR avec ses options est décrite dans la documentation :

 Les fichiers sources et pdf sont téléchargeables ici :

http://manuel.luque.free.fr/pst-sir/pst-sir.zip

 ou sur Drive : pst-sir.zip

 Ces exemples suivent ceux de :

 https://images.math.cnrs.fr/Modelisation-d-une-epidemie-partie-1.html




\psSIR[beta=0.2,gamma=0.09]

 \psSIR[beta=2,gamma=0.5,initCond=0.3 0.7 0,tmax=20,tunit=0.75]


\psSIR[beta=0.3,gamma=0.1,tmax=50,tunit=0.3]


\psSIR[beta=2,gamma=0.5,initCond=0.45 0.5 0.05,tmax=10,tunit=1.5]


Des animations interactives au format SVG sont disponibles ici :

http://www.le-gilgomat.de/SIR.html

La commande \psSIR utilise le pakage pst-ode d'Alexander Grahn.