PStricks : applications: La deuxième loi de Képler

Étude et illustration de la 2 ^ième loi de Képler (loi des aires) par Thomas Söll et Jürgen Gilg avec pour les calculs https://ctan.org/pkg/xint de Jean-François Burnol et PSTricks de Timothy Van Zandt.
Le document est téléchargeable aux adresses suivantes :
Kepler_2.pdf
Kepler_2.tex
ou
Kepler_2.pdf et Kepler_2.tex
Quelques images extraites du document et la démonstration :
Les paramètres de l'ellipse :

La transformation de l'angle $E$ (angle au centre de l'ellipse) avec l'angle $\varphi$ (l'angle de sommet le foyer de l'ellipse -- l'angle polaire).

Pour l'angle polaire $\varphi$ :
\begin{align}
\cos(\varphi) & = \frac{a\cdot\cos(E)-c}{r}= \frac{a\cdot\cos(E)-c}{a-c\cdot\cos(E)}\\
\sin(\varphi) & = \frac{b\cdot\sin(E)}{r}=\frac{\sqrt{a^2-c^2}\cdot\sin(E)}{a-c\cdot\cos(E)}\label{eq:Diff}
\end{align}La formule de transformation entre les angles $E$ (origine) et $\varphi$ (foyer $F_2$) :
\begin{equation*}
\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\sqrt{\frac{a+c}{a-c}}\cdot\tan\left(\frac{E}{2}\right)
\end{equation*}En prenant la formule (2) et en dérivant par rapport à $t$ :
\begin{align*}
\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\sin(\varphi))&=\cos(\varphi)\cdot\dot{\varphi}\\
&= \frac{b\cos(E)\cdot\dot{E}(a-c\cos(E))-c\sin(E)\cdot\dot{E}b\sin(E)}{(a-c\cos(E))^2}\\
&=\ldots\\
&=b\dot{E}\cdot\frac{a\cos(E)-c}{(a-c\cos(E))^2}
\end{align*}On divise par $\cos(\varphi)$, alors
\begin{equation}\label{eq:varphi}
\dot{\varphi}=\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}=\frac{b\dot{E}}{a-c\cos(E)}=\frac{b\dot{E}}{r}
\end{equation}
La deuxième loi de Kepler (\emph{Loi des aires}) dit :

Le rayon-vecteur reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux.

L'aire doit être constante :
\begin{equation*}
r^2\cdot\dot{\varphi}=\text{cste.}=C
\end{equation*}
L'équation (3) résolue pour $\dot{E}$ :
\begin{equation*}
\dot{E}=\frac{\text{d}E}{\text{d}t}=\frac{r^2\dot{\varphi}}{br}=\frac{C}{br}=\frac{C}{b(a-c\cos(E))}
\end{equation*}Par integration
\begin{align*}
\int\text{d}t &=\int\frac{b}{C}(a-c\cos(E))\,\text{d}E\\
t &= t(E): \, t=\frac{b}{C}(aE-c\sin(E))
\end{align*}

Une animation due à Jean-François Burnol :

Le fichier source à compiler par la méthode habituelle pour obtenir le pdf :
KeplerOrbit.tex
ou
http://manuel.luque.free.fr/Kepler/KeplerOrbit.tex

À partir du pdf vous obtiendrez le Gif animé avec la commande :

convert -verbose -density 150x150 -alpha remove -delay 0 KeplerOrbit.pdf[0] -dispose previous -delay 10 KeplerOrbit.pdf[1-1000] -loop 0 KeplerOrbit.gif

Tous les fichiers sont aussi sur la page dédiée aux applications des packages xint et polexpr :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/

La ronde de 24 objets satellisés sur une orbite elliptique autour du Soleil (on suppose qu'il n'y a aucune interaction entre eux).
Sur une idée et une réalisation de Jean-François Burnol, avec une animation au format SVG de Jürgen Gilg.

http://www.le-gilgomat.de/Kepler.html