dimanche 29 avril 2012

Le métronome animé avec le son !

Alexander Grahn, l'auteur du package animate, a réussi à synchroniser le battement du métronome avec un son très bref, comme dans les métronomes réels. Si on compare cette animation avec un métronome réel, on pourra, éventuellement, détecter un décalage, la période du métronome sur cette animation est 1s, soit 120 battements par minute, mais la fréquence d'affichage du moniteur et la carte graphique peuvent induire des différences dans le tempo.

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/metronome/psmetronome_Alex/psmetronome_alex.pdf

Tous les fichiers nécessaires à la compilation sont ici :

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/metronome/psmetronome_Alex/

L'étude du métronome :

http://pstricks.blogspot.fr/2012/04/etude-dun-metronome-illustrations-avec.html
http://pstricks.blogspot.fr/2012/04/etude-dun-metronome-illustrations-avec_05.html

mardi 24 avril 2012

Pendule cycloïdal (Huygens) : partie 4

Les oscillations sont-elles vraiment isochrones ?
Henri Bouasse pose la questions suivante :
« Cherchons ce que devient l’isochronisme quand on suppose la masse m non très petite : nous admettrons que son centre d’inertie décrit la cycloïde. »
 On considère donc que la lentille du pendule n’est plus un objet ponctuel : par exemple un disque de laiton de rayon r .
Les calculs sont à la fin du fichier 4, il reprend  l'ensemble des parties 1, 2, 3 et 4.
  • pendule_cycloidal_4.pdf 
  • pendule_cycloidal_4.tex
du dossier :

lundi 23 avril 2012

Pendule cycloïdal (Huygens) : partie 3

Le point de suspension est le point de rebroussement de la développée. Le fil a une longueur égale à 4 fois le rayon du cercle générateur l = 4R. Ce fil est supposé de masse négligeable et le solide de masse m attaché à l’autre extrémité est supposé ponctuel. Les deux joues de la développée sont découpées dans une plaque rigide.
Lorsque le pendule oscille le fil s’appuie sur une longueur  OΩ sur la développée, l’autre partie du fil ΩG est tangente à la développée, et ainsi G est astreint à décrire l’arc de cycloïde. Par rapport au problème de la bille ponctuelle glissant sur la cycloïde, la réaction du support est remplacée par la tension du fil, la cycloïde devient inutile. Dans ces conditions parfaites, le pendule effectue des oscillations isochrones de période:

Une animation, réalisée avec le package animate,  avec deux pendules, qui permet de constater l'isochronisme des oscillations  dans le fichier animate_2pendules.pdf du dossier:

L'opinion d'Henri Bouasse sur le pendule d'Hyugens :

« Pour remarquable que soit la solution donnée par Huygens au problème de l’isochronisme, l’expérience a
montré qu’elle ne valait rien comme trop compliquée. On l’abandonna du vivant d’Huygens. Il est difficile de
donner aux plaques (P) la forme théorique, même en traçant mécaniquement leur profil. Les fils toujours plus ou moins rigides ne s’appliquent pas exactement sur les courbes. En fil ou en soie, ils se raccourcissent par l’humidité et s’allongent par la sécheresse. »

Les fichiers suivants, source .TeX et pdf reprennent et complètent les précédents.
  • pendule_cycloidal_3.pdf
  • pendule_cycloidal_3.tes
  • animate_2pendules.tex
  • animate_2pendules.pdf
du dossier :

La partie 4 (à venir) traitera du problème suivant : est-ce que les oscillations du pendule d'Huygens sont vraiment isochrones ? On se placera dans le cas où le solide pesant n'est pas ponctuel,  G décrivant toujours l'arc de cycloïde.

dimanche 22 avril 2012

Pendule cycloïdal (Huygens) : partie 2

Dans cette partie, on étudie le mouvement d'un point matériel glissant sans frottement sur la cycloïde. Ce solide est matérialisé par une petite bille.
Parmi les différents résultats que l'on a établis,  on montre que deux petites billes lâchées, au même instant, mais à des hauteurs différentes sur la cycloïde se croiseront, où se dépasseront, au même instant au plus bas de la trajectoire.  Cette particularité est illustrée dans l'animation, elle montre que la cycloïde est une courbe tautochrone.

Le pendule d'Huyghens fera l'objet de la troisième partie.
Les équations étant posées, il est facile de créer une animation à l'aide du package animate, voici pour 2 billes. Les fichiers suivants reprennent la première partie (l'étude mathématique, voir le message précédent) et contiennent dans le pdf les animations.
  • pendule_cycloidal_2.pdf
  • pendule_cycloidal_2..tex
  • animate_bille_cycloide_v2.tex  
  • animate_bille_cycloide_v2.pdf
sont dans le dossier :

samedi 21 avril 2012

Pendule cycloïdal (Huygens) : partie 1

Voici(encore) une étude du célèbre pendule imaginé par Huyghens, dont les oscillations sont rigoureusement isochrones. Son importance, dans l’histoire des sciences, est telle que les exposés l’ayant pris pour sujet sont innombrables. En particulier, Henri Bouasse en fait un exposé avec des calculs détaillés dans son livre “Pendule spiral, diapason”, tome 1, pages 115, 116 et 117. Plus près de nous, Geneviève Tulloué a réalisé une belle animation et un magnifique travail sur ce sujet : http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/pend_cyclo.html
Cette première partie concerne uniquement l'étude mathématique de la cycloïde et de sa développée.

Une animation au format gif.
Une animation pdf : animate_dev.pdf réalisée avec le package animate d'Alexander Grahn :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_huyghens/animate_dev.pdf

ainsi que les fichiers relatifs à cette première partie :
  • pendule_cycloidal_1.tex 
  • pendule_cycloidal_1.pdf
  • animate_dev.pdf
  • animate_dev.tex 
sont dans le dossier : pendule d'Huygens

mercredi 18 avril 2012

Pendule à développante de cercle

Ce pendule constitué d’un fil de masse négligeable qui s’enroule sur un cylindre fixe et à l’extrémité duquel est attaché un objet, supposé ponctuel, est un cas particulier de pendule à longueur variable. Il est très brièvement étudié par Henri Bouasse dans son livre “Pendule spiral, diapason”, tome 1, pages 114 et 115. C’est un pendule très simple à réaliser, mais dont l’étude du mouvement est passablement compliquée.

Le pendule, dans diverses positions, le fil est toujours tendu : position initiale G0, positions intermédiaires et position extrême G1 laquelle est au même niveau que la position initiale. Le schéma de l'étude théorique :

 θ(t) :
Les fichiers contenant des macros pour en faire l'étude ainsi qu'une animation réalisée avec le package animate. Cependant les macros sont très rudimentaires et doivent être améliorées.

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_dev_cercle/pendule_dev_cerc_doc.tex
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_dev_cercle/pendule_dev_cerc_doc.tex
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_dev_cercle/pendule_dev_cerc_2.tex
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_dev_cercle/pendule_dev_cerc_2.pdf

jeudi 5 avril 2012

Étude d’un métronome : illustrations avec PStricks. Deuxième partie.

La position du curseur fixe la période du métronome et donc le nombre de battements par minutes qui servira à graduer le métronome en y indiquant aussi les tempos.
Les plages de valeurs pour les tempos sont très variables d'une source à une autre. Que faut-il en penser ? Voici l'opinion de Henri Bouasse dans on livre Pendule spiral , diapason, tome 1, aux éditions Delagrave, paru en 1920.
« Je rappelle (il y a des musiciens qui ne le savent pas) que les chiffres marqués indiquent le nombre de battements par minute. [. . .]
A ce propos eut lieu, il y a 20 ans, la plus bouffonne discussion que jamais Académies n’aient provoquée. Celle des Beaux-Arts se plaignit à celle des Sciences qu’elle n’avait pas de mesure absolue de durée : on lui apprit alors le sens de la graduation du métronome. Voulant sauver la face, elle déclara que, le métronome
était incorrect et réclama. . .le pendule simple. Pour jauger le stupidité de cet discussion, on saura que, sur nombre de finales dans les sonates classiques, on lit sans autre précision, Allegro, ma non tanto ! Il fallait à l’Académie des Beaux-Arts le pendule simple pour interpréter ces termes avec une précision digne des temps
modernes !
Le métronome est un appareil peu précis, mais très commode[. . .] On peut lui reprocher l’inégalité des oscillations consécutives si la roue d’échappement est faussée, et l’influence du remontage sur l’amplitude et la durée.
[. . .]
Sur la graduation du métronome, on trouve inscrites à côté des chiffres des indications (Largo, Larghetto. . .) qui ont un sens à peu près aussi bien déterminé que les indications que portent les thermomètres d’appartement (Sénégal, par exemple). Au XIIIe Andante signifiait qu’on allait ; il signifie maintenant qu’on se repose. Allegro veut dire allègre, ni plus ni moins. Andantino signifie que le mouvement est plus rapide que pour l’Andante : Allegretto qu’il est plus lent que l’Allegro : vous arrangerez tout ça comme vous voudrez. Il est donc nécessaire d’avoir quelque chose de plus précis que ces indications vagues ; mais la preuve qu’un morceau peut être exécuté sans inconvénient à des allures diverses, est que les plus célèbres chefs d’orchestre interprètent très différemment les œuvres classiques. Chacun les entend suivant son tempérament. »
Le calcul des graduations, pour deux amplitudes différentes (30 et 60 degrés).

 Une animation silencieuse...
Une animation au format .swf :
Les fichiers :

lundi 2 avril 2012

Étude d’un métronome : illustrations avec PStricks. Première partie.

C’est une cette étude, simplifiée, d’un métronome mécanique du type Winkel-Maelzel. Cet appareil est un pendule, constitué d’un disque de masse M, d’un curseur de masse m que l’on déplace sur la tige rigide, oscillant autour de l’axe de suspension O. La position du curseur sur la tige, fixe pour une angle initial donné θ0, la période du pendule. Voici les paramètres qui sont pris en compte :
  • Le curseur de masse m, assimilé à une masse ponctuelle, est positionné à la distance x de O : OB = x.
  • Le disque de masse M, a pour rayon r et son centre est à la distance a de O : OA = a.
  • La masse de la tige est négligeable.
  • Le pendule est écarté de sa position d’équilibre d’un angle θ0 par rapport à la verticale et lâché sans vitesse initiale.
  • Les frottements sont négligés.
 Le diagramme, ci-dessous, représente le nombre d’oscillations par minute, en fonction de la position x(cm) du curseur sur la tige. Les valeurs ont été calculées pour une position initiale θ0 = 45°. C’est ce tableau de valeurs qui permettra de graduer le métronome.
Les fichiers de cette première partie :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/metronome/psmetronome_v2.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/metronome/psmetronome_v2.tex