PStricks : applications: La deuxième loi de Képler

Étude et illustration de la 2 ^ième loi de Képler (loi des aires) par Thomas Söll et Jürgen Gilg avec pour les calculs https://ctan.org/pkg/xint de Jean-François Burnol et PSTricks de Timothy Van Zandt.
Le document est téléchargeable aux adresses suivantes :
Kepler_2.pdf
Kepler_2.tex
ou
Kepler_2.pdf et Kepler_2.tex
Quelques images extraites du document et la démonstration :
Les paramètres de l'ellipse :

La transformation de l'angle

$E$ (angle au centre de l'ellipse) avec l'angle

$\varphi$ (l'angle de sommet le foyer de l'ellipse -- l'angle polaire).

Pour l'angle polaire

$\varphi$ :

$\begin{align} \cos(\varphi) & = \frac{a\cdot\cos(E)-c}{r}= \frac{a\cdot\cos(E)-c}{a-c\cdot\cos(E)}\\ \sin(\varphi) & = \frac{b\cdot\sin(E)}{r}=\frac{\sqrt{a^2-c^2}\cdot\sin(E)}{a-c\cdot\cos(E)}\label{eq:Diff} \end{align}$ La formule de transformation entre les angles

$E$ (origine) et

$\varphi$ (foyer

$F_2$ ) :

$\begin{equation*} \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\sqrt{\frac{a+c}{a-c}}\cdot\tan\left(\frac{E}{2}\right) \end{equation*}$ En prenant la formule (2) et en dérivant par rapport à

$t$ :

$\begin{align*} \frac{\text{d}}{\text{d}t}(\sin(\varphi))&=\cos(\varphi)\cdot\dot{\varphi}\\ &= \frac{b\cos(E)\cdot\dot{E}(a-c\cos(E))-c\sin(E)\cdot\dot{E}b\sin(E)}{(a-c\cos(E))^2}\\ &=\ldots\\ &=b\dot{E}\cdot\frac{a\cos(E)-c}{(a-c\cos(E))^2} \end{align*}$ On divise par

$\cos(\varphi)$ , alors

$\begin{equation}\label{eq:varphi} \dot{\varphi}=\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}=\frac{b\dot{E}}{a-c\cos(E)}=\frac{b\dot{E}}{r} \end{equation}$
La deuxième loi de Kepler (\emph{Loi des aires}) dit :

Le rayon-vecteur reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux.

L'aire doit être constante :

$\begin{equation*} r^2\cdot\dot{\varphi}=\text{cste.}=C \end{equation*}$
L'équation (3) résolue pour

$\dot{E}$ :

$\begin{equation*} \dot{E}=\frac{\text{d}E}{\text{d}t}=\frac{r^2\dot{\varphi}}{br}=\frac{C}{br}=\frac{C}{b(a-c\cos(E))} \end{equation*}$ Par integration

$\begin{align*} \int\text{d}t &=\int\frac{b}{C}(a-c\cos(E))\,\text{d}E\\ t &= t(E): \, t=\frac{b}{C}(aE-c\sin(E)) \end{align*}$

Une animation due à Jean-François Burnol :

Le fichier source à compiler par la méthode habituelle pour obtenir le pdf :
KeplerOrbit.tex
ou
http://manuel.luque.free.fr/Kepler/KeplerOrbit.tex

À partir du pdf vous obtiendrez le Gif animé avec la commande :

convert -verbose -density 150x150 -alpha remove -delay 0 KeplerOrbit.pdf[0] -dispose previous -delay 10 KeplerOrbit.pdf[1-1000] -loop 0 KeplerOrbit.gif

Tous les fichiers sont aussi sur la page dédiée aux applications des packages xint et polexpr :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/

La ronde de 24 objets satellisés sur une orbite elliptique autour du Soleil (on suppose qu'il n'y a aucune interaction entre eux).
Sur une idée et une réalisation de Jean-François Burnol, avec une animation au format SVG de Jürgen Gilg.

http://www.le-gilgomat.de/Kepler.html