Le cercle de Carlyle avec PSTricks et animate

C'est une illustration  du cercle de Carlyle réalisée par Jürgen Gilg avec PSTricks et animate

Ce cercle est abondamment documenté sur internet (voir par exemple :

 https://en.wikipedia.org/wiki/Carlyle_circle).

On peut télécharger les fichiers de Jürgen ici :

http://manuel.luque.free.fr/Carlyle-Circle/Carlyle-Circle.zip

ou

 Cercle de Carlyle
Voici quelques explications essentielles à la compréhension des animations ci-dessous, extraites de la documentation.

C'est une méthode géométrique pour trouver les racines d'une équation quadratique.

On considère un polynôme normalisé de degré $2$ :
\begin{equation*}
  P(x)=x^2-px+q
\end{equation*}
Les points : $C_1(0,1)$ et $C_2(p,q)$ -- définissent le diamètre du cercle de \textsc{Carlyle}.

Coordonnées du centre du cercle (milieu du segment de $[C_1C_2]$ : $M(\frac{p}{2},\frac{1+q}{2})$

Rayon du cercle : $r=\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q-1}{2}\right)^2}$

Équation du cercle :
\begin{equation*}
  C:\,\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1+q}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q-1}{2}\right)^2
\end{equation*}
Les racines $x_1$, $x_2$ de l'équation $x^2-px+q=0$, sont les abscisses des points d'intersection du cercle avec l'axe $x$.

Alors on fait $y=0$ :
\begin{align*}
\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+\left(0-\frac{1+q}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q-1}{2}\right)^2\\
x^2-px+\frac{p^2}{4}+\frac{1+2q+q^2}{4}&=\frac{p^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}\\
x^2-px+q&=0
\end{align*}
Ce sont aussi les abscisses des points d'intersection de la parabole d'équation $y=x^2-px+q$ avec l'axe des abscisses. 

Deux animations pour illustrer la propriété du cercle de Carlyle.