PStricks : applications

lundi 22 juin 2015

Ellipse roulant autour de sa syntrépente

C’est une variante de la représentation des syntrépentes conjuguées en mouvement que je propose ici : on se place sur la syntrépente de l’ellipse qui est considérée comme fixe, et on regarde l’ellipse tourner autour. C’est tout simplement un problème de mouvement relatif : celui de l’ellipse par rapport à sa syntrépente.
Pour de plus amples détails sur le problème des syntrépentes, je renvoie le lecteur aux documents précédents :
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/syntrepentes-dun-limacon-de-pascal.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/syntrepentes-dune-spirale-logarithmique.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/courbes-syntrepentes-package-pst-sce.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/courbes-syntrepentes-interieurement.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/courbes-syntrepentes-et-courbes.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/deux-courbes-roulant-lune-sur-lautre.html
Sans le dire explicitement, Robert Ferréol et Alain Esculier abordent et illustrent magnifiquement ce problème avec «le camion Shadock reproduisant le roulement sans glissement d’une ellipse sur une “étoile régulière à m branches arrondie”» et Alain Esculier en donne le code pour réaliser une belle animation avec le logiciel Maple.
http://www.mathcurve.com/courbes2d/engrenage/engrenage.shtml
http://aesculier.fr/fichiersMaple/rouesdroles/rouesdroles.html
Plus simplement, ici la commande \psEllipseRoulante[options] permettra seulement de placer l’ellipse en un point particulier autour de sa syntrépente et de la faire tourner grâce au package animate d’Alexander Grahn. C’est une simple adaptation du package pst-sce, un changement de coordonnées, les options sont identiques(voir la documentation du package).

Tous les renseignements et des exemples sont dans le fichier (ellipseroulante.pdf, ellipseroulante.tex) du sous-répertoire (ellipseroulante/) :

courbes-roulantes

Quelques Gif's animés réalisés avec la commande \psEllipseRoulante. Chaque animation est composée de 180 images, il faut donc laisser le temps au navigateur de mettre les images dans le cache pour obtenir enfin une animation fluide.

vendredi 19 juin 2015

Syntrépente d’un limaçon de Pascal

Robert Ferréol traite et illustre ce cas sur son site :
http://www.mathcurve.com/courbes2d/engrenage/engrenagefin.shtml
Ce mécanisme a pour origine le livre de Schröder J. : “Catalog of Reuleaux Models, 1899”, qui décrit un certain nombre d’engrenages originaux.
http://ebooks.library.cornell.edu/k/kmoddl/toc_schroder1.html
L’application de la méthode d’Auguste Miquel, (voir) :
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/syntrepentes-dune-spirale-logarithmique.html
au limaçon de Pascal ne permet pas de trouver une équation polaire explicite de la syntrépente, il faut donc recourir à une méthode numérique, à partir des deux principes énoncés par Auguste Miquel.
Les explications sont incluses dans le pdf ainsi qu'une animation avec la package animate. Dans le sous répertoire (pascal) les fichiers syntrepentlimaconPascal.pdf et syntrepentlimaconPascal.tex.

courbes-roulantes

mercredi 17 juin 2015

Syntrépentes d’une spirale logarithmique

C’est encore une application de l’étude d’Auguste Miquel, qui a déjà été illustrée dans les précédents documents :
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/courbes-syntrepentes-package-pst-sce.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/courbes-syntrepentes-interieurement.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/courbes-syntrepentes-et-courbes.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/deux-courbes-roulant-lune-sur-lautre.html
et dont Robert Ferréol a réalisé une superbe animation sur son site
http://www.mathcurve.com/courbes2d/engrenage/engrenage.shtml
Voici 2 Gif's réalisés à partir du fichier (il faut laisser le temps au navigateur de mettre les nombreuses images dans le cache, pour que l'animation soit enfin fluide) : dans le sous-répertoire spirale (Gifsyntrepent-spirale.tex) :

courbes-roulantes

en modifiant la valeur de /b2

Les fichiers source et pdf avec les explications et une animation avec le package animate, sont dans le sous-répertoire indiqué précédemment.

samedi 13 juin 2015

Courbes syntrépentes : package pst-sce version 1.4

Ajout de l'option [nR=12], permettant de choisir le nombre de rayons des courbes, ceci afin de permettre une animation plus fluide lors des boucles (pst-sce-version4) :

courbes-roulantes

Exemples avec les courbes syntrépentes intérieurement :

vendredi 12 juin 2015

Courbes syntrépentes intérieurement

C’est dans une note de la partie IV de son article “Sur quelques questions relatives à la théorie des courbes” , qu’Auguste Miquel définit les courbes syntrépentes intérieurement.

<< Dans ce dernier cas, la distance des centres O′, O′′, est constamment égale, non à la somme, mais à la différence des rayons qui passent par le point de contact. Pour ne pas confondre, nous dirons que les courbes sont syntrépentes intérieurement. >>
http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1838_1_3_A17_0

Robert Ferréol a magnifiquement illustré ce cas avec de nombreux exemples, sur son site:
http://www.mathcurve.com/courbes2d/engrenage/engrenage.shtml

Ceci est la suite des précédents articles :
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/courbes-syntrepentes-et-courbes.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/deux-courbes-roulant-lune-sur-lautre.html

Seul le cas où l’une des courbes est une ellipse, celle qui entraîne le mouvement, est illustré ici avec la commande : \psSyntrepentCurvesIn[options].

Cette commande est intégrée au package pst-sce dans le sous-répertoire pst-sce-version3 (pst-sce-version3.zip):

courbes-roulantes

Mise à jour du 13 juin (pst-sce-version4.zip) dans le sous-répertoire pst-sce-version4. :

courbes-roulantes

Les animations réalisées avec la package animate sont incluses dans les divers pdf.

Voici quelques animations au format Gif :

dimanche 7 juin 2015

Courbes syntrépentes et courbes isotrépentes

C'est la suite du message précédent :
http://pstricks.blogspot.fr/2015/06/deux-courbes-roulant-lune-sur-lautre.html
qui traitait des courbes syntrépentes.
Il s’agit du cas particulier des courbes syntrépentes, ainsi énoncé par Auguste Miquel : “J’appellerai isotrépente une courbe qui, comme l’ellipse, aura pour syntrépente une courbe égale à elle-même.”. C’est à Henri Bouasse que nous devons la remarque suivante, à la page 104 de son livre Cours de Mécanique , chapitre “Courbes roulantes”:
[. . . ],les courbes d’équation :

sont encore des courbes roulantes conjuguées. Pour qu’elles se ferment, on prendra n entier.

J’utilise la commande \psIsotrepentCurves[options] pour illustrer différents cas. Cette commande a été incluse dans le package pst-sce(qui a été revu), qui comprend celle relatives aux courbes syntrépentes à l'ellipse.
Tous les fichiers du package et les exemples sont contenus dans le fichier compressé pst-sce-version2.zip dans le sous-dossier pst-sce-version2 :

courbes-roulantes

ou bien sous forme de fichiers séparés, dans le répertoire pst-sce-version2 :

Mise à jour du 13 juin : pst-sce-version4.zip dans le sous-répertoire pst-sce-version4 :

courbes-roulantes

Quelques animations (elles sont incluses dans les fichiers pdf avec le package animate).

mardi 2 juin 2015

Deux courbes roulant l’une sur l’autre, chacune tournant autour d’un point fixe

Auguste Miquel est l’auteur de l’article fondateur de la théorie des courbes roulant l’une sur l’autre. Son article intitulé “Sur quelques questions relatives à la théorie des courbes” est paru dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, en 1838. Après avoir posé les conditions de roulement de 2 courbes tournant chacune autour d’un point fixe, l’une sur l’autre sans glissement, Auguste Miquel fait une très intelligente démonstration, avec un minimum de calculs, pour établir, une courbe (1) étant donnée, l’équation d’une deuxième courbe conjuguée (2). En référence, étymologiquement, à l’expression en grec(tourner ensemble), il qualifie ces 2 courbes conjuguées de syntrépentes. La démonstration d’Auguste Miquel est remarquable, je la reproduis dans le document en hommage à l’auteur en modifiant simplement quelques notations.
Dans son livre “Cours de Mécanique”, Henri Bouasse traite aussi de ce problème dans les pages 103, 104 et 105, le chapitre est intitulé “Courbes roulantes”. Henri Bouasse donne le résultat pour la courbe conjuguée d’une ellipse mais pas de démonstration, cependant il fait une généralisation intéressante.
Plus proche de nous, Robert Ferréol sur son site, fait un exposé très complet de ce problème et donne des solutions illustrées par de superbes schémas et animations. Robert Ferréol ne donne pas non plus de démonstration, mais il formule le résultat pour les courbes syntrépentes à une ellipse sous une forme très sympathique. À la suite de la démonstration d’Auguste Miquel, je fais un lien avec l’expression donnée par Robert Ferréol des courbes syntrépentes à une ellipse.

http://sites.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1838_1_3_A17_0
http://www.mathcurve.com/courbes2d/engrenage/engrenage.shtml

J’ai écrit une commande \psSyntrepentCurves[options] pour le dessin et l’animation des courbes syntrépentes à une ellipse.
Vous trouverez dans le fichier(tous les liens et le détail des explications) dans le sous-dossier (pst-sce-version2/) (pst-sce-version2/SyntrepentCurves.pdf et pst-sce-version2/SyntrepentCurves.tex) :

courbes-roulantes

et d'autres exemples dans le fichier (SyntrepentExamples.tex et SyntrepentExamples.pdf courbesroulantes.bib).

Un package (pst-sce-version2.zip dans le sous dossier pst-sce-version2) est dédié à l'ellipse et à ses courbes syntrépentes :

Mise à jour du 13 juin : pst-sce-version4.zip dans le sous-dossier pst-sce-version4 :

courbes-roulantes

Vous y trouverez aussi la documentation mise-à-jour et les exemples.

Voici quelques animations réalisées avec la commande dédiée :