C'est un supplément à l'article :
http://pstricks.blogspot.com/2021/07/le-nombre-plastique-avec-xint-et-pst.html
Nous avions pour calculer Ψ proposé 4 méthodes :
- à partir de cette expression
Ψ=3√1+3√1+3√1+3√1+3√1+3√1+3√1+⋯
avec xintexpr
- en résolvant l'équation x3−x−x=0.dont Ψ est la racine réelle. Pour cela, sur la suggestion de Jürgen Gilg c'est le package polexpr qui a été utilisé, et Jean-François Burnol en a développé l'idée, son utilisation est très détaillée et on peut obtenir bien plus de renseignements que de taper par exemple : Solve[x^3-x-x1==0,x] sur Mathematica, le calcul étant fait in-situ, le document se compose en harmonie avec la succession des calculs.
- à partir de la relation de récurrence linéaire :
u0=1 ; u1=1 ; u2=1 ; un=un−2+un−3
en utilisant xintexpr
- à partir de la relation de récurrence quadratique :
On considère la suite (un) telle que u0, u1,u2 valent 0, 0, 1. Les
formules de récurrence suivantes pour trois valeurs d'indices consécutifs, l'indice milieu étant une puissance de 2 s'écrivent :
u1+2n+1=2u1+2n(u2n+u−1+2n)+u22nu2n+1=u21+2n+u22n+2u2nu−1+2nu−1+2n+1=2u1+2nu2n+u2−1+2n
Pour la démonstration de ces relations, consultez le document "padovan-jfbu.pdf" intitulé "CALCUL PAR EXPONENTIATION RAPIDE DE TERMES DE LA SUITE DITE DE PADOVAN" inclus dans l'archive .zip. Comme exemple, cette façon a été utilisée pour calculer 6000 chiffres après la virgule.
Cette fois-ci Jean-François Burnol propose une comparaison sur la rapidité des calculs entre la récurrence linéaire et la quadratique.
Dans son document "PadovanLinVsQuad.pdf" (Le nombre plastique)
https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/
où comme toujours à son habitude, calculs et commentaires se complètent, il apparaît que les calculs par récurrence quadratique sont d'une rapidité qui surpasse ceux par récurrence linéaire.
Par exemple pour 1000 chiffres :
- Linéaire : 14.659s
- Quadratique : 0.435s
avec le processeur : Intel(R) Core(TM) i5-4440 CPU @ 3.10GHz
http://manuel.luque.free.fr/Nombre-Plastique/Padovan-Suite.zip
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