dimanche 27 mai 2012

Pendule dont le point de suspension est entraîné dans une rotation uniforme

Le point de suspension du pendule est entraîné dans un mouvement de rotation uniforme. L'articulation au niveau du point de suspension est parfaite, la tige rigide qui relie celui-ci à la lentille du pendule a une masse négligeable et la lentille de masse m est supposée ponctuelle. Tous les frottements sont négligés. Gilbert Gastebois en donne une étude théorique sur son site (dans la 3è partie cette page).
C'est un site exceptionnel par la double qualité des animations et des explications théoriques. Je rappelle que ce blog, plus modestement, n'a d’autre but que d'utiliser PSTricks pour illustrer un document scientifique et d'en montrer les possibilités.
Jürgen Gilg est associé à cette étude et il propose une autre méthode pour établir l'équation différentielle :
Pour des valeurs de ω voisines de la pulsation propre du pendule, on peut constater que, même pour un angle initial petit, l'amplitude des oscillations devient rapidement très grande et le pendule peut effectuer un tour complet. Cependant, il est difficile de parler de résonance car la pulsation propre du pendule dépend de l'amplitude et la vitesse de rotation du cylindre entraînant le point de suspension est constante. Il faudrait asservir celle-ci à l'amplitude du pendule.

Un tel dispositif trouverait certainement sa place dans un parc d'attractions foraines, où la lentille du pendule serait remplacée par une nacelle dans laquelle prendraient place les amateurs de sensations  fortes.

Les animations ont été réalisées avec le package animate d'Alexander Grahn.


Les fichiers sont dans le dossier:
ou
http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/pendules/

dimanche 20 mai 2012

Pendule à couteau cylindrique roulant sur un plan fixe

 On trouve ce pendule chez Henri Bouasse dans son livre “Pendule spiral, diapason”,tome 1, aux pages 100, 101 et 102.

Ce problème est résolu par deux méthodes différentes. L'équation différentielle de θ(t) :

L'expression  de la période :
 Une image de l'animation :
Les fichiers :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_couteau_cylindrique/

mercredi 16 mai 2012

Mouvement d'un proton ou d'une particule électrisée dans une chambre à bulles

Deux méthodes ont été étudiées :
1) Solution numérique, en utilisant la macro \psplotDiffEqn du package pstriks-add
2) Solution analytique (merci Jürgen) en utilisant  \parametricplot

Les schémas réalisés sont uniquement à titre d'exemples et non aucun rapport avec un cliché de chambre à bulles, mais il serait facile de réaliser un schéma conforme à la réalité à partir des données d'un cliché.
Les fichiers :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/mvtB/proton_chambre_bulles.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/mvtB/proton_chambre_bulles.tex
ou
http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/magnmove/

mardi 15 mai 2012

Pendule elliptique

L’axe de suspension d’un pendule est fixé sur un chariot pouvant se déplacer sans frottement sur un plan horizontal. Ce problème a été posé pour la première fois à la licence de mécanique de Besançon en juillet 1912. Eugène Fabry en a donné une magistrale correction dans “Problèmes de mécanique rationnelle. A l’usage des candidats aux certificats de licence et à l’agrégation. Paris: J. Hermann, 1915.”
Voici le schéma de l'énoncé original.

Voici le schéma adopté pour cette étude avec PStricks :
C’est la méthode d’Eugène Fabry que j’ai adoptée et adaptée partiellement. Elle conduit à l'établissement des équations du mouvement :
On a représenté θ(t) et x(t) pour les conditions initiales suivantes : θ0=150° et vitesse initiale nulle.
Le calcul de la période par une intégration numérique :
permet de créer une animation réalisée avec le package animate. En voici une image :

Jürgen Gilg m'a aidé à établir l'équation de l'astroïde et je l'en remercie.
Les fichiers :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_elliptique/
ou
http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/pendules/


dimanche 13 mai 2012

Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique avec une force de frottement proportionnelle à v2 version 2

Détermination du point limite
La trajectoire s’enroulant en spires décroissantes, elle possède un point limite.Le problème est de calculer les coordonnées du point limite. Cette version contient la solution à ce problème délicat, elle est de Jean-Michel Sarlat.
Les nouveaux fichiers :

lundi 7 mai 2012

Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique avec une force de frottement proportionnelle à v2

Cet exercice est traité dans le livre "Mécanique II" de Hachette Supérieur, page 80.
Pour PStricks, il offre l'intérêt d'utiliser la macro \psplotDiffEqn du package pstricks-add pour résoudre numériquement et représenter un système d'équations différentielles du second ordre, avec un résultat très satisfaisant.

Les fichiers :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/mvtB/mvtB2.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/mvtB/mvtB2.tex

mardi 1 mai 2012

Pendule de longueur variable

Henri Bouasse introduit ce problème de la manière suivante :
« Voici d’abord la question usuelle qui lui a donné naissance : une benne est remontée dans un puits de mine ; elle oscille ; on demande quelle est l’influence sur les oscillations de l’enroulement de la code sur le treuil. »
De nos jours ce problème est typiquement celui d’une charge soulevée par l’intermédiaire d’une grue.

 À l’instant initial t = 0, la corde fait un angle θ0, petit, avec la verticale et la longueur vaut l0. On abandonne la charge et la corde commence à s’enrouler sur le treuil à vitesse constante.  Dans cet exemple, l’angle initial vaut θ0 = 15°, la longueur initiale l0 = 20 m et la corde s’enroule autour du treuil à la vitesse de 1 m/s. La charge est remontée sur une hauteur de 19m. On peut évidemment modifier ces valeurs.

Voici le schéma d’Henri Bouasse 1, page 436 dans "Cours de mécanique rationnelle et expérimentale". Paris. Librairie Ch. Delagrave.
Le formalisme Lagrangien permet d'établir facilement l'équation différentielle du pendule :
L'animation réalisée au moyen du package animate est particulièrement intéressante pour l'étude du mouvement :

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_longueur_variable/anim_pendule_longueur_variable.pdf

Tous les fichiers sont ici :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_longueur_variable/anim_pendule_longueur_variable.tex
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_longueur_variable/pendule_longueur_variable.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_longueur_variable/pendule_longueur_variable.tex