mardi 31 décembre 2019

La deuxième loi de Képler illustrée avec PSTricks et xint

Voici quelques extraits de ce document de 24 pages écrit par Jean-François Burnol avec la collaboration de Jürgen Gilg et Thomas Söll afin de donner envie à tous les amateurs de géométrie et de constructions géométriques de lire le texte original qui s'il utilise PSTricks et xint pour les illustrations graphiques est surtout une riche étude mathématique sur l'ellipse avec comme point de départ la deuxième loi de Képler :
Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un de foyers. Leur vitesse est telle que le rayon vecteur les joignant au Soleil balaie des aires proportionnelles au temps (loi des aires).
Les résultats seront généralisés pour des coniques quelconques dans un prochain document.
Les fichiers sources sont à télécharger sur la page dédiée à xint-polexpr :
ou bien, avec le pdf, ici :
 Les conventions et notations usuelles pour les ellipses sont précisées :
Théorème  :
    Pour tout $0\leq c < a$ l'équation $d_1 + d_2 = 2a$ équivaut à l'équation   $d_1 = a - ex$.

    On a utilisé les notations $d_i = \mathrm{d}(M,F_i)$, $M=(x,y)$, $F_1=(c,0)$,$F_2=(-c,0)$.

Par un raisonnement simple, la définition de la directrice pour un foyer est déduite ainsi qu'une autre construction de l'ellipse :

Il est démontré que l'ellipse se déduit du cercle de centre O et de rayon a par la transformation affine $T$ :  $(x,y)\longrightarrow (x, \frac{b}{a} y)$

Voici une figure illustrant la relation entre le point M sur l'ellipse et le point N sur le cercle, et l'angle E au centre de l'ellipse. On y fait figurer aussi l'angle $\phi$  des coordonnées polaires centrées au foyer $F_1$. La relation entre $\phi$  et E fera l'objet de commentaires détaillés ultérieurement, tant du point du vue théorique que numérique.

La deuxième partie est dédiée à la deuxième loi de Képler.
L' objectif dans cet article est d'illustrer la seconde loi de Kepler par des figures faites avec PSTricks et des calculs faits avec l'aide de xint. Il nous faut donc trouver un moyen de calculer l'aire balayée par le rayon $\overrightarrow{SM}$ ($S$ est le Soleil, $S = F_1$) lorsque $M$ va de
$M_1$ en $M_2$. La formule théorique :

Il est ainsi démontré dans le document que :
L'aire algébrique totale balayée par le rayon vecteur   $\overrightarrow{SM}$ pour $M$ allant (continûment) du sommet $A$ au point  $P = (a\cos E, b\sin E)$ est (pour tout $E\in R$):
    \begin{equation}
      A = \frac{ab}2\bigl(E - e\sin E\bigr)
    \end{equation}

La troisième partie est intitulée :
Ellipse et aire elliptique via les coordonnées polaires, où comment découvrir l’anomalie excentrique même en s’acharnant à vouloir tout faire avec l’anomalie vraie.
Si nous utilisons des coordonnées polaires centrées en le foyer $F_1$, alors tout bêtement $d_1 = r$ et $x = c + r \cos\phi$.
Or l'équation (caractérisation de l'ellipse par foyer et directrice) est $d_1 = a - ex$, qui équivaut à  $r = a - ec - er\cos\phi$ ou encore à $r = a(1 - e^2)/(1+e\cos\phi)$ et nous obtenons :
L'ellipse de demi-grand axe $a$ et d'excentricité $e$ a comme équation polaire, avec le centre des coordonnées en un foyer $F$ et $\phi\equiv\pi\pmod{2\pi}$ pour l'autre foyer $F'$ :
  \begin{equation}
    r = \frac{p}{1 + e\cos\phi}
  \end{equation}
Lorsque le centre des coordonnées est en $F$ avec l'autre foyer ayant argument $\phi \equiv0\pmod{2\pi}$, l'équation est :
  \begin{equation}
    r = \frac{p}{1 - e\cos\phi}
  \end{equation}
Ce cas de figure correspond à l'apogée ayant argument nul.
Les auteurs injectent cette équation polaire de l'ellipse dans l'élément d'aire $\frac{1}{2}r^2\mathrm{d} \phi$ et retrouvent (après un assez long calcul de primitives) la formule $\frac{ab}2(E - e \sin(E))$ pour l'aire balayée à partir du périgée, l'angle $E$ provenant de plusieurs changements de variables successifs. Ils signalent malicieusement « Il faut donc avoir fait une fois dans sa vie ce calcul brutal de $\frac12\int_0^\phi r^2 \mathrm{d} \phi$,... »..
 La partie 4 établit les équations reliant $E$ et $\phi$ :
\begin{equation}
  \cos E = \frac{a\cos \phi + c}{a + c \cos \phi}
\end{equation}

\begin{equation}
  \tan\frac E2 = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac\phi2
\end{equation}
Il est démontré que le graphe de $E$ comme fonction de $\phi$ est symétrique par rapport à la droite $E+\phi = \pi$.
Graphes de $E$ en fonction de $\phi$, pour différentes valeurs de l'excentricité on a indiqué sur la figure l'axe de symétrie $E + \phi =  \pi$.

La partie 5 montre que la relation entre $(O;E)$ et $(F_1;\phi)$ est symétrique :

 La partie 6 établit la relation entre les coordonnées angulaires aux deux foyers et en conclusion que la bissectrice intérieure au point $M$ aux droites $MF_1$ et $MF_2$ est  normale à la tangente en $M$ à l'ellipse.

 Une longue annexe est consacrée à des considérations sur des calculs numériques tels que celui de $E$ à partir de $\phi$ en comparant l'utilisation de Python et de xint.

Deux animations Gif :



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