vendredi 29 août 2014

La marche d’un ressort : simulation

C’est la visualisation de ce Gif animé :

http://dvdp.tumblr.com/post/71236566959/haters-gonna-hate-doo-pee-doo

qui m’a donné l’idée d’essayer de reproduire la marche d’un ressort. Mais vous connaissez certainement ce fameux ressort appelé “Slinky”, capable de descendre les marches d’un escalier ou de faire du surplace sur un tapis roulant :

https://www.youtube.com/watch?v=K6rLIQqhXW4
https://www.youtube.com/watch?v=Yy7CwYB7Ds0

La modélisation physique ou mathématique ne me semble pas évidente, a-t-elle déjà été faite ? Pour la marche du ressort sur le plan horizontal, j’ai adopté les règles suivantes, sans aucun rapport avec la réalité physique.
  1. Le ressort est initialement posé sous forme d’un demi-tore sur le plan ;
  2. on maintient une extrémité fixe, puis on lâche l’autre, le ressort se déploie jusqu’à la verticale et si on lui a donné une légère impulsion au départ se courbe dans l’autre sens et se courbe pour finir par former un demi-tore etc. La marche du ressort est en route.
  3. On suppose que la longueur médiane du ressort reste constante et qu’il forme toujours une partie d’un tore.
La suite avec les explications et la commande dédiée, est dans le document suivant :

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/Slinky/psSlinky.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/Slinky/psSlinky.tex






mardi 19 août 2014

Routes pour roues polygonales : version 2

Par rapport à la première version :
 http://pstricks.blogspot.fr/2014/08/routes-pour-roues-polygonales.html
j'ai rajouté un booléen permettant, éventuellement, de dessiner le lieu d'un sommet lors du roulement : LocusVertex=false.




Je rappelle que ces 2 dernières images font partie des animations incluses dans le fichier pdf.

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/RoadsAndWheels/pst-PolygonalWheels-v2.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/RoadsAndWheels/pst-PolygonalWheels-v2.tex



dimanche 17 août 2014

Routes pour roues polygonales

C’est par ce thème que Leon Hall et StanWagon ont débuté leur article “Roads and Wheels” publié en 1992, dans la revue “Mathematics Magazine”, vol.65.
http://web.mst.edu/~lmhall/Personal/RoadsWheels/RoadsWheels.pdf
C’est par celui-ci que je terminerai ce cycle consacré aux “Drôles de roues pour drôles de routes” comme l’intitule Alain Esculier sur sa page :
http://aesculier.fr/fichiersMaple/rouesdroles/rouesdroles.html
Leon Hall et Stan Wagon ont parfaitement traité ce cas dans leur article, ils démontrent que la route adaptée à une roue dont le contour est un polygone régulier est une suite d’arches de chaînette inversées.
Pour illustrer ce cas avec PSTricks, j’utilise la macro : \psPolygonalWheel[options](x), qui possède les options suivantes :
  • N=4 : nombre de côtés de la roue.
  • n=N : nombre d’arches de chaînette.
  • Un booléen : DrawRoad=true, qui permet de dessiner ou non la route. Cela permettra de ne dessiner qu’une fois la route si l’on souhaite représenter sur un même dessin plusieurs positions de la roue.
Ce sont les valeurs par défaut qui sont indiquées. Dans la parenthèse, on indique l’abscisse du centre de la roue.
Les animations réalisées avec la package animate” d'Alexander Grahn  sont incluses dans le pdf :

http://manuel.luque.perso.neuf.fr/RoadsAndWheels/pst-PolygonalWheels.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/RoadsAndWheels/pst-PolygonalWheels.tex

En voici quelques images :





lundi 11 août 2014

Des roues pour des routes en dents de scie

Cet document termine la série d’articles consacrés aux roulettes rectilignes.
Je rappelle que Ian Stewart avait abordé ce problème, de façon amusante, dans un numéro de Pour la Science(no188 de juin 1993). L’article, intitulé Rolling Stones, est illustré de magnifiques schémas très explicites.
Alain Esculier, a pris pour point de départ cet article. Il l’avait intitulé “Drôles de roues pour drôles de routes” et avait calculé de superbes animations visibles sur sa page :
http://aesculier.fr/fichiersMaple/rouesdroles/rouesdroles.html
Sur ce sujet, Leon Hall et StanWagon ont publié, en 1992, dans la revue “Mathematics Magazine”, vol.65 un remarquable article très complet : “Roads and Wheels”, avec des exemples inédits, il est cité dans l’une des références de l’article de Ian Stewart  :
http://web.mst.edu/~lmhall/Personal/RoadsWheels/RoadsWheels.pdf
Les solutions proposées par Leon Hall et Stan Wagon étant les plus complètes, ce sont elles qui m’ont permis de calculer les animations des articles précédents portant sur ce sujet :
http://pstricks.blogspot.fr/2014/06/une-ellipse-comme-roue-et-la-route.html
http://pstricks.blogspot.fr/2014/06/des-roues-pour-des-routes-au-profil.html
http://pstricks.blogspot.fr/2014/07/roues-adaptees-aux-routes-profil.html
http://pstricks.blogspot.fr/2014/07/roues-adaptees-aux-routes-profil_15.html
http://pstricks.blogspot.fr/2014/07/approximation-dune-roue-polygonale-par.html
http://pstricks.blogspot.fr/2014/07/la-roue-est-donnee-par-un-systeme.html
http://pstricks.blogspot.fr/2014/07/roue-definie-par-son-equation-polaire.html
Leon hall et StanWagon ont, encore une fois, donné la solution au problème qui nous intéresse cette fois-ci. En voici une adaptation avec PSTricks qui est illustrée avec la commande \psSawtoothRoad[options](x).
Toutes les explications sur cette commande ainsi que les animations réalisées avec la package animate d'Alexander Grahn sont sur le fichier :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/RoadsAndWheels/Roues-pour-routes-en-dents-de-scie.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/RoadsAndWheels/Roues-pour-routes-en-dents-de-scie.tex

Voici quelques animations au format  Gif, dont les images ont été calculées avec PSTricks :





















lundi 21 juillet 2014

La roue est donnée par un système d’équations paramétriques, on en déduit le profil de la route associée

C’est, une fois de plus, dans l’article remarquable et très complet : “Roads and Wheels”, que LEON HALL et STAN WAGON ont publié en 1992, dans la revue “Mathematics Magazine”, vol.65 :

http://web.mst.edu/~lmhall/Personal/RoadsWheels/RoadsWheels.pdf

que se trouve la solution au problème posé : “La roue est donnée par un système d’équations paramétriques, il faut en déduire le profil de la route associée”. Toutes les précisions sont dans l’article. Ce document se contente d’écrire le code nécessaire à l’animation en utilisant LaTeX, PSTricks et ses extensions, en particulier ‘pst-ode’ et ’animate’.
Voici,adapté, l’exemple qu’ils donnent, d’une roue piriforme définie par les équations :

Les fichiers :
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/RoadsAndWheels/Roue-equations-parametriques-route.pdf
http://manuel.luque.perso.neuf.fr/RoadsAndWheels/Roue-equations-parametriques-route.tex

Le fichier a été mis à jour le 22 juillet 2014 :