Ballet de pendules

Ce problème a été étudié par James A. Flaten et Kevin A. Parando dans un article intitulé “Pendulum waves : A lesson in aliasing”, paru en 2001 dans l’American Journal of Physics, Vol 69, N◦7.

http://www.physics.iitm.ac.in/~arul/PH1010/AJP000778PendulumWaves2.pdf

Nous avons une suite de n pendules simples situés, au départ, dans un même plan vertical et dont les longueurs vont en décroissant. L’ensemble des pendules est écarté, perpendiculairement au plan vertical initial,  de leur position d’équilibre, de telle sorte qu’ils soient tous dans le même plan vertical parallèle au plan initial, puis ces pendules abandonnés à eux-mêmes se mettent à osciller chacun avec leur période propre. Les longueurs sont calculées de telle sorte que pour un cycle d’observation Γ, le pendule le plus long, d’indice n0, effectue sur cette durée un nombre entier d’oscillations N, le pendule le plus proche, d’indice n1, N + 1 oscillations, le suivant N + 2 oscillations etc.

Le document suivant, accompagné du fichier source, comprend une étude théorique ainsi que des schémas et une animation réalisée avec le package animate. Cependant, l'étude la plus complète est bien sûr celle réalisée par James A. Flaten et Kevin A. Parando.

Pendulum-Waves

Les schémas et animations suivants ont été réalisés pour  Γ=10 s, le pendule plus long effectuant 10 oscillations. Le système comprenant 15 pendules. Voici le système avec les longueurs des pendules en m.

 Il se pose ensuite le problème du déclenchement initial du mouvement de l’ensemble des pendules. Choisissons qu’à l’instant initial tous les pendules sont sur le même plan vertical parallèle à l’axe à une distance y0. Pour les maintenir dans cette position on peut envisager deux solutions. Une planchette dont la partie supérieure sera découpée à la même hauteur que les pendules, ainsi la planchette ne gênera pas les fils ou bien une planchette qui aura été fendue à la position de chaque pendule pour permettre le passage des fils. Voici par exemple, pour la première solution la forme, à l’échelle 1/2 que devra avoir la planchette, les points indiquant la position des pendules. Elle sera rabattue vers le sol à l’instant initial.