PStricks : applications: De belles courbes et des polyèdres avec PSTricks

Dans un superbe article `Wheels on Wheels on Wheels-Surprising Symmetry', très joliment illustré :

https://scholarcommons.scu.edu/math_compsci/5/

Frank A. Farris raconte comment en concevant un exercice pour ses étudiants, il a dessiné la courbe définie par l'équation vectorielle :

$(x,y)=\big(\cos(t), \sin(t)\big) + \frac{1}{2} \big(\cos(7t), \sin(7t)\big) +\frac{1}{3}\big(\sin(17t), \cos(17t)\big)$

Frank A. Farris remarque que cette courbe a une symétrie d'ordre 6, un fait, d'après lui, que l'on ne devinerait probablement pas en regardant la formule. L'introduction de la notation complexe :

$f(t)=x(t)+iy(t)=\mathrm{e}^{it}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{7it}+\frac{i}{3}\mathrm{e}^{17it}$

va lui permettre de démontrer, plus généralement, que la courbe résultante présentera une symétrie d'ordre $m$ si les trois fréquences sont congruentes (mod $m$ ).

Frank A. Farris propose un autre bel exemple, qui fait l'objet d'un fichier qui lui est dédié.

$f(t)=x(t)+iy(t)=\mathrm{e}^{-2it}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{5it}+\frac{i}{4}\mathrm{e}^{19it}$

et dont voici l'animation :

Créer la plus belle courbe par le choix de $m$ , des fréquences et des coefficients, le nombre de termes n'étant pas limité à 3, pourrait faire l'objet d'un concours, une animation des roues est un plus.

Le hors-série 81 de la revue tangente : https://www.tangente-mag.com est intitulé ``Les distances''. Dans ce numéro très riche en articles, je me suis intéressé à deux d'entre-eux afin de voir s'il était possible de réaliser les illustrations qui étaient proposées avec PSTricks.

Les deux articles sont de Robert Ferréol, qui est aussi l'auteur du renommé site :

http://www.mathcurve.com

Le premier ``Des boules dans le plan'' est la généralisation de la notion de distance dans le plan :

« Ce qu'on appelle boule unité(fermée), notée $\mathrm{B}_p(\mathrm{O},1)$ et l'ensemble des points dont la distance à l'origine $\mathrm{O}(0,0)$ est inférieure ou égale à 1, ce qui correspond à la partie du plan limité par la courbe d'équation $|x|^p+|y|^p=1$ appelée courbe de Lamé. »

https://mathcurve.com/courbes2d/lame/lame.shtml

Voici pour $p\in \{0,25; 0,5; 1 ; 2 ; 5 ; 30\}$

La seconde partie de son article, sous-titrée ``Des polynômes réguliers'' :

« Qu'obtient-on si l'on considère des combinaisons linéaires des coordonnées $x$ et $y$ ? » ne pose pas non plus de problème insoluble à leurs réalisations avec PSTricks.

Le deuxième article de Robert Ferréol est l'extension du premier dans $\mathbb{R}^3$ :

«
Si $p$ est un réel strictement positif, on définit la norme $\mathrm{N}_p$ du vecteur de $\mathbb{R}^3$ par $N(x,y,z)=\big(|x|^p+|y|^p+|z|^p\big)^{1/p}$
»