Arcs-en-ciel : partie 2, les trajets de la lumière dans les gouttes d'eau

C'est un prétexte à utiliser PStricks pour dessiner le trajet de la lumière dans les gouttes d'eau en illustrant le principe de formation des arc-en-ciel primaire et secondaire et des arcs surnuméraires.
Quelques explications sont données dans le document contenant les dessins. Pour des explications plus complètes on se référera aux articles de Robert Chalot dans le bulletin de l'Union des Physiciens :
http://www.udppc.asso.fr/bupdoc/consultation/article-bup.php?ID_fiche=2062
au livre de Bernard Maitte : Histoire de l'arc-en-ciel aux éditions de SEUIL
et au chapitre La théorie de l'arc-en-ciel du livre Les phénomènes naturels de la  bibliothèque Pour la Science des éditions Belin.

 

Trajet d’un rayon lumineux (monochromatique) traversant la goutte d’eau,
qui participe à l’arc-en-ciel primaire.

 

Faisceau de rayons parallèles de même couleur

, 

Seuls les rayons incidents qui frappent la goutte dans son hémisphère supérieure
parviendront à l’œil de l’observateur terrestre, après une réflexion, on refait le dessin en se limitant aux rayons incidents supérieurs.

Cheminement et dispersion d’un rayon de lumière blanche.

Pour observer l’arc-en-ciel secondaire, il faut envisager les rayons qui frappent l’hémisphère inférieur de la goutte d’eau et qui après deux réflexions successives repartent vers le bas, vers les observateurs éventuels.

 

Rôle des gouttes d’eau dans la vision des deux arcs

 

Formation des arcs surnuméraires

Les fichiers dans : arcs-en-ciel

Arcs-en-ciel : partie 1

Entre les deux arcs-en-ciel se situe une région plus sombre que le reste du ciel : la bande d’ALEXANDRE.
Ce phénomène est lié essentiellement au phénomène de la dispersion de la lumière par les gouttes d’eau. Au-dessus de l’arc primaire on voit parfois un arc secondaire moins lumineux dont les couleurs sont inversées par rapport à l’arc primaire.
Des arcs surnuméraires alternativement roses et verts peuvent apparaître sous l’arc-en-ciel primaire et d’après Moysés NUSSENZVEIG (auteur d’un article sur une théorie de l’arc-en-ciel dans le livre Les phénomènes naturels, bibliothèque pour la Science, Belin), ils sont très exceptionnellement visibles au-dessus de l’arc-en-ciel secondaire.

Les fichiers  dans : arcs-en-ciel

Circuit série RLC soumis à une tension en créneaux

C'est un package très spécialisé, puisqu'il permet de représenter :

• la tension aux bornes du condensateur ;
• la tension  aux bornes du générateur ;
• l'intensité du courant (la tension aux bornes d'une résistance fixe) ;
• en mode XY : u=f(i).

 Voici les principales copies d'écran :

En mode XY on augmente progressivement R :

 

Les fichiers : RLC

le fichier .zip du dossier contient tous les fichiers.

Branches multiples des enveloppes : un texte de Henri Bouasse

Le chapitre VII « Généralités sur les courbes » du livre de Henri Bouasse : Cours de mathématiques générales, paru en 1911 chez Ch.Delagrave à Paris, contient une partie très intéressante sur les enveloppes et enveloppées dont j’ai extrait ce court paragraphe (§ 136) intitulé « Branches multiples des enveloppes », afin de l’illustrer avec PStricks et d’en proposer un Gif animé et une animation flash.
Le Gif  animé :

 L'animation flash :
http://melusine.eu.org/syracuse/mluque/bouasse-enveloppes/?swf=animation-tige25.swf
Deux images, celle reproduisant, avec PStricks, l'image du texte :

et une autre en couleurs :

 

Les fichiers  : http://melusine.eu.org/syracuse/mluque/bouasse-enveloppes/

Le code LaTeX permettant de générer les images pour créer un Gif animé ou une animation flash :

\documentclass{article}
\usepackage{pstricks,pst-plot,multido,pst-eps}
% Denis Girou
\newcommand{\pssave}[2]{\PSTtoEPS[headers=all,bburx=6cm,bbury=6cm,bbllx=-6cm,bblly=-6cm]{#1.eps}{#2}}
%
\SpecialCoor
\newcount\It
\begin{document}
\def\radius{2}
\def\datas{/radius \radius\space def
/AB 3.14159 radius mul 2 div def}
\multido{\iT=-90+10,\image=1+1}{19}{%
\It=\image
  \ifnum\It<9
    \def\Pad{00}%
  \else
    \def\Pad{0}%
  \fi
\pssave{tige\Pad\image}{%
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psframe*(-6,-6)(6,6)
\pscircle[linecolor=white]{\radius}
% phase 1 : rotation de la tige autour de I
\psline[linewidth=2pt,linecolor=yellow](\radius,0)(!
                 \datas
                 /xB radius AB \iT\space cos mul add def
                 /yB AB \iT\space sin mul def
                 xB yB)
\parametricplot[linecolor=red]{-90}{\iT}{%
    radius AB t cos mul add
    AB t sin mul  }
\end{pspicture}
}}
\multido{\iA=10+10,\image=20+1}{9}{%
\pssave{tige0\image}{%
% roulement entre I et J
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psframe*(-6,-6)(6,6)
\pscircle[linecolor=white]{\radius}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=yellow](!
         \datas
         /iA \iA\space 3.14159 mul 180 div def
         /TA radius iA mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius \iA\space cos mul def
         /yT radius \iA\space sin mul def
         /xA xT TA \iA\space sin mul add def
         /yA yT TA \iA\space cos mul sub def
          xA yA)(!
         \datas
         /iA \iA\space 3.14159 mul 180 div def
         /TA radius iA mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius \iA\space cos mul def
         /yT radius \iA\space sin mul def
         /xB xT TB \iA\space sin mul sub def
         /yB yT TB \iA\space cos mul add def xB yB)
\parametricplot[linecolor=red]{-90}{90}{%
    radius AB t cos mul add
    AB t sin mul  }
\parametricplot[linecolor=red]{0}{\iA}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{\iA}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xA yA}
\end{pspicture}
}}
% phase 3 : rotation autour de J
\multido{\iT=10+10,\image=29+1}{18}{%
\pssave{tige0\image}{%
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psframe*(-6,-6)(6,6)
\pscircle[linecolor=white]{\radius}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=yellow](! \datas
          /xA AB \iT\space cos mul def
          /yA AB \iT\space sin mul radius add def xA yA)(! \datas
          /xB 0 def
          /yB radius def xB yB)
\parametricplot[linecolor=red]{-90}{90}{%
    radius AB t cos mul add
    AB t sin mul  }
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xA yA}
% rotation autour de J
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{\iT}{%
        AB t cos mul
        AB t sin mul radius add }
\end{pspicture}
}}
% phase 4 :roulement entre J et K
\multido{\iA=10+10,\image=47+1}{9}{%
\pssave{tige0\image}{%
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psframe*(-6,-6)(6,6)
\pscircle[linecolor=white]{\radius}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=yellow](! \datas
         /iA \iA\space 3.14159 mul 180 div def
         /TB radius iA mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius \iA\space sin mul neg def
         /yT radius \iA\space cos mul def
         /xA xT TA \iA\space cos mul sub def
         /yA yT TA \iA\space sin mul sub def
         xA yA)(! \datas
         /iA \iA\space 3.14159 mul 180 div def
         /TB radius iA mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius \iA\space sin mul neg def
         /yT radius \iA\space cos mul def
         /xB xT TB \iA\space cos mul add def
         /yB yT TB \iA\space sin mul add def
         xB yB)
\parametricplot[linecolor=red]{-90}{90}{%
    radius AB t cos mul add
    AB t sin mul  }
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xA yA}
% rotation autour de J
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{180}{%
        AB t cos mul
        AB t sin mul radius add }
% roulement entre J et K
\parametricplot[linecolor=red]{0}{\iA}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
%         /xA xT TA t cos mul sub def
%         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{\iA}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
         /xA xT TA t cos mul sub def
         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xA yA}
\end{pspicture}
 }}%
 % phase 5 : rotation autour de K
\multido{\iT=10+10,\image=56+1}{18}{%
\pssave{tige0\image}{%
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psframe*(-6,-6)(6,6)
\pscircle[linecolor=white]{\radius}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=yellow](! \datas
          /xA radius neg def
          /yA 0 def
          xA yA)(! \datas
          /xB AB \iT\space sin mul radius add neg def
          /yB AB \iT\space cos mul def
          xB yB)
\parametricplot[linecolor=red]{-90}{90}{%
    radius AB t cos mul add
    AB t sin mul }
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xA yA}
% rotation autour de J
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{180}{%
        AB t cos mul
        AB t sin mul radius add }
% roulement entre J et K
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
%         /xA xT TA t cos mul sub def
%         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
         /xA xT TA t cos mul sub def
         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xA yA}
\parametricplot[linecolor=red]{0}{\iT}{%
    AB t sin mul radius add neg
    AB t cos mul}
\end{pspicture}
}}%
% phase 6 : roulement entre de K -> L
\multido{\iA=10+10,\image=74+1}{9}{%
\pssave{tige0\image}{%
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psframe*(-6,-6)(6,6)
\pscircle[linecolor=white]{\radius}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=yellow](! \datas
         /iA \iA\space 3.14159 mul 180 div def
         /TB radius iA mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius \iA\space cos mul neg def
         /yT radius \iA\space sin mul neg def
         /xA xT TB \iA\space sin mul sub def
         /yA yT TB \iA\space cos mul add def
         xA yA)(! \datas
         /iA \iA\space 3.14159 mul 180 div def
         /TB radius iA mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius \iA\space cos mul neg def
         /yT radius \iA\space sin mul neg def
         /xB xT TA \iA\space sin mul add def
         /yB yT TA \iA\space cos mul sub def
          xB yB)
\parametricplot[linecolor=red]{-90}{90}{%
    radius AB t cos mul add
    AB t sin mul }
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xA yA}
% rotation autour de J
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{180}{%
        AB t cos mul
        AB t sin mul radius add }
% roulement entre J et K
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
%         /xA xT TA t cos mul sub def
%         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
         /xA xT TA t cos mul sub def
         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xA yA}
\parametricplot[linecolor=red]{0}{180}{%
    AB t sin mul radius add neg
    AB t cos mul}
 \parametricplot[linecolor=red]{0}{\iA}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t cos mul neg def
         /yT radius t sin mul neg def
         /xA xT TB t sin mul sub def
         /yA yT TB t cos mul add def
         /xB xT TA t sin mul add def
         /yB yT TA t cos mul sub def
         xB yB
 }
 \parametricplot[linecolor=blue]{0}{\iA}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t cos mul neg def
         /yT radius t sin mul neg def
         /xA xT TB t sin mul sub def
         /yA yT TB t cos mul add def
         /xB xT TA t sin mul add def
         /yB yT TA t cos mul sub def
         xA yA
 }
\end{pspicture}
}}%
% phase 7 : rotation autour de L
\multido{\iT=10+10,\image=83+1}{18}{%
\pssave{tige0\image}{%
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psframe*(-6,-6)(6,6)
\pscircle[linecolor=white]{\radius}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=yellow](! \datas
          /yA AB \iT\space sin mul radius add neg def
          /xA AB \iT\space cos mul neg def
           xA yA)(! \datas
          /xB 0 def
          /yB radius neg def
           xB yB)
\parametricplot[linecolor=red]{-90}{90}{%
    radius AB t cos mul add
    AB t sin mul }
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xA yA}
% rotation autour de J
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{180}{%
        AB t cos mul
        AB t sin mul radius add }
% roulement entre J et K
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
%         /xA xT TA t cos mul sub def
%         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
         /xA xT TA t cos mul sub def
         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xA yA}
\parametricplot[linecolor=red]{0}{180}{%
    AB t sin mul radius add neg
    AB t cos mul}
 \parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t cos mul neg def
         /yT radius t sin mul neg def
         /xA xT TB t sin mul sub def
         /yA yT TB t cos mul add def
         /xB xT TA t sin mul add def
         /yB yT TA t cos mul sub def
         xB yB
 }
 \parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t cos mul neg def
         /yT radius t sin mul neg def
         /xA xT TB t sin mul sub def
         /yA yT TB t cos mul add def
         /xB xT TA t sin mul add def
         /yB yT TA t cos mul sub def
         xA yA
 }
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{\iT}{%
        AB t cos mul neg
        AB t sin mul radius add neg
        }
\end{pspicture}
}}%
% phase 8 : roulement de L->I
\multido{\iA=10+10,\image=101+1}{9}{%
\pssave{tige\image}{%
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psframe*(-6,-6)(6,6)
\pscircle[linecolor=white]{\radius}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=yellow](! \datas
         /iA \iA\space 3.14159 mul 180 div def
         /TA radius iA mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius \iA\space sin mul def
         /yT radius \iA\space cos mul neg def
         /xA xT TA \iA\space cos mul sub def
         /yA yT TA \iA\space sin mul sub def
         xA yA)(! \datas
         /iA \iA\space 3.14159 mul 180 div def
         /TA radius iA mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius \iA\space sin mul def
         /yT radius \iA\space cos mul neg def
         /xB xT TB \iA\space cos mul add def
         /yB yT TB \iA\space sin mul add def
          xB yB)
\parametricplot[linecolor=red]{-90}{90}{%
    radius AB t cos mul add
    AB t sin mul }
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t cos mul def
         /yT radius t sin mul def
         /xA xT TA t sin mul add def
         /yA yT TA t cos mul sub def
         /xB xT TB t sin mul sub def
         /yB yT TB t cos mul add def
         xA yA}
% rotation autour de J
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{180}{%
        AB t cos mul
        AB t sin mul radius add }
% roulement entre J et K
\parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
%         /xA xT TA t cos mul sub def
%         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xB yB}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t sin mul neg def
         /yT radius t cos mul def
         /xA xT TA t cos mul sub def
         /yA yT TA t sin mul sub def
         /xB xT TB t cos mul add def
         /yB yT TB t sin mul add def
          xA yA}
\parametricplot[linecolor=red]{0}{180}{%
    AB t sin mul radius add neg
    AB t cos mul}
 \parametricplot[linecolor=red]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t cos mul neg def
         /yT radius t sin mul neg def
         /xA xT TB t sin mul sub def
         /yA yT TB t cos mul add def
         /xB xT TA t sin mul add def
         /yB yT TA t cos mul sub def
         xB yB
 }
 \parametricplot[linecolor=blue]{0}{90}{%
         /TB radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TA AB TB sub def
         /xT radius t cos mul neg def
         /yT radius t sin mul neg def
         /xA xT TB t sin mul sub def
         /yA yT TB t cos mul add def
         /xB xT TA t sin mul add def
         /yB yT TA t cos mul sub def
         xA yA
 }
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{180}{%
        AB t cos mul neg
        AB t sin mul radius add neg
        }
 \parametricplot[linecolor=blue]{0}{\iA}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t sin mul def
         /yT radius t cos mul neg def
         /xB xT TA t cos mul sub def
         /yB yT TA t sin mul sub def
         /xA xT TB t cos mul add def
         /yA yT TB t sin mul add def
         xA yA
 }
 \parametricplot[linecolor=red]{0}{\iA}{%
         /TA radius t 3.14159 mul 180 div mul def
         /TB AB TA sub def
         /xT radius t sin mul def
         /yT radius t cos mul neg def
         /xB xT TA t cos mul sub def
         /yB yT TA t sin mul sub def
         /xA xT TB t cos mul add def
         /yA yT TB t sin mul add def
         xB yB
 }
\end{pspicture}
}}%
\end{document}

Réflexions d’une onde dans une cavité ellipsoïdale : partie 2

Application des réflexions d’une onde sonore dans une cavité ellipsoïdale

La société Elipson a fabriqué et commercialisé dans les années 60-70 des réflecteurs sonores utilisant la propriété de l’ellipse qu’un rayon passant par un foyer se réfléchit sur la paroi et passe par l’autre foyer. Le site suivant est un musée des réalisations de cette entreprise : http://passion-elipson.com/.
Le manuel de Physique pour les classes de mathématiques et sciences expérimentales, édité en 1961 par la librairie Hatier et dont l’auteur est R. Faucher, contient une excellente étude de cet haut-parleur. Ce paragraphe du livre est un prétexte à la reproduction du dessin qui l'accompagne et à un petit calcul mathématique préalable à sa réalisation.

Les fichiers : http://manuel.luque.perso.neuf.fr/miroir_ellipse/conque_sonore.tex
                   http://manuel.luque.perso.neuf.fr/miroir_ellipse/conque_sonore.pdf
L'ensemble des fichiers nécessaires à la compilation est dans ce répertoire :

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/miroir_ellipse/

ou sur Syracuse

: http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/images/reflexions_dans_ellipsoide

Dispersion par un prisme : simulation avec POVRAY

POV-Ray peut être utilisé pour simuler de manière spectaculaire le phénomène de dispersion par un prisme en optique!
Téléchargez le dossier zippé (dispersion-prisme.zip) du répertoire, ou bien les fichiers individuellement :

 dispersion-prisme

Réflexions d’une onde dans une cavité ellipsoïdale : partie 1

On étudie la réflexion d’une onde sphérique ayant sa source à l’un des foyers de l’ellipsoïde, sur les parois de la cavité, en utilisant le principe d’Huygens. À un instant donné, l’onde réfléchie est l’enveloppe des ondelettes. Le phénomène est représenté dans un des plans de symétrie de l’ellipsoïde contenant le grand axe.
Les schémas sont réalisés avec PStricks et une commande permet de suivre pas à pas l'évolution de l'onde incidente, des ondelettes et de leur enveloppe.

Les fichiers : http://manuel.luque.perso.neuf.fr/miroir_ellipse/

Le pentaprisme : étude optique et géométrique avec PStricks et POV-ray

Le pentaprisme est l'une des pièces essentielles des appareils photographiques dits « reflex mono-objectif ». Je vous en propose une étude géométrique et optique en plusieurs parties  :

• Comment dessiner le pentaprisme avec pst-solides3D ;
• Comment exploiter les fichiers obtenus avec pst-solides3d avec POV-Ray afin d'avoir un rendu plus réaliste du pentaprisme ;
• Dessiner le cheminement des rayons lumineux avec PStricks ;
• Dessiner le cheminement des rayons lumineux avec POV-Ray ;
• Exploiter les possibilités de POV-Ray pour visualiser les images obtenues avec le pentaprisme de façon réaliste.

Voici un lien vers un répertoirel dans lequel j'ai placé les différents fichiers PStricks et POV-Ray.

pentaprisme

Le fichier pentaprisme.zip de ce répertoire contient tous les fichiers qui sont mentionnés dans la suite.
Quelques images :

Géométrie du pentaprisme et cheminement d'un rayon lumineux lorsque les deux faces (AB) et (CD) ne sont pas métallisées, les calculs ont été faits avec n=1,52. Les intensités des différents rayons réfractés et réfléchis ne sont pas respectées.

Réflexion totale à 90°

Les deux faces réfléchissantes sont métallisées : le rayon subit une réflexion totale à 90°. Fichier : 

 pentaprisme.tex

Tracé de quelques rayons

Un faisceau de rayon incidents parallèles est réfléchi à 90° par rapport à sa direction initiale. Fichier : 

Quelques images avec POV-Ray :

  Les 2 faces ne sont pas métallisées, il n'y a pas de réflexion totale. La majeure partie est transmise sur la première face.

fichier : pentaprisme_v1_1.pov

Le rayon incident est réfléchi à 90° par rapport à sa direction initiale. On observe une réflexion totale sur les deux faces.
fichier : pentaprisme_v2.pov

On observe le groupe de lettres (ABC) et l'image observée n'est pas renversée, elle est droite.
fichier : pentaprisme_image_1.pov

Le pentaprisme est chanfreiné, les lettres sont éclairées et c'est le jour.
fichier : pentaprisme_chanfreine_jour.pov

Les pentaprismes obentus par différentes méthodes :

Le pentaprisme chanfreiné par Patrick Fradin.
fichier : pentaprisme_patrick_fradin.pov

 Pentaprisme chanfreiné avec pst-solides3d :
 pentaprismechanfrein.pov

Friedrich A. Lohmüller qui propose sur son site : http://www.f-lohmueller.de, un tutoriel très complet avec des exemples formidables, m'a envoyé un exemple de pentaprisme chanfreiné avec les macros de POV-ray :

Bevelled_Prism_0.pov

Je rappelle que tous les fichiers et d'autres images sont dans ce répertoire et dans le fichier .zip:

pentaprisme

Réflexions sur un miroir parabolique concave

Ce package a pour objectifs de créer les images nécessaires à une simulation de deux phénomènes complémentaires :
- la réflexion d'ondes rectilignes en ondes circulaires se concentrant sur le foyer ;
- la réflexion d'ondes circulaires dont la source est au foyer en ondes rectilignes.
La simulation ne peut être parfaite car elle ne prend pas en compte ni les multiples réflexions sur le miroir, une seule est prise en compte, ni les effets de bords.

Les fichiers :
 pst-reflectionparabolicmirror

Sur Syracuse :
 http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/cuve_a_ondes/miroir_parabolique/

Augustin FRESNEL : LES LENTILLES À ÉCHELONS

Augustin FRESNEL a été nommé à la commission des phares et balises en 1819 et s’est attaché à les perfectionner au niveau de la source de lumière et du système de projection. C’est ainsi qu’il a été amené à mettre au point les lentilles à échelons. À sa mort le 14 juillet 1827, c’est son frère Léonor qui poursuivra son œuvre de modernisation des phares et contribuera à l’édition de ses œuvres complètes.
C’est dans un Mémoire sur un nouveau système d’éclairage des phares, qu’il lit à l’Académie des Sciences le 29 juillet 1822, que FRESNEL décrit les principes théoriques et pratiques de ses inventions.

Dans le document suivant, vous trouverez le début du texte d'Augustin FRESNEL ainsi que la construction pas à pas des lentilles de FRESNEL avec PStricks, en voici quelques images.

Les fichiers (source et document : lentille_echelons_2011.pdf  et lentille_echelons_2011.tex) sont dans :

FRESNEL

Sur Syracuse : http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/lentilles_echelons/

Réflexion d'ondes rectilignes sur un miroir parabolique par application du principe d'Huygens

Toute cette étude sur la réflexion d'ondes rectilignes sur un miroir parabolique par application du principe d'Huygens, est issue du site :
http://www.parabola.unsw.edu.au/vol31_no1/vol31_no1_2.pdf
Les illustrations ont été réalisées avec PStricks. Pour la partie mathématique, le document cité propose une démonstration analytique, pour ma part, et cela sera ma modeste contribution, j'en donne une démonstration géométrique. Une macro PStricks permet de dessiner les ondelettes : \ondelettes{10}{0.5}{10}. Le premier argument est la durée de l'observation en s, le deuxième l'intervalle de temps entre deux positions du front d'onde et le troisième l'abscisse du point d'entrée du front de l'onde incidente dans le miroir.

Avant que le train d'onde incident n'atteigne le sommet, les ondelettes ont pour enveloppe un cercle centré en F dont le rayon va en diminuant. Cela apparaît clairement sur cette animation :

Les fichiers : miroir-parabolique
ou

http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/images/miroir_parabolique_reflexions