mardi 1 mai 2012

Pendule de longueur variable

Henri Bouasse introduit ce problème de la manière suivante :
« Voici d’abord la question usuelle qui lui a donné naissance : une benne est remontée dans un puits de mine ; elle oscille ; on demande quelle est l’influence sur les oscillations de l’enroulement de la code sur le treuil. »
De nos jours ce problème est typiquement celui d’une charge soulevée par l’intermédiaire d’une grue.

 À l’instant initial t = 0, la corde fait un angle θ0, petit, avec la verticale et la longueur vaut l0. On abandonne la charge et la corde commence à s’enrouler sur le treuil à vitesse constante.  Dans cet exemple, l’angle initial vaut θ0 = 15°, la longueur initiale l0 = 20 m et la corde s’enroule autour du treuil à la vitesse de 1 m/s. La charge est remontée sur une hauteur de 19m. On peut évidemment modifier ces valeurs.

Voici le schéma d’Henri Bouasse 1, page 436 dans "Cours de mécanique rationnelle et expérimentale". Paris. Librairie Ch. Delagrave.
Le formalisme Lagrangien permet d'établir facilement l'équation différentielle du pendule :
L'animation réalisée au moyen du package animate est particulièrement intéressante pour l'étude du mouvement :

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_longueur_variable/anim_pendule_longueur_variable.pdf

Tous les fichiers sont ici :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_longueur_variable/anim_pendule_longueur_variable.tex
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_longueur_variable/pendule_longueur_variable.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/pendule/pendule_longueur_variable/pendule_longueur_variable.tex

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