La transformation du chat d’Arnold avex PSTricks et TeX

Il s'agit d'une illustration avec PSTricks et TeX de la célèbre transformation du chat d'Arnold. Il existe sur ce sujet de très nombreux articles. Voici, par exemple, la présentation qu'en donne André  Hautot dans :

 https://www.physinfo.org/math.html

« La transformation du chat d’Arnold est fréquemment proposée comme une illustration ludique du théorème du retour de Poincaré. Seuls les bons auteurs font remarquer qu’il n’en est rien, car cette transformation illustre avant tout les propriétés de divisibilité des nombres de Fibonacci. »
Gilg Jürgen en donne un petit aperçu théorique et permet de suivre les positions occupées par un pixel lors des itérations successives, dans le document ``CatMapTheory.pdf'' inclus dans le répertoire contenant tous les fichiers :

ArnoldCatMap

Positions successives occupées par le pixel (1,1) dans une résolution 16×16.

La période de la transformation dépend de la résolution de l'image, elle a été établie par Freeman Dyson et Harold Falk et pourra être calculée de plusieurs façons :
- avec TeX, grâce à Jean-François Burnol(c'est le code utilisé dans le package) ;
- avec Mathematica ;
- avec C.
Les codes sont dans la documentation du package ainsi que dans le répertoire indiqué plus haut.

Le package pst-arnoldmap se compose de deux commandes :
\psArnoldMap[options]{periode}
permet de calculer les images obtenues à partir de l'image initiale par itérations successives jusqu'à ce que l'image initiale réapparaisse.
\psDrawingPictures[options]{nom de l'une des images enregistrées} : permet le dessin des images.
Les options  sont décrites dans la documentation.
À titre expérimental, Jean-François Burnol propose 3 commandes écrites en TeX qui, pour chacun des types P1, P2 et P3, produit à partir d'une image initiale au format correspondant, les images obtenues au cours des itérations successives sur une période, au même format que l'image initiale.
Une seconde commande (convert) d'ImageMagick permet d'obtenir le Gif animé de toutes ces images.
Ces commandes se nomment :
- P1catmapper.tex
- P2catmapper.tex
- P3catmapper.tex
Elles sont bien plus rapides pour le calcul des images transformées que la commande \psArnoldMap[options]{periode}
Voici quelques images obtenues soit avec PSTricks, soit avec les commandes de Jean-François Burnol.

 ArnoldCatMap