mardi 31 décembre 2019

La deuxième loi de Képler illustrée avec PSTricks et xint

Voici quelques extraits de ce document de 24 pages écrit par Jean-François Burnol avec la collaboration de Jürgen Gilg et Thomas Söll afin de donner envie à tous les amateurs de géométrie et de constructions géométriques de lire le texte original qui s'il utilise PSTricks et xint pour les illustrations graphiques est surtout une riche étude mathématique sur l'ellipse avec comme point de départ la deuxième loi de Képler :
Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un de foyers. Leur vitesse est telle que le rayon vecteur les joignant au Soleil balaie des aires proportionnelles au temps (loi des aires).
Les résultats seront généralisés pour des coniques quelconques dans un prochain document.
Les fichiers sources sont à télécharger sur la page dédiée à xint-polexpr :
ou bien, avec le pdf, ici :
 Les conventions et notations usuelles pour les ellipses sont précisées :
Théorème  :
    Pour tout $0\leq c < a$ l'équation $d_1 + d_2 = 2a$ équivaut à l'équation   $d_1 = a - ex$.

    On a utilisé les notations $d_i = \mathrm{d}(M,F_i)$, $M=(x,y)$, $F_1=(c,0)$,$F_2=(-c,0)$.

Par un raisonnement simple, la définition de la directrice pour un foyer est déduite ainsi qu'une autre construction de l'ellipse :

Il est démontré que l'ellipse se déduit du cercle de centre O et de rayon a par la transformation affine $T$ :  $(x,y)\longrightarrow (x, \frac{b}{a} y)$

Voici une figure illustrant la relation entre le point M sur l'ellipse et le point N sur le cercle, et l'angle E au centre de l'ellipse. On y fait figurer aussi l'angle $\phi$  des coordonnées polaires centrées au foyer $F_1$. La relation entre $\phi$  et E fera l'objet de commentaires détaillés ultérieurement, tant du point du vue théorique que numérique.

La deuxième partie est dédiée à la deuxième loi de Képler.
L' objectif dans cet article est d'illustrer la seconde loi de Kepler par des figures faites avec PSTricks et des calculs faits avec l'aide de xint. Il nous faut donc trouver un moyen de calculer l'aire balayée par le rayon $\overrightarrow{SM}$ ($S$ est le Soleil, $S = F_1$) lorsque $M$ va de
$M_1$ en $M_2$. La formule théorique :

Il est ainsi démontré dans le document que :
L'aire algébrique totale balayée par le rayon vecteur   $\overrightarrow{SM}$ pour $M$ allant (continûment) du sommet $A$ au point  $P = (a\cos E, b\sin E)$ est (pour tout $E\in R$):
    \begin{equation}
      A = \frac{ab}2\bigl(E - e\sin E\bigr)
    \end{equation}

La troisième partie est intitulée :
Ellipse et aire elliptique via les coordonnées polaires, où comment découvrir l’anomalie excentrique même en s’acharnant à vouloir tout faire avec l’anomalie vraie.
Si nous utilisons des coordonnées polaires centrées en le foyer $F_1$, alors tout bêtement $d_1 = r$ et $x = c + r \cos\phi$.
Or l'équation (caractérisation de l'ellipse par foyer et directrice) est $d_1 = a - ex$, qui équivaut à  $r = a - ec - er\cos\phi$ ou encore à $r = a(1 - e^2)/(1+e\cos\phi)$ et nous obtenons :
L'ellipse de demi-grand axe $a$ et d'excentricité $e$ a comme équation polaire, avec le centre des coordonnées en un foyer $F$ et $\phi\equiv\pi\pmod{2\pi}$ pour l'autre foyer $F'$ :
  \begin{equation}
    r = \frac{p}{1 + e\cos\phi}
  \end{equation}
Lorsque le centre des coordonnées est en $F$ avec l'autre foyer ayant argument $\phi \equiv0\pmod{2\pi}$, l'équation est :
  \begin{equation}
    r = \frac{p}{1 - e\cos\phi}
  \end{equation}
Ce cas de figure correspond à l'apogée ayant argument nul.
Les auteurs injectent cette équation polaire de l'ellipse dans l'élément d'aire $\frac{1}{2}r^2\mathrm{d} \phi$ et retrouvent (après un assez long calcul de primitives) la formule $\frac{ab}2(E - e \sin(E))$ pour l'aire balayée à partir du périgée, l'angle $E$ provenant de plusieurs changements de variables successifs. Ils signalent malicieusement « Il faut donc avoir fait une fois dans sa vie ce calcul brutal de $\frac12\int_0^\phi r^2 \mathrm{d} \phi$,... »..
 La partie 4 établit les équations reliant $E$ et $\phi$ :
\begin{equation}
  \cos E = \frac{a\cos \phi + c}{a + c \cos \phi}
\end{equation}

\begin{equation}
  \tan\frac E2 = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac\phi2
\end{equation}
Il est démontré que le graphe de $E$ comme fonction de $\phi$ est symétrique par rapport à la droite $E+\phi = \pi$.
Graphes de $E$ en fonction de $\phi$, pour différentes valeurs de l'excentricité on a indiqué sur la figure l'axe de symétrie $E + \phi =  \pi$.

La partie 5 montre que la relation entre $(O;E)$ et $(F_1;\phi)$ est symétrique :

 La partie 6 établit la relation entre les coordonnées angulaires aux deux foyers et en conclusion que la bissectrice intérieure au point $M$ aux droites $MF_1$ et $MF_2$ est  normale à la tangente en $M$ à l'ellipse.

 Une longue annexe est consacrée à des considérations sur des calculs numériques tels que celui de $E$ à partir de $\phi$ en comparant l'utilisation de Python et de xint.

Deux animations Gif :



vendredi 27 décembre 2019

Bonne Année 2020

Le fichier de calcul des images nécessite le package pst-crayon disponible sur ce blog avec de nombreux exemples.
Les fichiers sont disponibles ici :
http://manuel.luque.free.fr/2019-2020/2019-2020.zip
ou
2019-2020

Pour convertir le pdf en animation Gif :
convert  -density 150x150 -alpha remove  -delay 5 2019.20.pdf[1-1000]  -loop 0   2019.20.gif

Remarque : un clic sur l'image permet d'avoir seulement l'animation sur une page.


Constructions d'une ellipse

Trois méthodes pour construire une ellipse par Jürgen Gilg.

Pour les calculs Jürgen utilise https://ctan.org/pkg/xint de Jean-François Burnol et pour la représentation graphique https://ctan.org/pkg/pst-geometrictools de Thomas Söll en particulier.
Vous trouverez de très nombreux exemples d'utilisation de ces 2 packages en faisant une recherche sur ce blog.

Les fichiers sont disponibles ici :
Ellipse-Jürgen
ou
http://manuel.luque.free.fr/Ellipse/Ellipse.zip

Tous les fichiers sont aussi disponibles sur la page dédiée aux applications de xint et polexpr :
http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr


vendredi 13 décembre 2019

La deuxième loi de Képler

Étude et illustration de la 2 ième loi de Képler (loi des aires) par Thomas Söll et Jürgen Gilg avec pour les calculs https://ctan.org/pkg/xint de Jean-François Burnol et PSTricks de Timothy Van Zandt.
Le document est téléchargeable  aux adresses suivantes :
Kepler_2.pdf
Kepler_2.tex
ou
 Kepler_2.pdf et Kepler_2.tex
Quelques images extraites du document et la démonstration :
Les paramètres de l'ellipse :

La transformation de l'angle $E$ (angle au centre de l'ellipse) avec l'angle $\varphi$ (l'angle de sommet le foyer de l'ellipse -- l'angle polaire).

Pour l'angle polaire $\varphi$ :
\begin{align}
\cos(\varphi) & = \frac{a\cdot\cos(E)-c}{r}= \frac{a\cdot\cos(E)-c}{a-c\cdot\cos(E)}\\
\sin(\varphi) & = \frac{b\cdot\sin(E)}{r}=\frac{\sqrt{a^2-c^2}\cdot\sin(E)}{a-c\cdot\cos(E)}\label{eq:Diff}
\end{align}La formule de transformation entre les angles $E$ (origine) et $\varphi$ (foyer $F_2$) :
\begin{equation*}
\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\sqrt{\frac{a+c}{a-c}}\cdot\tan\left(\frac{E}{2}\right)
\end{equation*}En prenant la formule (2) et en dérivant par rapport à $t$ :
\begin{align*}
\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\sin(\varphi))&=\cos(\varphi)\cdot\dot{\varphi}\\
&= \frac{b\cos(E)\cdot\dot{E}(a-c\cos(E))-c\sin(E)\cdot\dot{E}b\sin(E)}{(a-c\cos(E))^2}\\
&=\ldots\\
&=b\dot{E}\cdot\frac{a\cos(E)-c}{(a-c\cos(E))^2}
\end{align*}On divise par $\cos(\varphi)$, alors
\begin{equation}\label{eq:varphi}
\dot{\varphi}=\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}=\frac{b\dot{E}}{a-c\cos(E)}=\frac{b\dot{E}}{r}
\end{equation}
La deuxième loi de Kepler (\emph{Loi des aires}) dit :

Le rayon-vecteur reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux.

L'aire doit être constante :
\begin{equation*}
r^2\cdot\dot{\varphi}=\text{cste.}=C
\end{equation*}
L'équation (3) résolue pour $\dot{E}$ :
\begin{equation*}
\dot{E}=\frac{\text{d}E}{\text{d}t}=\frac{r^2\dot{\varphi}}{br}=\frac{C}{br}=\frac{C}{b(a-c\cos(E))}
\end{equation*}Par integration
\begin{align*}
\int\text{d}t &=\int\frac{b}{C}(a-c\cos(E))\,\text{d}E\\
t &= t(E): \, t=\frac{b}{C}(aE-c\sin(E))
\end{align*}
Une animation due à Jean-François Burnol :
Le fichier source à compiler par la méthode habituelle pour obtenir le pdf :
KeplerOrbit.tex
ou
http://manuel.luque.free.fr/Kepler/KeplerOrbit.tex

À partir du pdf vous obtiendrez le Gif animé avec la commande  :

 convert -verbose -density 150x150 -alpha remove -delay 0 KeplerOrbit.pdf[0] -dispose previous -delay 10 KeplerOrbit.pdf[1-1000]  -loop 0  KeplerOrbit.gif

Tous les fichiers sont aussi sur la page dédiée aux applications des packages xint et polexpr :
https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/

La ronde de 24 objets satellisés sur une orbite elliptique autour du Soleil (on suppose qu'il n'y a aucune interaction entre eux).
Sur une idée et une réalisation de Jean-François Burnol, avec une animation au format SVG de Jürgen Gilg.
Les fichiers sources :utilisant le package https://ctan.org/pkg/animate d'Alexander Grahn.


ou
http://manuel.luque.free.fr/Kepler/KeplerPearls-animate-gif.tex
http://manuel.luque.free.fr/Kepler/KeplerPearls-animate.tex



Quelques notes de lecture sur Képler et Tycho Brahé :
http://manuel.luque.free.fr/Tycho-Brahe/Tycho.zip

jeudi 12 décembre 2019

mardi 24 septembre 2019

pst-marble : une animation

Le générique du film "Pain and Glory" de Pedro Almodovar est constitué par une succession de papiers marbrés animés sur lesquels les noms des personnes qui ont participé à la réalisation du film s'affichent, c'est très original, je vous en laisse juge, le lien suivant vous en donnera un aperçu :


Les animations ont-elles été réalisées avec un programme informatique ou bien s'agit-il d'animations réelles de surfaces de cuves qui ont été filmées ? En tout cas, voici un exemple obtenu avec le package pst-marble d'Aubrey Jaffer :


Le fichier source est ici :  http://manuel.luque.free.fr/Almodovar/evolution-bouquet.tex


Après compilation (LaTeX-> dvips ->ps2pdf), à partir du fichier pdf vous aurez un gif animé avec la commande suivante :
convert  -density 150x150 remove  -delay 10 evolution-bouquet.pdf[1-120]  -loop 0  -duplicate 1,-2-1 evolution-bouquet.gif

http://manuel.luque.free.fr/Almodovar/evolution-bouquet-0.5.gif

Ce film ("Douleur et Gloire" en français) est qualifié par les critiques d'auto-fiction. Il est en quelque sorte le livre filmé de la vie du réalisateur Pedro Almodovar. C'est peut-être pourquoi, les images du génériques sont des papiers marbrés animés lesquels servent à illustrer les couvertures, la garde et la contre-garde des anciens livres.

mardi 20 août 2019

Images dans un vortex de Lamb-Oseen

Une illustration sur le thème ``d'images brouillées, images retrouvées'' cependant bien différente de l'étude de Jean-Paul Delahaye et Philippe Mathieu (voir l'article précédent) :
Elle utilise le tourbillon de type ` `The Lamb-Oseen Vortex'' dont l'étude théorique a été faite par Aubrey Jaffer :
 et qu'il a mis en œuvre dans la simulation de papiers marbrés :
qui existe aussi sous forme d'un package :
dont les différentes versions sont dans ce blog(recherche : pst-marble). C'est le code du vortex de pst-marble.pro qui est utilisé.
Déclenchée au centre, la rotation initiale se propage vers l'extérieur et au bout d'un certain temps l'image initiale tend à se reconstituer. Le sens de rotation dépend du signe de la circulation.
Le centre du tourbillon est choisi avec les variables cx et cy, le sens de la rotation avec le signe de la circulation (variable circ). Les images doivent être au format eps, la procédure de préparation des images est décrite dans la chapitre 5 de la documentation de pst-anamorphosis :
https://melusine.eu.org/syracuse/G/pst-anamorphosis/doc/pst-anamorphosis-doc-part2.pdf
https://melusine.eu.org/syracuse/G/pst-anamorphosis/
Les fichiers (non-compilés) sont disponibles ici :
ou
Le package pst-nltr utilisé est téléchargeable avec sa documentation ici :
Une recherche sur le blog avec le mot ``pst-nltr'' vous conduira à des pages contenant de nombreux exemples.

2 illustrations :  le tigre et Laurel et Hardy dans le tourbillon :




jeudi 8 août 2019

La transformation du photomaton avec PSTricks version 2

Voici la nouvelle version de pst-photomaton, l'ancienne est ici :
Il n'y a plus qu'une seule commande, le calcul de la nième transformation se fait directement sans passer par les itérations successives.
Je rappelle que c’est un article de Jean-Paul Delahaye et Philippe Mathieu paru dans la revue “Pour la science”, N o 242, de décembre 1997, intitulé ``Images brouillées, images retrouvées'' et qu’on peut télécharger dans ce répertoire :
qui est à l’origine de cette extension à PSTricks : pst-photomaton.
De nombreux auteurs ont réalisé des illustrations de cette transformation : Jean-Paul Delahaye et Philippe Mathieu qui ont mis au point une application en java :
et Jean-Pierre Becirspahic, qui dans le cadre de l’“Informatique en CPGE”, en propose une réalisation en Python sous forme de travaux pratiques :
qui contiennent de très intéressantes informations pour le calcul direct d’une image en fonction de nombre d’itérations et que j’ai utilisées pour écrire le code postscript de ce package.

Les exemples, le package et la documentation sont accessibles ici :
le fichier zippé contient tous les fichiers essentiels, on peut le télécharger aussi ici :
Quelques images obtenues avec le nouveau package :
Dans le cas de cette image de Mario Bros, le nombre d'itérations nécessaires pour retrouver l'image initiale est 1722.
Voici quelques images intermédiaires, c'est le nombre d'itérations qui est indiqué. :

samedi 3 août 2019

Champ de blé moissonné vu au crépuscule

C'est l'époque des moissons et on peut voir dans les champs, lorsque la moissonneuse batteuse est passée, les  ballots de paille soigneusement alignés.
En voici une image réalisée avec le package pst-mirror (images vues dans un miroir sphérique) :


C'est une adaptation de l'image réalisée avec l'une des premières versions de pst-mirror, elle est intitulée BallotPaill4.tex :
Celle réalisée avec la collaboration de Jürgen Gilg et Jean-Michel Sarlat :


Le fichier suivant a été compilé avec la version  du CTAN.




mercredi 24 juillet 2019

La transformation du photomaton avec PSTricks

C’est un article de Jean-Paul Delahaye et Philippe Mathieu paru dans la revue “Pour la science”, N o 242, de décembre 1997, intitulé ``Images brouillées, images retrouvées'' et qu’on peut télécharger dans ce répertoire :
qui est à l’origine de cette extension à PSTricks : pst-photomaton. Les photomatons installés dans les halls de gare, permettent d’obtenir 4 photos d’identité sur une même planche. Ainsi pour ce portrait de Marie Curie :
On peut poursuivre le processus et remplacer chacune des 4 images par 4 images plus petites, obtenant ainsi une planche avec 16 images et ainsi de suite. On s’aperçoit qu’au bout d"un certain nombre de transformations, que les auteurs de l’article appellent “temps de retour”, on retrouve l’image initiale. Voici, par exemple, pour le portait de Marie Curie les transformations 2 et 7, la transformation 8 redonne l’image initiale.
On constate que l’avant-dernière transformation donne un image agrandie du quart supérieur droit du portrait de Marie Curie. Deux fichiers séparés, permettent de calculer le “temps de retour”, d’après les indications de Jean-Paul Delahaye et Philippe Mathieu de 4 façons différentes(le code en C est de Jean-Gabriel Luque)..
Le package pst-photomaton comprend deux commandes : \psPhotomaton[options] et \psImagePhotomaton[options] dont on trouvera le descriptif dans la documentation. Tous les fichiers sont dans le répertoire :
Le fichier zippé contient l'essentiel des fichiers.
Quelques images extraites de la documentation ou des exemples.
Buzz-Aldrin : 8 itérations.
Notre-Dame : 24 itérations :
Le portrait de "la jeune à la perle" : 264 itérations :





samedi 13 juillet 2019

Cryptographie visuelle avec PSTricks (3) pour des images en couleur

Il s’agit de crypter une image en couleur. Pour une image en noir et blanc, voir :
Pour une image en niveaux de gris, voir :
Le point de départ de l’image à cacher est une image en couleur que l’on enregistrera avec The Gimp au format .ppm code ASCII (type P3). Dans ce fichier on supprime (ou commente %) les 3 premières lignes après noté la résolution de l’image (X Y) suivant les 2 axes, puis on enregistre ce fichier du nom que l’on veut et d’extension .dat.
Comme pour les précédents, le package se compose de 2 commandes : \psEncryptedImageG[options] qui va crypter l’image et \psImagesColorGMC[options] qui vous permettra d’envoyer le masque de l’image avec l’image cryptée à votre correspondant ainsi que le code pour la décrypter.
Les options sont décrites dans la documentation. Les fichiers sont dans le répertoire :
Le fichier zippé les contenant tous.
Quelques images extraites de la documentation et des exemples :

  1. image initiale ;
  2. masque ;
  3. image cryptée ;
  4. masque and image cryptée ;
  5. masque or image cryptée ;
  6. masque xor image cryptée : redonne l’image initiale.

C'est un magnifique tableau d'Aline Zalko :

  1. image initiale ;
  2. masque ;
  3. image cryptée ;
  4. masque and image cryptée ;
  5. masque or image cryptée ;
  6. masque xor image cryptée : redonne l’image initiale.
 

vendredi 5 juillet 2019

Cartes postales Basilique Saint-Marc

Ce sont d'anciennes cartes postales de juillet 2003 retrouvées sur un vieux disque dur. En fait, il s'agissait de tentatives de reproduction, avec PSTricks, de photos du livre d’André BRUYÈRE ``Sols, Saint-Marc, Venise'', publié par l’Imprimerie Nationale (1990).
Elles sont dans ce répertoire :
Les lettres cursives sont obtenues avec le package d'Emmanuel Beffara :
Voici leurs images :



jeudi 4 juillet 2019

Cryptographie visuelle avec PSTricks (3) pour des images en niveaux de gris

Il s’agit de crypter une image en niveaux de gris. Pour une image en noir et blanc, voir :
http://pstricks.blogspot.com/2019/06/cryptographie-visuelle-avec-pstricks-2.html
Le point de départ de l’image à crypter est une image en niveaux de gris que l’on enregistrera avec The Gimp au format .pbm code ASCII (type P2). Dans ce fichier on supprime (ou commente%) les 3 premières lignes après noté la résolution de l’image (X Y) suivant les 2 axes, puis on enregistre ce fichier du nom que l’on veut et d’extension .dat.
Comme pour le précédent, le package se compose de 2 commandes : \psEncryptedImageG[options] qui va crypter l’image et \psImagesGMC[options] qui vous permettra d’envoyer le masque de l’image avec l’image cryptée à votre correspondant ainsi que le code pour la décrypter.
La documentation et des exemples sont dans le répertoire :
le fichier zippé les contient tous.
Quelques images extraites de la documentation et des exemples :


  1. image initiale
  2. masque
  3. image cryptée
  4. masque or image cryptée ;
  5. masque xor image cryptée : redonne l’image initiale.