mercredi 27 février 2013

Projection d’images(.eps) sur un plan avec pst-solides3d

\psImage est un complément au package ‘pst-solides3d’. Cette commande permet d’afficher une image au format .eps sur un plan défini par une origine et une normale, ce plan pouvant être la face d’un objet prédéfini : un cube par exemple. L’image .eps doit être préparée selon la méthode indiquée dans la documentation de ‘pst-anamorphosis’.
Cette macro utilise pour le calcul de l’image le code mis au point par Jean-Michel Sarlat pour ‘pst-anamorphosis’, il a été adapté à l’affichage des images dans un plan pour ‘pst-solides3d’.

Pour son utilisation, cette macro comprend différentes options :

\psImage[file=image.eps,
              divisions=10,
               normale=nx ny nz,
              origine=xO yO zO,
              phi=angle,
              unitImage=28.45](x,y)


Elle centre l’image sur le plan au point défini par l’origine, elle peut-être déplacée en un autre point en fixant les valeurs du couple (x,y). On peut omettre ces valeurs si on ne translate pas l’image en autre point que l’origine du plan.
divisions=10 permet de choisir le nombre de sous-segments pour lineto dans le fichier image
à afficher. Plus le nombre est élevé et plus l’image projetée sera fidèle à l’originale. Cependant la
projection ayant lieu sur un plan, la déformation sera faible dans tous les cas sauf si on se rapproche
très près du plan, en conséquence un petit nombre de sous-divisions donnera en général un résultat
correct et permettra d’effectuer les calculs rapidement et d'autre part le fichier obtenu sera plus léger.
phi permet de faire tourner l’image d’une valeur fixée en degrés.
unitImage=28.45 permet de redimensionner la taille de l’image eps qui généralement est en points, en cm, une valeur plus grande donnera une image plus petite.
Si l’on souhaite placer l’image sur la face d’un objet, il faudra suivre la procédure suivante :
  • déterminer le numéro des faces de l’objet : voir la documentation de ‘pst-solides3d’ ;
  • donner pour normale celle de la face concernée et pour origine celle de cette même face. On
    pourra toujours décaler l’image avec (x,y).
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=cube,a=8,action=draw,name=OBJET,linecolor=red]%
\psImage[fichier=picsou01.eps,normal=OBJET 0 solidnormaleface,
origine=OBJET 0 solidcentreface,unitPicture=75]%(0,0
\psImage[fichier=picsou02.eps,normal=OBJET 1 solidnormaleface,
origine=OBJET 1 solidcentreface,unitPicture=75]%(0,0)
\psImage[fichier=picsou03.eps,normal=OBJET 4 solidnormaleface,
origine=OBJET 4 solidcentreface,unitPicture=75]
\psImage[fichier=picsou04.eps,normal=OBJET 3 solidnormaleface,
origine=OBJET 3 solidcentreface,unitPicture=75]
\psImage[fichier=picsou05.eps,normal=OBJET 2 solidnormaleface,
origine=OBJET 2 solidcentreface,unitPicture=75]
\end{pspicture}


Si le plan choisi n’est pas visible pour la position fixée, on pourra, si on le souhaite, forcer l’affichage de l’image avec l’option visibility.



Une animation au format flash :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/Images2pst-solides3d/pst-picsou.html

Utiliser la nouvelle version :
 http://manuel.luque.perso.neuf.fr/Images2pst-solides3d/images4pst-solides3d-doc-v4.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/Images2pst-solides3d/images4pst-solides3d-doc-v4.tex

Tous les fichiers, notamment les images, sont ici :

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/Images2pst-solides3d/

mardi 19 février 2013

Construction et animation de molécules chirales avec pst-solides3d

Les molécules sont constituées d'un atome central et de 4 atomes de grosseurs et de couleurs différentes schématisés par des sphères et reliés par des tiges.
On donne un des énantiomères et on construit l'autre par symétrie par rapport à un plan.

Pour accélérer l'affichage et les calculs des images nécessaires à une animation les caractéristiques des deux molécules sont calculées une fois pour toute et enregistrées sur le disque.
On opère dans le \codejps{...} ce qui permet de travail uniquement avec postscript sans passer par les variables LaTeX : on gagne ainsi un peu de rapidité dans les calculs.


\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{pst-solides3d}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
% Ecriture des fichiers
\begin{center}
\begin{pspicture}(-7,-7)(7,7)
\psset{lightsrc=50 50 10,lightintensity=1,viewpoint=1000 50 20 rtp2xyz,Decran=250}
\codejps{
 /atome1 {2  [18 16] newsphere
 {-90 0 0 rotateOpoint3d} solidtransform
 {0 10.93 0 translatepoint3d} solidtransform} def
 /atome2 {2.25  [18 16] newsphere
 {-90 0 0 rotateOpoint3d} solidtransform
 {0 10.93 0 translatepoint3d} solidtransform} def
 /atome3 {2.5  [18 16] newsphere
 {-90 0 0 rotateOpoint3d} solidtransform
 {0 10.93 0 translatepoint3d} solidtransform} def
 /atome4 {2.75  [18 16] newsphere
 {-90 0 0 rotateOpoint3d} solidtransform
 {0 10.93 0 translatepoint3d} solidtransform} def
 /H1 {atome1 dup (White) outputcolors} def
 /H2 {atome2 dup (rouge) outputcolors} def
 /H3 {atome3 dup (jaune) outputcolors} def
 /H4 {atome4 dup (bleu) outputcolors} def
  /L1 {
     0 0.25 10  [12 10] newcylindre
     {-90 0 0 rotateOpoint3d} solidtransform
      dup (White) outputcolors
   } def
 /L2 { L1 {0 0 -109.5 rotateOpoint3d} solidtransform } def
/HL1{ H1 L1  solidfuz} def
/HL2 { H2 L1  solidfuz {0 0 -109.5 rotateOpoint3d} solidtransform } def
/HL3 { H3 L1  solidfuz {0 0 -109.5 rotateOpoint3d} solidtransform {0 -120 0 rotateOpoint3d} solidtransform } def
/HL4 { H4 L1  solidfuz {0 0 -109.5 rotateOpoint3d} solidtransform {0 120 0 rotateOpoint3d} solidtransform } def
 /C {3  [18 16] newsphere
  {90 0 0 rotateOpoint3d} solidtransform
   dup (gris) outputcolors} def
/HL12 { HL1 HL2 solidfuz} def
/HL123 { HL12 HL3 solidfuz} def
/HL1234 { HL123 HL4 solidfuz} def
/methane { HL1234 C solidfuz} def
  methane {90 0 0 rotateOpoint3d} solidtransform
  (molecule) writesolidfile
  (molecule) readsolidfile
  dupsolid exch pop
   {[1 0 0 0] symplan3d} solidtransform
   dup solidfacesreverse
   (moleculechirale) writesolidfile
  }
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}


Ensuite on peut afficher une image pour voir si le résultat est satisfaisant :

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{pst-solides3d}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-7,-7)(7,7)
\psset{lightsrc=50 50 10,lightintensity=1,viewpoint=1000 50 20 rtp2xyz,Decran=125}
\psframe*[linecolor=gray!10](-7,-7)(7,7)
\psSolid[object=datfile,file=moleculechirale,deactivatecolor=true,grid,RotZ=90](-15,0,0)
\psSolid[object=plan,action=draw**,
         fillcolor=blue!20,opacity=0.5,
         linecolor=blue,
         definition=equation,
         args={[1 0 0 0] 90},
         showBase,
         base=-75 75 -35 35]
\psSolid[object=datfile,file=molecule,deactivatecolor=true,grid,RotZ=-90](15,0,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}


LaTeX->DVIPS ->ps2pdf

Pour l'animation, il fait créer les images dans un fichier postscript, par une boucle :

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{pst-solides3d}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\multido{\Rotz=0+10}{36}{
\begin{pspicture}(-7,-7)(7,7)
\psset{lightsrc=50 50 10,lightintensity=1,viewpoint=1000 50 20 rtp2xyz,Decran=125}
\psframe*[linecolor=gray!10](-7,-7)(7,7)
\psSolid[object=datfile,file=moleculechirale,deactivatecolor=true,grid,RotZ=\Rotz](-15,0,0)
\psSolid[object=plan,action=draw**,
         fillcolor=blue!20,opacity=0.5,
         linecolor=blue,
         definition=equation,
         args={[1 0 0 0] 90},
         showBase,
         base=-75 75 -35 35]
\psSolid[object=datfile,file=molecule,deactivatecolor=true,grid,RotZ=-\Rotz](15,0,0)
\end{pspicture}\newpage}
\end{center}
\end{document}


Puis extraire chaque page du fichier, par exemple sous DOS :

For %N in (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36) Do psselect -p%N chiral_images.ps page%N.ps

Et les convertir en fichier eps, avec la commande perl, toujours sous DOS :

For %N in (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36) Do perl ps2eps.pl page%N.ps

http://www.ipv6.tm.uka.de/~bless/ps2eps

Transformer les eps en pdf :

FOR %G IN (*.eps) DO gswin32c  -sDEVICE=pdfwrite  -dEPSCrop  -o "%~nG.pdf" "%~nG.eps"

Pour un gif animé :

FOR %G IN (*.pdf) DO convert "%G"  "%~nG.gif" 

suivi de :

convert -delay 10 -loop 0 *.gif animation.gif


Pour un pdf animé avec la roulette de la souris, il faut réunir tous les pdf dans un fichier unique, par exemple avec PDFTK Builder :

http://www.angusj.com/pdftkb/

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/molecule/images/molecules_chirales_animation.pdf

Pour une animation au format flash, les fichiers pdf étant trop volumineux, il faut les convertir en png :

FOR %G IN (*.pdf) DO convert "%G"  "%~nG.png"

Puis avec les outils de swftools :

png2swf -r 0.5 page*.png -o chiral.swf


http://manuel.luque.perso.neuf.fr/molecule/images/animation_chirales.html

Tous les fichiers sont ici :

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/molecule/images/





vendredi 15 février 2013

Rotation 3D autour d'un axe quelconque

La macro \psRotIIID est un complément de pst-solides3d qui utilise comme paramètres :
  • [angle=valeur], qui est l’angle de la rotation en degrés ;
  • [base=x1 y1 z1 x2 y2 z2], qui doit contenir les 6 composantes en coordonnées cartésiennes des 2
    points définissant l’axe. Si on préfère les coordonnées sphériques, on fera suivre celles-ci de rtp2xyz :
    [r1 1 1 rtp2xyz r2 2 2 rtp2xyz] ;
La macro \psRotIIIDPoint[...](x,y,z){name} permet de calculer la position d’un point de coordonnées (x, y, z) et de la visualiser par la suite avec par exemple la commande \psdot(name).

Pour des explications et les relations relatives à la rotation 3D autour d’un axe quelconque, voyez le cours de Glenn Murray, dont j’ai emprunté les formules :

http://inside.mines.edu/~gmurray/ArbitraryAxisRotation/ArbitraryAxisRotation.html

Fichiers (rotIIID-v1.pdf, rotIIID-v1.tex) . Ou bien téléchargez l'archive rotation3d.zip qui contient tous les fichiers de la page dans:

Un gif animé :

Pour obtenir les images (fichier : rotIIIDimages.tex) du répertoire indiqué au début.

Une animation au format pdf obtenue avec le package animate avec les fichiers
(rotIIID-animation.pdf, rotIIID-animation.tex) qui sont dans le répertoire précédemment mentionné.

Rotation 3D autour d'un axe - version 2

Une macro supplémentaire :
La macro \psRotationPoint[...](x,y,z){name} permet de calculer la position d’un point de
coordonnées (x, y, z) et de la visualiser par la suite avec, par exemple, la commande \psdot(name).


Fichiers (rotationIIID_v2.tex, rotationIIID_v2.pdf) dans :

dimanche 10 février 2013

Rotation 3D autour d'un axe


Les fichiers "rotation3d_cube.pdf" et "rotation3d_cube.tex" sont dans le dossier :


En utilisant les quaternions :



Les fichiers "rotation3d-q_2.pdf" et "rotation3d-q_2.pdf" sont dans le dossier indiqué au début.

La macro  \psRotationIIID permet de fondre les 2 précédentes en une par l'introduction d'un booléen [quaternion] dont le positionnement permet de choisir la méthode.

Cette macro \psRotationIIID est un complément de pst-solides3d. Elle utilise comme paramètres :
  • [angle=valeur], qui est l’angle de la rotation en degrés ;
  • [axe=x y z], qui doit contenir les 3 composantes du vecteur directeur de l’axe en coordonnées
    cartésiennes. Si on préfère les coordonnées sphériques, on fera suivre celles-ci de
    rtp2xyz : [r rtp2xyz] ;
  • et un booléen [quaternion] positionné par défaut à false. Par défaut le calcul s’effectue
    avec la matrice de rotation 3D classique. Si le booléen est activé par la simple écriture de
    [quaternion] dans les options, le calcul s’effectue avec la méthode des quaternions. 
Cette courte documentation contient aussi un bref aperçu de la théorie des quaternions et de leur lien avec les rotations en 3D écrit par Michel Petitjean.
Les fichiers "rotation3d/rotationIIID.pdf" et "rotation3d/rotationIIID.pdf" sont dans le dossier :


\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[garamond]{mathdesign}
\usepackage{pst-solides3d}
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{amsmath}
\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% la macro \psRotationIIID
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Rotation autour d'un axe passant par O
\define@key[psset]{pst-solides3d}{angle}{\def\psk@solides@angle{#1 }}% rotation autour de l'axe en degres
\psset[pst-solides3d]{angle=0}
%
\define@boolkey[psset]{pst-solides3d}[Pst@]{quaternion}[true]{}
\psset{quaternion=false}%
%\psRotationIIID(x,y,z)
% les coordonnées du vecteur axe sont données par axe=ux uy uz
\def\psRotationIIID{\pst@object{psRotationIIID}}
\def\psRotationIIID@i(#1,#2,#3){{%
  \pst@killglue%
  \use@par%
\addto@pscode{
    \tx@optionssolides
    SolidesDict begin
    /Angle \psk@solides@angle def
    /cosT {Angle cos} bind def
    /sinT {Angle sin} bind def
\ifPst@quaternion
    /Angle_2 {Angle 2 div} bind def
    /p_ {Angle_2 cos} bind def
    /sinA_2 {Angle_2 sin} bind def
    axe unitaire3d
    /u3 exch sinA_2 mul def /u2 exch sinA_2 mul def /u1 exch sinA_2 mul def
    /t2  {p_ u1 mul} bind def
    /t3  {p_ u2 mul} bind def
    /t4  {p_ u3 mul} bind def
    /t5  {u1 dup mul neg} bind def
    /t6  {u1 u2 mul} bind def
    /t7  {u1 u3 mul} bind def
    /t8  {u2 dup mul neg} bind def
    /t9  {u2 u3 mul} bind def
    /t10 {u3 dup mul neg} bind def
/Rotation3D {
4 dict begin
   /M defpoint3d % on récupère les coordonnées
   M /z exch def
     /y exch def
     /x exch def
 t8 t10 add x mul t6 t4 sub y mul add t3 t7 add z mul add 2 mul x add % x'
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 t4 t6 add x mul t5 t10 add y mul add t9 t2 sub z mul add 2 mul y add % y'
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 t7 t3 sub x mul t2 t9 add y mul add t5 t8 add z mul add 2 mul z add  % z'
end} def
\else
   axe unitaire3d
    /u3 exch def /u2 exch def /u1 exch def
/Rotation3D {
5 dict begin
   /M defpoint3d % on récupère les coordonnées
   M /z exch def
     /y exch def
     /x exch def
     /S u1 x mul u2 y mul add u3 z mul add def
   u1 S mul 1 cosT sub mul x cosT mul add u2 z mul u3 y mul sub sinT mul add % x'
   u2 S mul 1 cosT sub mul y cosT mul add u3 x mul u1 z mul sub sinT mul add % y'
   u3 S mul 1 cosT sub mul z cosT mul add u1 y mul u2 x mul sub sinT mul add % z'
end} def
\fi
    end}%
\psSolid[transform=Rotation3D](#1,#2,#3)
}\ignorespaces%
}
\makeatother
\title{Rotation 3D autour d'un axe passant par l'origine}
\date{Février 2013}
\begin{document}

\maketitle
La macro \verb+\psRotationIIID+ est un complément de \textsf{pst-solides3d}. Elle utilise comme paramètres~:
\begin{itemize}
  \item \texttt{[angle=valeur]}, qui est l'angle de la rotation en degrés ;
  \item \texttt{[axe=x y z]}, qui doit contenir les 3 composantes du vecteur directeur de l'axe en coordonnées cartésiennes. Si on préfère les coordonnées sphériques, on fera suivre celles-ci de \texttt{rtp2xyz}~: [r $\theta$ $\phi$ rtp2xyz] ;
  \item et un booléen \texttt{[quaternion]} positionné par défaut à \texttt{false}. Par défaut le calcul s'effectue avec la matrice de rotation 3D classique. Si le booléen est activé par la simple écriture de \textsf{[quaternion]} dans les options, le calcul s'effectue alors avec la méthode des quaternions.
\end{itemize}
\section{Calculs avec la matrice}
\begin{verbatim}
\psRotationIIID[object=cube,
            name=A,
            a=2,
            axe=0 1 1,
            angle=-60,
            RotX=45,
            fillcolor=white](0,3 2 sqrt mul,3 2 sqrt mul)
\end{verbatim}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-7,-1)(7,6)
\psset{viewpoint=50 20 20 rtp2xyz,Decran=50,lightsrc=viewpoint}
\psset{solidmemory}
\psLineIIID[linestyle=dashed](0,0,0)(0,5,5)
\psRotationIIID[object=cube,
            name=A,
            a=2,
            axe=0 1 1,
            angle=-60,
            RotX=45,
            fillcolor=white](0,3 2 sqrt mul,3 2 sqrt mul)
\multido{\i=0+1}{6}{
\psSolid[object=plan,action=none,
         definition=solidface,args=A \i,name=P\i]}
\psProjection[object=texte,linecolor=red,text=D,plan=P0,phi=-90,fontsize=50]%
\psProjection[object=texte,linecolor=red,text=A,plan=P1,phi=90,fontsize=50]%
\psProjection[object=texte,linecolor=red,text=C,plan=P2,phi=-90,fontsize=50]%
\psProjection[object=texte,linecolor=red,text=F,plan=P3,phi=90,fontsize=50]%
\psProjection[object=texte,linecolor=red,text=E,plan=P4,phi=180,fontsize=50]%
\psProjection[object=texte,linecolor=red,text=B,plan=P5,phi=180,fontsize=50]%
\composeSolid
\psSolid[object=vecteur,
        definition={[.1 .5]},
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        args=0 1 1](0,5,5)
\psSolid[object=vecteur,
        definition={[.1 .5]},
        linecolor=red,
        args=0 0 2](0,0,0)
\psSolid[object=vecteur,
        definition={[.1 .5]},
        linecolor=blue,
        args=0 2 0](0,0,0)
\psSolid[object=vecteur,
        definition={[.1 .5]},
        linecolor=green,
        args=2 0 0](0,0,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\section{Calculs avec le quaternion}
\begin{verbatim}
\def\axe{5 5 0 }
\psRotationIIID[object=cylindre,h=6,r=0.4,
            name=A,
            fcol=2 1 33 { (rouge) } for,
            axe=\axe,
            angle=-40,
            quaternion,
            fillcolor=white,ngrid=4 32](3,3,-3)
\end{verbatim}

\def\axe{5 5 0 }
\begin{center}
\begin{pspicture}(-8,-4)(8,4)
\psset{viewpoint=50 30 20 rtp2xyz,Decran=50,lightsrc=viewpoint}
\psLineIIID[linestyle=dashed](0,0,0)(3.28,3.28,0)
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=plan,
         definition=normalpoint,
         args={0 0 0 [0 0 1 180]},
         action=draw,linecolor=red,
         planmarks,
         base=-7 7 -7 7]
\psSolid[object=vecteur,
        definition={[.1 .5]},
        linecolor=red,
        args=0 0 1](0,0,0)
\psSolid[object=vecteur,
        definition={[.1 .5]},
        linecolor=blue,
        args=0 1 0](0,0,0)
\psSolid[object=vecteur,
        definition={[.1 .5]},
        linecolor=green,
        args=1 0 0](0,0,0)
\psRotationIIID[object=cylindre,h=6,r=0.4,name=A,
            fcol=2 1 33 { (rouge) } for,
            axe=\axe,
            angle=-40,
            quaternion,
            fillcolor=white,ngrid=4 32](3,3,-3)
\psSolid[object=plan,action=none,
   definition=solidface,args=A 0,name=P0]
\psSolid[object=plan,action=none,
   definition=solidface,args=A 1,name=P1]
\psProjection[object=texte,linecolor=red,text=A,plan=P0,phi=90,fontsize=20]%
\psProjection[object=texte,linecolor=red,text=B,plan=P1,phi=90,fontsize=20]%
\composeSolid
\psSolid[object=vecteur,
        definition={[.1 .5]},  %% radius height
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        args=2 2 0](3.28, 3.28, 0)
\psPolygonIIID[linecolor=red](7,7,0)(7,-7,0)(-7,-7,0)(-7,7,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\section{Quelques éléments de théorie}
Cet aperçu de la théorie des quaternions et de leur lien avec les rotations en 3D a été écrit par Michel Petitjean\footnote{\url{http://petitjeanmichel.free.fr/itoweb.petitjean.html}}, que je remercie sincèrement pour sa contribution.

Le quaternion unitaire est à la rotation 3D ce qu'un nombre
complexe de module 1 est à la rotation 2D.

Dans le cas général (non unitaire), le quaternion peut s'écrire
$q = p + a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}$. $p$, $a$, $b$ et $c$ étant des réels, et $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$,
et $\mathbf{k}$ étant des imaginaires vérifiant : $\mathbf{i}^2 = -1$, $\mathbf{j}^2 = -1$, $\mathbf{k}^2 =
-1$ (pour un complexe on aurait seulement $p + a\mathbf{i}$). Il faut en
plus définir les règles des produits entre ces 3 types
d'imaginaires. Entre un réel et un des imaginaires, c'est comme
d'habitude. Entre les complexes, on a : $\mathbf{ij} = - \mathbf{ji} = \mathbf{k}\quad \mathbf{jk} = -
\mathbf{kj} = \mathbf{i}\quad \mathbf{ki} = - \mathbf{ik} = \mathbf{j}$. Maintenant avec ces règles on
sait définir le produit de 2 quaternions.

%Notation: l'apostrophe désignera une transposition (vecteur ou matrice).

Tout comme un complexe de module 1 représente une rotation 2D,
le quaternion unitaire $(p^2+a^2+b^2+c^2=1)$ représente une
rotation 3D, d'axe $\overrightarrow{u}$, avec $\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}[m]{l}
a\\
b\\
c
\end{array}\right]$ et d'angle $\theta$ (défini
dans le plan orthogonal à l'axe et orienté par l'axe), avec $p=\cos(\theta/2)$ et
$||\overrightarrow{u}||=\sin(\theta/2)$.
$\theta\in[0,\pi]$, $\cos(\theta/2)$ est donc non négatif. Par
convention, $\sin(\theta)$ est non négatif. Le cas $\sin(\theta)$ négatif,
est équivalent au cas $\sin(\theta)$ positif en changeant $\overrightarrow{u}$ en $-\overrightarrow{u}$.

Le vecteur $\overrightarrow{u}$ n'est donc pas unitaire dans ces
formules. $q$ peut être manipulé comme un vecteur à 4 composantes
$(p,a,b,c)$ tout comme un complexe peut être manipulé comme un
vecteur à 2 composantes.

Liens avec la matrice de rotation $\mathcal{R}$ (voir formules d'Euler-Rodrigues) :
\[
\mathcal{R}=
\begin{pmatrix}
p^2+a^2-b^2-c^2 & 2(ab-cp) & 2(ac+bp) \\
2(ab+cp) & p^2-a^2+b^2-c^2 & 2(bc-ap )\\
2(ac-bp) & 2(bc+ap) & p^2-a^2-b^2+c^2\\
\end{pmatrix}
\]
La matrice $\mathcal{R}$ est une matrice orthogonale directe, ce qui signifie que ses colonnes forment une base orthonormée directe et donc son déterminant vaut 1.

Le produit de $\mathcal{R}$ par un vecteur $\overrightarrow{v}\left[\begin{array}[m]{l}
x\\
y\\
z
\end{array}\right]$ donne :

\[
\mathcal{R}\left[\begin{array}[m]{l}
x\\
y\\
z
\end{array}
\right] =
(2p^2-1)\left[\begin{array}[m]{l}
x\\
y\\
z
\end{array}\right]
+2p\left[\begin{array}[m]{l}
a\\
b\\
c
\end{array}\right]
\wedge
\left[\begin{array}[m]{l}
x\\
y\\
z
\end{array}\right]
+2(ax+by+cz)\left[\begin{array}[m]{l}
a\\
b\\
c
\end{array}\right]
\]
Avantages des quaternions sur les matrices:
\begin{enumerate}
  \item Coût calcul (et espace mémoire) moins élevé dans les produits de quaternions
(songez aux jeux videos ou on en enchaîne beaucoup).
  \item Pas de perte d'orthogonalité dans les produits de quaternions, il
suffit de renormaliser à 1 en cas de nécessité. Quand on
multiplie de nombreuses matrices de rotations, les arrondis
nous conduisent à une matrice qui ne vérifie plus ${}^t\mathcal{R}\mathcal{R}=I$
(matrice identité), et ce n'est pas facile à renormaliser.
\end{enumerate}

Avantage sur les angles d'Euler: c'est bien plus simple, plus
les avantages précédents !
\end{document}


 Voir aussi ::
http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternions_et_rotation_dans_l%27espace

mardi 5 février 2013

Sections du tore par un plan passant par l'un des points de bitangence

Le message précédent avait pour objet des cercles de Villarceau : section du tore par un plan bitangent.

Maintenant on étudie la section du tore par un plan passant par l'un des points de bitangence en prenant un angle un peu plus grand ou un peu plus petit par rapport au plan bitangent.


Dans une première étape il faut décommenter (rendre actives) les lignes débutant par %(en supprimant ce signe) et une fois les fichiers enregistrés les rendre inactives comme au départ.


\documentclass{article}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{bera}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pst-solides3d}
\title{Sections du tore par un plan \textit{bitangent} : cercles de Villarceau}
\date{Février 2013}
\begin{document}

%\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
%\psset{viewpoint=50 -45 10 rtp2xyz,Decran=50}
%\pstVerb{/arcsin {
%   dup 1 eq {
%      90
%   } {
%      dup
%      dup mul neg 1 add sqrt
%      atan
%      dup 90 lt
%         {}
%         {360 sub}
%      ifelse
%   } ifelse
%} def
%        /r_1 3 def
%         /r_0 1.5 def
%         /Phi 0.5 arcsin def
%         /Phi' 90 Phi sub def
%        /alpha 65 def
%         /ax alpha cos def
%         /cz alpha sin def
%         /OB {r_1 dup mul r_0 dup mul sub sqrt} bind def
%         /xB {OB Phi cos mul neg} bind def
%         /zB {OB Phi sin mul} bind def
%         /dH {ax xB mul cz zB mul add neg} bind def
%         }%
%\psset{solidmemory}
%\psSolid[object=datfile,file=tore2460,
%         plansepare={[ax 0 cz dH]},
%         name=incline,
%         action=none](0,0,0)
%\psSolid[object=load,
%         load=incline1,
%         file=tore2460Phi65C1,action=writesolid](0,0,0)
%\psSolid[object=load,
%         load=incline0,
%         file=tore2460Phi65C0,action=writesolid](0,0,0)
%\end{pspicture}
%\newpage
\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-6,-7)(12,4)
\pstVerb{/arcsin {
   dup 1 eq {
      90
   } {
      dup
      dup mul neg 1 add sqrt
      atan
      dup 90 lt
         {}
         {360 sub}
      ifelse
   } ifelse
} def
         /r_1 3 def
         /r_0 1.5 def
         /Phi 0.5 arcsin def
         /Phi' 90 Phi sub def
         /alpha 65 def
         /ax alpha cos def
         /cz alpha sin def
         /OB {r_1 dup mul r_0 dup mul sub sqrt} bind def
         /xB {OB Phi cos mul neg} bind def
         /zB {OB Phi sin mul} bind def
         /dH {ax xB mul cz zB mul add neg} bind def
         /xO2 7 25 cos mul def
         /zO2 7 25 sin mul neg def
         }%
\psset{viewpoint=100 -45 10 rtp2xyz,Decran=100}
%\lightsource
\psset{lightsrc=viewpoint}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](-6,-7)(12,4)
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi65C1,
        hollow,
        rm=0 1,
        intersectiontype=1,
        intersectionplan={[ax 0 cz dH 0.01 add]},
        intersectionlinewidth=2,
        intersectioncolor=(rouge),
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30]
\psSolid[object=plan,action=draw,%opacity=0.5,
   definition=equation,linecolor=blue,
   args={[ax 0 cz dH] 90},
   origine=xB 0 zB,
   base=-5 5 -12 5,planmarks,showBase]
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi65C0,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30](xO2,0,zO2)
\psPoint(xB,0,zB){I}\psdot(I)
\end{pspicture}
\end{center}
%\newpage
%\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
%\psset{viewpoint=50 -45 10 rtp2xyz,Decran=50}
%\pstVerb{/arcsin {
%   dup 1 eq {
%      90
%   } {
%      dup
%      dup mul neg 1 add sqrt
%      atan
%      dup 90 lt
%         {}
%         {360 sub}
%      ifelse
%   } ifelse
%} def
%         /r_1 3 def
%         /r_0 1.5 def
%         /Phi 0.5 arcsin def
%         /Phi' 90 Phi sub def
%        /alpha 55 def
%         /ax alpha cos def
%         /cz alpha sin def
%         /OB {r_1 dup mul r_0 dup mul sub sqrt} bind def
%         /xB {OB Phi cos mul neg} bind def
%         /zB {OB Phi sin mul} bind def
%         /dH {ax xB mul cz zB mul add neg} bind def
%         }%
%\psset{solidmemory}
%\psSolid[object=datfile,file=tore2460,
%         plansepare={[ax 0 cz dH]},
%         name=incline,
%         action=none](0,0,0)
%\psSolid[object=load,
%         load=incline1,
%         file=tore2460Phi55C1,action=writesolid](0,0,0)
%\psSolid[object=load,
%         load=incline0,
%         file=tore2460Phi55C0,action=writesolid](0,0,0)
%\end{pspicture}
\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-6,-7)(12,4)
\pstVerb{/arcsin {
   dup 1 eq {
      90
   } {
      dup
      dup mul neg 1 add sqrt
      atan
      dup 90 lt
         {}
         {360 sub}
      ifelse
   } ifelse
} def
         /r_1 3 def
         /r_0 1.5 def
         /Phi 0.5 arcsin def
         /Phi' 90 Phi sub def
         /alpha 55 def
         /ax alpha cos def
         /cz alpha sin def
         /OB {r_1 dup mul r_0 dup mul sub sqrt} bind def
         /xB {OB Phi cos mul neg} bind def
         /zB {OB Phi sin mul} bind def
         /dH {ax xB mul cz zB mul add neg} bind def
         /xO2 6 35 cos mul def
         /zO2 6 35 sin mul neg def
         }%
\psset{viewpoint=100 -45 10 rtp2xyz,Decran=100}
%\lightsource
\psset{lightsrc=viewpoint}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](-6,-7)(12,4)
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi55C1,
        hollow,
        rm=0 1,
        intersectiontype=1,
        intersectionplan={[ax 0 cz dH 0.01 add]},
        intersectionlinewidth=2,
        intersectioncolor=(rouge),
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30]
\psSolid[object=plan,action=draw,%opacity=0.5,
   definition=equation,linecolor=blue,
   args={[ax 0 cz dH] 90},
   origine=xB 0 zB,
   base=-5 5 -12 5,planmarks,showBase]
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi55C0,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30](xO2,0,zO2)
\psPoint(xB,0,zB){I}\psdot(I)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

Cercles de Villarceau


 \documentclass{article}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{bera}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pst-solides3d}
\title{Sections du tore plan \textit{bitangent} : cercles de Villarceau}
\date{Février 2013}
\begin{document}
\maketitle
Pour un affichage ultérieur rapide et faciliter ainsi la mise au point de la mise en page, il vaut mieux d'abord calculer et enregistrer les paramètres des solides étudiés.

La première étape est l'enregistrement des caractéristiques du tore étudié :
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
\psSolid[r1=3,r0=1.5,
         object=tore,
         ngrid=24 60,
         file=tore2460,action=writesolid]
\end{pspicture}
\end{verbatim}

Ces lignes sont à désactiver par la suite.
\begin{verbatim}
%\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
%\psSolid[r1=3,r0=1.5,
%         object=tore,
%         ngrid=24 60,
%         file=tore2460,action=writesolid]
%\end{pspicture}
\end{verbatim}

La deuxième étape le calcul et l'enregistrement des caractéristiques des deux solides obtenus par la section du tore par le plan \textit{bitangent}.
%\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
%\pstVerb{/Phi 60 def
%         /nx {Phi cos} bind def
%         /nz {Phi sin} bind def
%         }%
%\psset{solidmemory}
%\psSolid[object=datfile,file=tore2460,
%         plansepare={[nx 0 nz 0]},
%         name=incline,
%         action=none](0,0,0)
%\psSolid[object=load,
%         load=incline1,
%         file=tore2460Phi601,action=writesolid](0,0,0)
%\psSolid[object=load,
%         load=incline0,
%         file=tore2460Phi600,action=writesolid](0,0,0)
%\end{pspicture}
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\pstVerb{/Phi 60 def
         /nx {Phi cos} bind def
         /nz {Phi sin} bind def
         }%
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=datfile,file=tore2460,
         plansepare={[nx 0 nz 0]},
         name=incline,
         action=none](0,0,0)
\psSolid[object=load,
         load=incline1,
         file=tore2460Phi601,action=writesolid](0,0,0)
\psSolid[object=load,
         load=incline0,
         file=tore2460Phi600,action=writesolid](0,0,0)
\end{pspicture}
\end{verbatim}
Ces deux étapes et en particulier la seconde peuvent prendre un certain temps, qui dépend évidemment de la puissance de l'ordinateur.
\newpage
\begin{center}
Cercles de Villarceau

\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-6,-7)(12,4)
\pstVerb{/Phi 60 def
         /nx {Phi cos} bind def
         /nz {Phi sin} bind def
         }%
\psset{viewpoint=50 -45 10 rtp2xyz,Decran=50}
%\lightsource
\psset{lightsrc=viewpoint}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](-6,-7)(12,4)
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi601,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30]
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=plan,definition=equation,name=monplan,
         args={[nx 0 nz 0] 90},action=none]
%% affectation du plan de projection
\psset{plan=monplan}
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=1.5 0 3,range=0 360]
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=-1.5 0 3,range=0 360]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[nx 0 nz 0] 90},
   base=-5 5 -10 5,planmarks,showBase]
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi600,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30](0,0,0)
\composeSolid
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-6,-7)(12,4)
\pstVerb{/Phi 60 def
         /nx {Phi cos} bind def
         /nz {Phi sin} bind def
         }%
\psset{viewpoint=50 -45 10 rtp2xyz,Decran=50}
\psset{lightsrc=viewpoint}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](-6,-8)(12,4)
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi601,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!30,incolor=yellow!20]
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=plan,definition=equation,name=monplan,
         args={[nx 0 nz 0] 90},action=none]
%% affectation du plan de projection
\psset{plan=monplan}
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=1.5 0 3,range=0 360]
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=-1.5 0 3,range=0 360]
%
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=1.5 -6 3,range=0 360]
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=-1.5 -6 3,range=0 360]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[nx 0 nz 0] 90},
   linewidth=\pslinewidth,
   base=-5 5 -10 5,planmarks,showBase]
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi600,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!20](5.2,0,-3)
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage
Un autre point de vue :
\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-10,-6)(8,4)
\pstVerb{/Phi 60 def
         /nx {Phi cos} bind def
         /nz {Phi sin} bind def
         }%
\psset{viewpoint=50 90 10 rtp2xyz,Decran=50}
%\lightsource
\psset{lightsrc=viewpoint}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](-10,-6)(8,4)
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi601,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30]
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=plan,definition=equation,name=monplan,
         args={[nx 0 nz 0] 90},action=none]
%% affectation du plan de projection
\psset{plan=monplan}
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=1.5 0 3,range=0 360]
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=-1.5 0 3,range=0 360]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[nx 0 nz 0] 90},
   base=-5 5 -10 5,planmarks,showBase]
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi600,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30](0,0,0)
\composeSolid
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-10,-6)(8,4)
\pstVerb{/Phi 60 def
         /nx {Phi cos} bind def
         /nz {Phi sin} bind def
         }%
\psset{viewpoint=50 90 10 rtp2xyz,Decran=50}
\psset{lightsrc=viewpoint}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](-10,-6)(8,4)
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi601,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30]
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=plan,definition=equation,name=monplan,
         args={[nx 0 nz 0] 90},action=none]
%% affectation du plan de projection
\psset{plan=monplan}
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=1.5 0 3,range=0 360]
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=-1.5 0 3,range=0 360]
%
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=1.5 -6 3,range=0 360]
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=-1.5 -6 3,range=0 360]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[nx 0 nz 0] 90},
   linewidth=\pslinewidth,
   base=-5 5 -10 5,planmarks,showBase]
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi600,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!20](5.2,0,-3)
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage


\begin{center}
Encore un autre point de vue :

\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-7,-10)(7,5)
\pstVerb{/Phi 60 def
         /nx {Phi cos} bind def
         /nz {Phi sin} bind def
         }%
\psset{viewpoint=50 0 60 rtp2xyz,Decran=50}
%\lightsource
\psset{lightsrc=viewpoint}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](-5,-10)(5,5)
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi601,
        hollow,
        rm=0 1,
        linewidth=0.2\pslinewidth,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30]
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=plan,definition=equation,name=monplan,
         args={[nx 0 nz 0] 90},action=none]
%% affectation du plan de projection
\psset{plan=monplan}
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=1.5 0 3,range=0 360]
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=-1.5 0 3,range=0 360]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[nx 0 nz 0] 90},
   base=-5 5 -10 5,planmarks,showBase]
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi600,
        hollow,
        rm=0 1,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        linewidth=0.2\pslinewidth,
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30](0,0,0)
%\composeSolid
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-7,-8)(7,4)
\pstVerb{/Phi 60 def
         /nx {Phi cos} bind def
         /nz {Phi sin} bind def
         }%
\psset{viewpoint=50 0 60 rtp2xyz,Decran=50}
\psset{lightsrc=viewpoint}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](-5,-10)(5,5)
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi601,
        hollow,
        rm=0 1,
        linewidth=0.2\pslinewidth,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!30]
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=plan,definition=equation,name=monplan,
         args={[nx 0 nz 0] 90},action=none]
%% affectation du plan de projection
\psset{plan=monplan}
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=1.5 -6 3,range=0 360]
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,
              args=-1.5 -6 3,range=0 360]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[nx 0 nz 0] 90},
   linewidth=\pslinewidth,
   base=-5 5 -10 5,planmarks,showBase]
\psSolid[object=datfile,file=tore2460Phi600,
        hollow,
        rm=0 1,
        linewidth=0.2\pslinewidth,
        linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
        fillcolor=green!20,incolor=yellow!20](5.2,0,-3)
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,linewidth=0.075,
              args=1.5 0 3,range=0 360]
\psProjection[object=cercle,linecolor=red,linewidth=0.075,
              args=-1.5 0 3,range=0 360]
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

Fichiers (CerclesVillarceau.pdf, CerclesVillarceau.tex) dans :


 Le code fait partie des paragraphes précédents (amélioration du tracé des cercles)

vendredi 1 février 2013

Sections du tore circulaire

Quelques exemples de section d'un tore circulaire réalisées avec PST-solides3d.



Les fichiers (qui pour l'instant ne contiennent aucune explication) :

Les messages suivants traitent de quelques sections particulières.