lundi 27 février 2012

Quelques corrections et une animation sur la première partie du problème de l'agrégation de 1848

Ceci concerne le message précédent :
http://pstricks.blogspot.com/2012/02/probleme-de-mecanique-du-concours-de.html
Dernière mise à jour lundi 27 février 2012 à 15 h 10.
Les fichiers corrigés (pst-oscCylindre.tex, pst-oscCylindre.pdf) :
Mercredi 29 février06:45
Une animation  qui tient compte de la façon dont  θ varie avec t :

Le fichier (animation_oscillations_cylindre_2.tex) ayant servi a créer l'animation est dans le le même répertoire.

dimanche 26 février 2012

Problème de mécanique du concours de l’Agrégation de 1 848, illustré avec PStricks : 1ère partie

Un cylindre droit à bases circulaires, de matière hétérogène, mais dont tous les points situés sur une même droite parallèle à l’axe ont la même densité, est posé sur un plan horizontal. Déterminer le mouvement qu’il prend sous l’action de la pesanteur, et en particulier le mouvement du centre de gravité, ainsi que celui d’un point quelconque du rayon qui passe par ce centre. On fera abstraction du frottement.
 Concours Agrégation aux Lycées, Année 1848
On pourra noter la concision de l’énoncé, si on le compare avec l’énoncé d’un problème de physique du concours actuel de l’agrégation. La correction de cet exercice a fait l’objet de deux rédactions, celle de Théodore Désiré Dieu qui se trouve dans l’ouvrage Problèmes d’analyse infinitésimale et de mécanique , qui contient les énoncés relatifs aux années 1841 à 1851, et celle de Jules Marie Louis Vieille dans le Cours complémentaire d’analyse et de mécanique rationnelle publié en 1851. Pour la démonstration j’ai adopté(et adapté) celle de J. Vieille, et pour les développements ceux de T. Dieu.
Quelques images du document de la première partie.
État initial :

À un instant t :
Au cours du mouvement :
L'équation différentielle régissant les variations de Θ(t) :
La représentation graphique de la solution de l’équation différentielle , qui se réalise très simplement avec la commande : \psplotDiffEqn du package pstricks-add.
En pointillés, une approximation avec la fonction cosinus.
Le calcul de la période :
Les variations de la position y(t) du centre de gravité :
Les variations de la position xC(t) du centre du cylindre :
 Mouvement d’un point quelconque du rayon qui passe par le centre de gravité.
 Suivant la position du point sur CG, celui-ci décrit une portion d'ellipse ou de cercle.

Les fichiers de cette première partie (pst-oscCylindre.tex et (pst-oscCylindre.pdf) :

jeudi 16 février 2012

Cylindre remontant spontanément un plan incliné - 3

Jürgen Gilg(que je remercie vivement) m'a communiqué le lien vers une vidéo extraordinaire, en rapport avec les messages précédents.
Le phénomène physique du cylindre remontant un plan incliné a été illustré de façon ébouriffante par les auteurs de la vidéo suivante :


Où l'on voit, vers la 26e minute, 6 cylindres creux disposés sur un plan incliné, matérialisé par une échelle, remonter le plan incliné, après une succession de chocs, chaque cylindre étant mis en mouvement par un choc du cylindre le précédant.
 Le premier cylindre situé au bas du plan est mis en mouvement après une série de catastrophes physiques d'une durée de 26 min !
On voit nettement qu'on a collé sur la périphérie intérieure de chaque cylindre une masse ayant pour but de déporter le centre de gravité à la périphérie : on est donc bien dans le cas précédemment évoqué.
Chaque cylindre est disposé dans sa position instable, celle qui correspond au point $A$(voir les schémas du message précédent), et le moindre choc suffit à le faire rouler vers sa position d'équilibre stable et donc à remonter le plan.
6 cylindres pour remonter la longueur du plan : extraordinaire idée ! Très spectaculaire ! Bravo les artistes !!!

Qui mettra en équations cette séquence ?

mercredi 15 février 2012

Cylindre remontant spontanément un plan incliné - version 2

Une version 2 avec un code un peu plus resserré.
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/cylindre_inhomogene_plan_incline/

Cylindre inhomogène remontant spontanément un plan incliné

http://spazioinwind.libero.it/gabinetto_di_fisica/meccanicas/statica/discodisomogeneo.htm

Dans son livre ``Cours de mécanique rationnelle et expérimentale'' : http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABR2526.0001.001?view=toc édité par la Librairie Delagrave en 1910, Henri Bouasse étudie à la page 229, l'expérience, attribuée à l'Abbé Nollet, du cylindre qui remonte un plan incliné http://www.inrp.fr/she/instruments/instr_mec_plan_incline.htm et semble ainsi défier les lois de la gravité et il en donne en quelques lignes des explications beaucoup plus précises que toutes celles que j'ai pu lire sur la toile.
Le texte d'Henri Bouasse :
Un cylindre de bois est surchargé de plomb intérieurement et latéralement, de manière que son centre de gravité soit reporté en G, assez loin de l'axe de révolution de la surface. Placé sur un plan incliné, de manière que les génératrices soient normales à la ligne de plus grande pente, il peut remonter le long du plan. En effet, le centre de gravité décrit une cycloïde raccourcie. À partir du point A (situé après le maximum G de la cycloïde rapportée au plan incliné) jusqu'au point C (situé avant le minimum D de la cycloïde, rapportée au même plan), la remontée du cylindre correspond à une descente du centre de gravité. Quand le centre de gravité est en A, il y a équilibre instable ; quand il est en C, il y a équilibre stable. À mesure que l'angle α du plan augmente, les points A et C se rapprochent. La remontée n'a plus lieu quand l'angle α vaut l'angle que fait avec le plan incliné la tangente d'inflexion de la cycloïde.
 Quelques figures réalisées avec PStricks illustrant le texte de Henri Bouasse :

 On fait rouler le cylindre légèrement au-delà de A et on le lâche. Le cylindre remonte. Au point C qui est la position la plus basse de G la vitesse du cylindre n'est pas nulle et s'il n'y avait pas de frottements, le cylindre pourrait encore remonter la pente jusqu'à ce que G occupe la position E qui est sur la même horizontale que A, pour redescendre ensuite et effectuer des oscillations non symétriques autour de C.
 On peut observer les oscillations du cylindre sur les deux enregistrements vidéos suivants :
http://www.louislegrand.eu/index.php?option=com_content&view=article&id=92:mec1-2&catid=10:mecanique-du-solide&Itemid=17
http://www.youtube.com/watch?v=ySR28y2QJm0

L'étude théorique des oscillations est ici :
http://pstricks.blogspot.fr/2012/03/mouvement-dun-cerceau-leste-sur-un-plan_18.html
Le fichier LaTeX contient les macros PStricks nécessaires à la réalisation des figures ci-dessus et à la compilation du fichier :



jeudi 9 février 2012

Équilibre d'une échelle homogène appuyée contre un mur vertical, d'après Henri Bouasse

Dans son livre ``Cours de mécanique rationnelle et expérimentale'' http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABR2526.0001.001?view=toc édité par la Librairie Delagrave en 1910, Henri Bouasse traite le problème de l'équilibre d'une échelle appuyée contre un mur vertical.
Sa méthode est encore une fois très originale, j'ai donc décidé de développer aussi cet exemple. En voici le plan et quelques images.
On ne tient pas compte des frottements :
On demande quelles forces il faut exercer suivant OA sur le point A ou suivant OB sur le point B pour maintenir l'échelle en équilibre.
On tient compte des frottements : le sol est rugueux, le mur est poli.


Connaissant le coefficient de frottement k, on peut en déduire l'inclinaison minimale de l'échelle avant qu'elle ne commence à glisser.
On tient compte des frottements : le mur et le sol sont rugueux.
Modification des conditions d'équilibre quand un homme monte à l'échelle :
Problème simplifié et recherche des conditions d'équilibre :
Cas où l'homme est au-dessus du milieu de l'échelle.
Les fichiers : echelle
Si lorsque l'homme monte à l'échelle les frottements entre l'échelle et le mur et l'échelle et le sol deviennent insuffisants, l'équilibre est rompu :

samedi 4 février 2012

Équilibre des tableaux, d’après Henri Bouasse

Dans son livre Cours de mécanique rationnelle et expérimentale édité par la Librairie Delagrave en 1910, Henri Bouasse traite le problème de l’équilibre des tableaux suspendus et inclinés de telle façon que le visiteur puisse les voir sous une « incidence approximativement normale ».
Sa méthode m’ayant paru particulièrement originale et intéressante j’ai choisi de la développer et de l’illustrer avec PStricks.
Un exemple avec une gravure représentant Galilée : "E pur si muove", son inclinaison et son fil de suspension.

Trajectoires de G
En maintenant le bord inférieur du cadre appuyé sur le mur et le fil de suspension tendu on fait glisser le bord inférieur du cadre sur le mur jusqu’à rendre le tableau horizontal, c’est l’inclinaison maximale, on trace les différentes trajectoires possibles pour G en faisant varier les différents paramètres.
 Cas où le tableau a tendance à se mettre vertical.
 Cas où le tableau a tendance à se retourner.
 Les fichiers : http://manuel.luque.perso.neuf.fr/tableau/tableau_bouasse.tex
                       http://manuel.luque.perso.neuf.fr/tableau/tableau_bouasse.pdf
                      http://manuel.luque.perso.neuf.fr/tableau/visiteur.eps
Note : cette version comporte certainement des erreurs soit de saisie au clavier soit de raisonnement, si vous en relevez soyez aimable de me les communiquer. Merci par avance.
Dernière correction : 5 février 2012 à 12h.

vendredi 3 février 2012

Équilibre d'un pendule électrisé dans un champ électrique (Thomas Söll)

Dessiné avec PStricks par Thomas Söll (Thomas.Soell@onlinehome.de), l'équilibre d'un pendule électrisé placé entre les armatures d'un condensateur chargé.
Les fichiers (UKugel-Kondensator.tex  Kugel-Kondensator.pdf)  sont dans :