polexpr et xint : applications (13)

Calculs vectoriels (3) 

Cet article de Thomas Söll traite de deux sujets :

• rotation d'un vecteur autour d'un axe défini par un vecteur directeur donné ;
• calculs d'angles.

Par exemple, considérons les vecteurs :
$\overrightarrow{EA} = \begin{pmatrix}                     -4\\                     0\\                     0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}                     0\\                     0\\                     1 \end{pmatrix}%$
La rotation d'un angle de 227.5° du vecteur
$\begin{pmatrix}                     -4\\                     0\\                     0 \end{pmatrix}$ autour de l'axe $\begin{pmatrix}                     0\\                     0\\                     1 \end{pmatrix}$est le vecteur $\begin{pmatrix}                     2.702\\                     2.949\\                     0 \end{pmatrix}%$

On obtiendra ceci en écrivant :

\VecDef{A}{-5,-1,0}
\VecDef{D}{4.5,5,0}
\VecDef{E}{-1,-1,0}
\SetVecToSub{EA}{A}{E}
\SetVecToSub{ED}{D}{E}
\VecDef{n}{0,0,1}
\VecRotateAroundLine{ar}{EA}{n}{227.5}

Les calculs d'angles :
Avec \cosphi{EA}{ED} :
on obtient le $\cos(\varphi)$ de l'angle entre les deux vecteurs $\overrightarrow{EA}$ et $\overrightarrow{ED}$.
Avec \VecPhi{EA}{ED}: l'angle est calculé. Cet angle est inférieur ou égal à 180°.
Pour les angles supérieurs à 180° il y a une macro \CalcAngleX[phi]{A}{E}{D} pour calculer l'angle, où A est un point de la première demi-droite, D est le point de  la seconde demi-droite (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) et E est le sommet.
Par exemple, avec les points et vecteurs  donnés , on obtiendra avec cette commande :
\CalcAngleX[eta]{A}{E}{D}        : $\widehat{AED}=227.4896°$
\CalcAngleX[beta]{C}{B}{A}      : $\widehat{CBA}=138.8141°$
\CalcAngleX[alpha]{B}{A}{E}    : $\widehat{BAE}=45°$
\CalcAngleX[gamma]{D}{C}{B} : $\widehat{DCB}=86.1859°$

Ce qui est illustré avec la figure suivante :

 Tous les fichiers sont dans le répertoire :

Calcul-Vectoriel-Geometrie

Le fichier de cette partie(3) est intitulé : CalculVector-part3.tex et .pdf. Le fichier zippé les contient tous. La version française est incluse dans le répertoire. Tous ces fichiers peuvent être téléchargés sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/