lundi 27 avril 2020

Engrenages pour une horloge astronomique

Dans son document, l’auteur du site : https://vanoise49.pagesperso-orange.fr/index.html, explique au chapitre 4 comment déterminer les nombres de dents des roues d’un train d’engrenage.
Le principe est connu, par exemple l’auteur cite la rénovation de l’horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg, au XIX$^{\text{ième}}$ siècle, par Jean-Baptiste Schwilgué. Je relève dans le livre de ce dernier “Description abrégée de l’horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg” la phrase suivante : « La sphère opère sa révolution d’orient en occident dans un jour sidéral, c’est-à-dire dans l’intervalle entre les retours successifs d’une même étoile au méridien ; durée plus courte d’environ 3 minutes 56 secondes que celle du jour solaire moyen. » et aussi,encore un exemple, sur le site :
 http://www.ens-lyon.fr/RELIE/Cadrans/Musee/HorlogesAstro/Lyon/Cathedrale.htm
« L'alidade doit accomplir un tour en 1 jour solaire moyen de 24 heures, pendant que l'araignée accomplit un tour en 1 jour sidéral de 23 heures 56 minutes et 4 secondes. Autrement dit, pour 365,25 tours de l'alidade (portant le soleil), l'araignée (portant les étoiles) fait 366,25 tours. »
L'auteur du site "Astronomie et planétaire géocentrique" utilise les données plus précises de :
http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/ : année sidérale = 365,256 363 004 j.
En ce qui concerne les explications, tout ce qui suit est une paraphrase de celles de l'auteur du site cité.
Le rapport de transmission de l'engrenage doit être très proche de :
 $ r=\frac{365.256363004}{366.256363004}=0.9972696720084312.$.
L'auteur décompose les calculs en 2 étapes :
  1. choix du nombre rationnel approché ;
  2. choix du train d'engrenage.
Pour la première étape, il propose d'abord une méthode « manuelle » puis informatique. Son document est très bien expliqué et l'outil informatique utilisé est MATLAB. Pour illustrer ce document-ci, les calculs seront faits avec le package https://ctan.org/pkg/xint de Jean-François Burnol, qui n'a rien a envier aux logiciels de calculs commerciaux.
Par exemple :
\xintFrac {365.256363004/366.256363004}=\xintCFrac {365256363004/366256363004}
donne :
\[
0+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
365+\cfrac{1}{
3+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
9+\cfrac{1}{
13+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
4+\cfrac{1}{
3+\cfrac{1}{
2+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
6+\cfrac{1}{
4+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
8+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
7}}}}}}}}}}}}}}}}}
\]
Et \xintFrac{365.256363004/366.256363004}\to\red\xintListWithSep{\allowbreak\ }{\xintApply\xintFrac{\xintFtoCv{365.256363004/366.256363004}}}
donne :

$$\displaystyle
\frac{365}{366}\ \frac{1096}{1099}\ \frac{1461}{1465}\ \frac{14245}{14284}\ \frac{186646}{187157}\ \frac{200891}{201441}\ \frac{990210}{992921}\ \frac{3171521}{3180204}\ \frac{7333252}{7353329}\frac{10504773}{10533533}\ \frac{70361890}{70554527}\ \frac{221590443}{222197114}\ \frac{956723662}{959342983}\ \frac{1178314105}{1181540097}\ \frac{10383236502}{10411663759}\ \frac{11561550607}{11593203856}\ \frac{91314090751}{91564090751}
$$

Nous avons tous les rationnels possibles en fonction de la précision. L'auteur du document de référence a choisi le rapport $r=\dfrac{14245}{14284}=0.9972696723606833$, dont les 9 chiffres après la virgule coïncident avec le rapport théorique souhaité. Il reste à déterminer un choix d’engrenages avec des nombres de dents peu élevés. 
La suite des calculs et des choix effectués par l'auteur est sur son site :
 Astronomie et planétaire géocentrique et dans le document suivant, où les calculs ont été effectués avec xint : "Engrenage-planetaire-doc.tex et  Engrenage-planetaire-doc.pdf" dans l'archive (pst-gear-2020-v0.6.zip) téléchargeable ici 
:
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gear-2020-v0.6.zip
ou
pst-gear-2020-v0.6.zip 

Deux Gif's obtenus avec le package pst-gears inclus dans l'archive dans sa version 0.6 (version opaque et version transparente)
Un autre choix possible, avec une précision supérieure, trouvé par l'auteur du site mentionné et dessiné avec pst-gears :

http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/horloge-lanetaire-v3-opaque.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/horloge-olanetaire-v3-transparente.gif 
   

jeudi 23 avril 2020

pst-gears vs gear-generator

Le site : https://geargenerator.com/  propose un générateur d’engrenages qui me paraît très performant, le choix des roues et leurs positions se fait très simplement à la souris. Une fois la configuration souhaitée obtenue il est possible de la télécharger moyennant le paiement de 2\$ (pour un jour) et différents formats sont proposés. ‘pst-gears’ peut arriver à reproduire certaines configurations obtenues par ‘gear generator’, mais il faut prévoir de faire quelques petits calculs
préliminaires.
La configuration suivante est identique à celle qui est proposé par défaut par ‘gear generator’, elle a ici été obtenue avec ‘pst-gears’.

Voici la méthode que j’ai suivie.
D’abord le choix de la roue menante : ce sera la roue en bleue avec Z1=16 dents, la roue qui lui est associée est la roue verte avec Z2=8 dents, elle est placée dans une positon angulaire $\alpha=135^\mathrm{o}$ avec le paramètre [polarangle=135].
Le module commun à ces 2 roues est m = 0.25. Le dessin et le placement sont automatiques.
\pstgears[m=0.25,Z1=16,Z2=8,polarangle=135]

Le placement des 2 autres roues est un peu plus compliqué et nécessite quelques calculs élémentaires. Pour une configuration faisant intervenir une roue à denture intérieure, celle-ci est considérée comme la roue menante, ici c’est le paramètre Z1=60 dents qui lui est attribué. La petite roue à l’intérieur sera fixée avec Z2=12 dents avec une position angulaire de $\alpha=180^\mathrm{o}$.
  Le problème est de faire coïncider le centre de cette roue rouge avec le centre de la roue bleue. La position du centre de la roue menante est fixé par les coordonnées qui suivant la commande \pstgears[...](x,y).
L’entraxe : distance entre les centres des 2 roues se calcule par la formule  $a=\frac{m(Z1-Z2)}{2}$, c’est cette distance qui donnera l’abscisse de la position du centre de la roue à denture intérieure. Il reste à fixer le module de ces dents; différent des 2 premières, j’ai choisi m = 0.1, on en déduit $a=\frac{0.1(60-12)}{2}=2.4$.
\pstgears[m=0.1,Z1=60,Z2=12,int,polarangle=180,color1=yellow,color2=red](2.4,0)
La petite roue est bien centrée en (0,0).
Dans le pdf 'pst-gears-application-1.pdf' inclus dans le zip, l'animation est obtenue avec le package `animate' d'Alexander Grahn.
Les fichiers ont été rajoutés dans les archives précédentes, voir :
http://pstricks.blogspot.com/2020/04/pst-gears-2020-5.html

Les Gif's sont téléchargeables avec les liens suivants :
 http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-geargenerator-2.gif
 http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-geargenerator.gif


vendredi 17 avril 2020

Jacques Blamont

Jacques Blamont est décédé le 13 avril 2020 à l'âge de 93 ans.
Il était un ancien directeur scientifique et technique du CNES (Centre national d'études spatiales).
Dominique Leglu retrace la carrière de Jacques Blamont dans l'article :


Je n'ai pas lu le livre de Jacques Blamont que Dominique Leglu cite dans son article, mais j'ai lu "Le chiffre et le songe" paru aux éditions Odile Jacob en 1993. Il est sous-titré "Histoire politique de la découverte". J'ai beaucoup appris dans son livre pour préparer mes cours. C'est, à mon humble avis, un livre de référence pour l'histoire des sciences, en particulier pour l'histoire de l'astronomie.
À l'occasion de la sortie de son livre Jacques Blamont avait été l'invité de France Culture et c'est un enregistrement que j'avais fait de cette émission que je propose. Il manque juste quelques secondes au début et pour comprendre les propos de Jacques Blamont, il suffit de savoir qu'il est en train d'expliquer le choix du titre de son livre "Le chiffre et le songe" par un vers du poème de Victor Hugo "Plein ciel" de "La Légende des siècles" :

Oh ! ce vaisseau, construit par le chiffre et le songe,
Éblouirait Shakespeare et ravirait Euler !


Il manque aussi la fin (environ 30 min), c'était une K7 2x30 min.

jeudi 16 avril 2020

pst-gears-2020-4

Ajout d'une nouvelle option avec un booléen permettant de ne pas dessiner la clavette, par défaut [key=true].
 Dans ces nouveaux exemples 3 cas ont été illustrés :
1) le planétaire intérieur(le soleil) est fixe, immobile et la couronne(le planétaire extérieur) entraîne les satellites autour du soleil.
2) La couronne est fixe et le soleil tourne entraînant autour de lui les satellites.
3) Les axes des satellites sont fixes. Le soleil tourne entraînant satellites et couronne.
Dans les exemples proposés le rapport du nombre de dents soleil/couronne et satellites/soleil est 1/2.
Quelques indications sont données dans les fichiers sources. 
Remarque : compte-tenu du nombre d'images et le nombre de détails de chaque image, les fichiers pdf et gif sont très lourds.
La version   (pst-gear-2020-v0.4.zip) est accessible ici :
pst-gear-2020-v0.4.zip
ou
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gear-2020-v0.4.zip 

Les fichiers vidéos et gif's sont téléchargeables avec les liens suivants :

http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/videos/planetary-gear-36-6x18-72-v2.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/videos/planetary-gear-36-6x18-72-v3.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/videos/planetary-gear-36-18-18-18-18-72.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/videos/planetary-gear-36-18-18-18-18-72-v3.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/videos/planetary-gear-120-60-6x30.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/videos/planetary-gear-120-60-6x30-v2.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/videos/planetary-gear-120-60-6x30-v3.mp4


http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/gifs/planetary-gear-120-60-6x30.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/gifs/planetary-gear-120-60-6x30-v2.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/gifs/planetary-gear-120-60-6x30-v3.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/gifs/planetary-gear-36-6x18-72-v2.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/gifs/planetary-gear-40-20-4x10.gif 
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/gifs/planetary-gear-48-24-6x12.gif



lundi 13 avril 2020

pst-gears-2020-3

Par rapport à la version précédente :
http://pstricks.blogspot.com/2020/04/pst-gears-2020.html
[notdrawWheel1] des précédentes versions, qui ne permettait que de dessiner la roue 1 est remplacé par [drawWheels=1 1] qui dessine les 2 roues si l’argument est [1 1] (par défaut), ne dessine que la roue (1) si [drawWheels=1 0] et ne dessine que la roue (2) si [drawWheels=0 1].

Les fichiers ont été mis à jour :
pst-gear-2020-v0.3.zip
ou
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gear-2020-v0.3.zip

Une nouvelle animation dont le thème est le suivant :
Si la roue planète, celle qui est au centre du dispositif est excentrée, le problème est plus compliqué.
On peut placer facilement 3, 4 ou 5 satellites autour avec les options du package. En se limitant à trois on peut penser que le problème qui consiste à trouver les caractéristiques de la couronne centrée à l'origine est facile. Le problème est bien connu : trouver le(s) cercle(s) tangent(s) à trois cercles donnés (les satellites) c'est celui d'Apollonius. Analytiquement la solution (voir Algebraic solutions : https://en.wikipedia.org/wiki/Problem_of_Apollonius) est facile à mettre en œuvre et le site : https://rosettacode.org/wiki/Problem_of_Apollonius en donne le code pour 40 langages (pas en postscript mais c'est aussi très simple). La difficulté est de placer les satellites autour de la planète de telle sorte que le rayon de la circonférence tangente extérieurement aux trois cercles primitifs des satellites soit un nombre entier ou un rationnel car le nombre de dents étant proportionnel au rayon il doit être un nombre entier !
Sur Mathematica : https://demonstrations.wolfram.com/LooneyGears/
 Ed Pegg Jr propose un système de roues et de positions que j'ai adopté pour cette illustration. Si vous avez d'autres systèmes, je vous serai reconnaissant de me le faire savoir.
 Les roues sont fixes.
 Les roues, planète et satellites, sont mobiles
Les liens pour récupérer, éventuellement, les Gif's et les vidéos :
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-74-14-22-26-38-v1.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-74-26-22-18-14-v3.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-74-14-22-26-38-v1.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-74-14-22-26-38-v2.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-74-14-22-26-38-v3.gif

vendredi 10 avril 2020

pst-gears-2020

Une nouvelle version version du package de 2013 avec l'ajout de la transparence, une correction du profil des dents de la roue à denture intérieure et deux applications à un train  épicycloïdal (planetary gear) simple.
Les fichiers sont ici :
pst-gears-2020
ou
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gears-2020.zip
Pour les exemples et les fichiers séparés :
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/faclab.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/faclab.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-12-24-60.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-12-24-60.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/faclab.pdf
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-12-24-60.pdf
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-12-24-60.tex
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/faclab.tex
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gears.tex
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gears.sty
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gears-doc.tex
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gears-doc.pdf
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-12-24-60-v2.tex
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-12-24-60-v2.pdf
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-12-24-60-v2.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-12-24-60-v2.mp4

dans
 
Dans l'exemple suivant, la couronne entraîne les trois satellites, la roue centrale est fixe.

                                 

dimanche 5 avril 2020

Roue à denture intérieure en 3D(essai)

Il s’agit de représenter en 3D un système d’engrenages à denture droite comprenant une roue dentée à denture intérieure et une à denture extérieure. C’est le package ‘pst-solides3d’ qui est mis à contribution. Les calculs sont très longs surtout si le nombre de dents est élevé.
La commande s’écrit : \psInternalGear[options] et comporte des paramètres spécifiés dans la documentation.
Des défauts subsistent, par exemple si le nombre de dents est élevé.
C’est une commande écrite à titre expérimental.
Les fichiers sont téléchargeables ici :
http://manuel.luque.free.fr/pst-internalgear/pst-internalgear.zip
ou
pst-internalgear

6 avril 2020 : ajout d'une option permettant de choisir l'angle de pression.
8 avril 2020 :
 ajout d'une option permettant d'ajuster finement l'engrenage des dents (pst-internalgear-2.zip dans le répertoire de drive, le nom est inchangé dans celui de free).
 ajout de l'option [low resolution], pour que la compilation soit un peu moins lente et permettre la représentation du maillage.            
http://manuel.luque.free.fr/pst-internalgear/pst-internalgear-3.zip
ou
le fichier (pst-internalgear-3.zip) est dans dans le répertoire :
pst-internalgear-3.zip
Quelques images extraites de la documentation et deux animations :


 Avec l'option [lowresolution]
Liens pour la vidéo et les Gif's :
http://manuel.luque.free.fr/pst-internalgear/anim-InternalGear-coupe-18-36.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-internalgear/anim-InternalGear-coupe-18-36-v2.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-internalgear/anim-psInternalGear-18-36.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-internalgear/internalgear-coupe-18-36.mp4
http://manuel.luque.free.fr/pst-internalgear/internalgear-coupe-18-36-v2.mp4