jeudi 23 janvier 2020

Mots croisés avec calculatrice : version PSTricks.

Thomas Söll a mis au point une version qui ne nécessite pas de fontes spéciales : les digits sont dessinés avec les outils de PSTricks comme pour l'horloge numérique qu'il avait réalisée :


On notera qu'il est possible de spécifier le couleur des digits, leur inclinaison et la couleur de fond de la calculatrice dans la commande \calculatordigits. Les explications sont dans les commentaires du fichier source :

%%  CALCULATORDIGITS
%% sorry for using the \NewDocumentCommand,I know technical consultant never use this, but
%% it makes it much easier for me to create a star variant of the command
%% Setup the calculator!!!
%% #1 = star, not used
%% #2 = decimals
%% #3 = angle for \pstilt
%% #4 = color for the digits
%% #5 = color for the background: attention: the background is set with #5!\digibackcolpercent
%%      and \digibackcolpercent is to define via \def from the user: a number 0 -- 100
%% #6 = number, term to calculate

Par exemple pour le 27 vertical :
amerik. Bundesstaat (runde auf 3 Dezimalen)  on a avec les paramètres suivants :
\calculatordigits[3][65][On][yellow]{4.5\cdot 0.7-\mixfrac{3}{1}{99}}
Dans la grille que Thomas propose, le 1 horizontal avec solution donne :
Le fichier contient la grille avec les définitions, les calculs mais sans solution et la grille avec la solution :
On peut les télécharger fichier source et pdf ici :
ou :
Crossword-Puzzle
le fichier zip contient les fichiers de toutes les versions.
ou bien sur la page dédiée aux applications de xint :

Un aperçu de la grille :
et des premières solutions :



mercredi 22 janvier 2020

Mots croisés avec calculatrice

Un moyen ludique pour s'entraîner à utiliser correctement les règles de priorités dans les calculs, en faisant des mots croisés avec une calculatrice !
Je ne sais pas qui a eu cette idée : faire une opération plus ou moins complexe sur la calculatrice et inverser le haut et le bas de celle-ci pour lire le mot donné par le résultat de l'opération,deux exemples avec leur solution :




Mais c'est génial !

Thomas Söll et Jürgen Gilg proposent un exemple superbement réalisé de ce type de mots croisés en allemand. Il a été connçu avec LaTeX en utilisant pour les calculs le package xint de Jean-François Burnol :
Le document contient l'adresse où l'on peut télécharger le jeu de fontes digitales. Il y a deux fichiers l'un avec la solution de la grille et l'autre sans solution.
En  français, le site suivant propose un exemple de ce type en ligne :
Mais celui de Thomas Söll et Jürgen Gilg est bien plus complet car il donne aussi la définition de chaque mot comme dans une grille de mots croisés classique.
Si un lecteur de cette page connaît d'autres exemples, qu'il n'hésite pas à les signaler à Thomas Söll et Jürgen Gilg ou bien à moi-même : je transmettrai.
On peut télécharger les fichiers ici :
 ou
ou bien sur la page dédiée aux applications de xint :

Un aperçu de la grille :



vendredi 17 janvier 2020

Probabilités (2) avec xint et PSTricks

Probabilités : distribution binomiale avec xint 

 illustrations avec PSTricks

par Thomas Söll et Jürgen Gilg

Les fichiers sources et pdf sont récupérables ici :
probabilités-xint-PSTricks
(le fichier zippé les contient tous)
ou
http://manuel.luque.free.fr/probabilites/probabilites.zip
ou bien sur la page dédiée à xint :
http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr

Voici un aperçu du document :

La distribution binomiale est une distribution de probabilité qui modélise le nombre de succès obtenus lors de la répétition indépendante de plusieurs expériences aléatoires identiques. Si la probabilité d'un succès a un tirage est $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès lors de $n$ tirages est $P[X=k]=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$.
La probabilité d'obtenir au plus $k$ succès s'appelle la distribution cumulative binomiale et est donnée par $P[X=k]=\sum_{i=0}^k\binom nip^i(1-p)^{n-i}$.
Pour l'exemple suivant on a choisi : $p=0,6$, $n=3$


Un troisième exemple a été inclus dans l'archive.

lundi 13 janvier 2020

Le cycle de Carnot avec PSTricks et xint

 Ce cycle est calculé de deux manières différentes : avec postscript (fichier psCarnotCycle.tex) et avec xint https://ctan.org/pkg/xint (fichier xintCarnotCycle.tex) ce dernier étant l’œuvre de Jürgen Gilg.
Cet exemple est une adaptation de celui réalisé par S. M. Blinder avec mathematica :
On choisit les conditions initiales : V 1, V 2, T 1, T 2. Les volumes sont en m 3.
Dans le premier cas, une commande permet de dessiner le cycle dont les valeurs par défaut sont :
\psCarnotCycle[V1=2,V2=6,T1=273,T2=373] 
Dans le deuxième cas, les valeurs sont à modifier au début du listing.
Les fichiers sont disponibles ici :
 Cycle de Carnot
ou
http://manuel.luque.free.fr/Carnot-Cycle/Carnot-Cycle.zip

Les images de deux cycles :
Deux animations, dont les fichiers source rspectifs (psCarnotCycle-animation-1.tex, psCarnotCycle-animation-2.tex) inclus dans l'archive zip permettent d'obtenir le Gif avec la commande :
convert  -density 150x150 -alpha remove  -delay 10 psCarnotCycle-animation-1.pdf[1-1000]  -loop 0   psCarnotCycle.gif
Les fichiers source contiennent en remarque des indications pour modifier les paramètres initiaux : (V 1, V 2, T 1, T 2.).







 
 

jeudi 2 janvier 2020

Probabilités (1) avec xint et PSTricks


Calculs de probabilités avec xint, illustrations avec PSTricks 
par Thomas Söll et Jürgen Gilg.
xint de Jean-François Burnol sur le serveur du CTAN : https://ctan.org/pkg/xint
Les fichiers source et pdf  peuvent être récupérés sur :
probabilités-xint-PSTricks
ou
http://manuel.luque.free.fr/probabilites/Probability-Xint.pdf
http://manuel.luque.free.fr/probabilites/Probability-Xint.tex
ou sur la page dédiée à xint :
http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr

Le fichier source contient de nombreux commentaires permettant de comprendre comment xint est utilisé pour les calculs. Ce qui suit est un bref aperçu du document.

Dans cet exemple, on donne la liste des couples avec $x_i|\mathrm{P}(X=x_i)$ : ces valeurs n'étant  séparées que par des espaces, avec la commande :

\GenerateProbLists{LP}{2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 1/6 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36}

et on affiche le tableau de valeurs suivant :

en utilisant les commandes de xint.

Ensuite, l'espérance est calculée et affichée automatiquement avec les macros de xint :
$\mathrm{E}(\mathrm{X})=x_1\cdot\mathrm{P}(\mathrm{X}=x_1)+x_2\cdot\mathrm{P}(\mathrm{X}=x_2)+\cdots=\mu$


Il en est de même pour la variance :

$\mathrm{Var(X)}=(x_1-\mu)^2\cdot \mathrm{P}(\mathrm{X}=x_1)+(x_2-\mu)^2\cdot \mathrm{P}(\mathrm{X}=x_2)+\cdots=\sigma^2$
Enfin l'histogramme est dessiné avec PSTricks :



mardi 31 décembre 2019

La deuxième loi de Képler illustrée avec PSTricks et xint

Voici quelques extraits de ce document de 24 pages écrit par Jean-François Burnol avec la collaboration de Jürgen Gilg et Thomas Söll afin de donner envie à tous les amateurs de géométrie et de constructions géométriques de lire le texte original qui s'il utilise PSTricks et xint pour les illustrations graphiques est surtout une riche étude mathématique sur l'ellipse avec comme point de départ la deuxième loi de Képler :
Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un de foyers. Leur vitesse est telle que le rayon vecteur les joignant au Soleil balaie des aires proportionnelles au temps (loi des aires).
Les résultats seront généralisés pour des coniques quelconques dans un prochain document.
Les fichiers sources sont à télécharger sur la page dédiée à xint-polexpr :
ou bien, avec le pdf, ici :
 Les conventions et notations usuelles pour les ellipses sont précisées :
Théorème  :
    Pour tout $0\leq c < a$ l'équation $d_1 + d_2 = 2a$ équivaut à l'équation   $d_1 = a - ex$.

    On a utilisé les notations $d_i = \mathrm{d}(M,F_i)$, $M=(x,y)$, $F_1=(c,0)$,$F_2=(-c,0)$.

Par un raisonnement simple, la définition de la directrice pour un foyer est déduite ainsi qu'une autre construction de l'ellipse :

Il est démontré que l'ellipse se déduit du cercle de centre O et de rayon a par la transformation affine $T$ :  $(x,y)\longrightarrow (x, \frac{b}{a} y)$

Voici une figure illustrant la relation entre le point M sur l'ellipse et le point N sur le cercle, et l'angle E au centre de l'ellipse. On y fait figurer aussi l'angle $\phi$  des coordonnées polaires centrées au foyer $F_1$. La relation entre $\phi$  et E fera l'objet de commentaires détaillés ultérieurement, tant du point du vue théorique que numérique.

La deuxième partie est dédiée à la deuxième loi de Képler.
L' objectif dans cet article est d'illustrer la seconde loi de Kepler par des figures faites avec PSTricks et des calculs faits avec l'aide de xint. Il nous faut donc trouver un moyen de calculer l'aire balayée par le rayon $\overrightarrow{SM}$ ($S$ est le Soleil, $S = F_1$) lorsque $M$ va de
$M_1$ en $M_2$. La formule théorique :

Il est ainsi démontré dans le document que :
L'aire algébrique totale balayée par le rayon vecteur   $\overrightarrow{SM}$ pour $M$ allant (continûment) du sommet $A$ au point  $P = (a\cos E, b\sin E)$ est (pour tout $E\in R$):
    \begin{equation}
      A = \frac{ab}2\bigl(E - e\sin E\bigr)
    \end{equation}

La troisième partie est intitulée :
Ellipse et aire elliptique via les coordonnées polaires, où comment découvrir l’anomalie excentrique même en s’acharnant à vouloir tout faire avec l’anomalie vraie.
Si nous utilisons des coordonnées polaires centrées en le foyer $F_1$, alors tout bêtement $d_1 = r$ et $x = c + r \cos\phi$.
Or l'équation (caractérisation de l'ellipse par foyer et directrice) est $d_1 = a - ex$, qui équivaut à  $r = a - ec - er\cos\phi$ ou encore à $r = a(1 - e^2)/(1+e\cos\phi)$ et nous obtenons :
L'ellipse de demi-grand axe $a$ et d'excentricité $e$ a comme équation polaire, avec le centre des coordonnées en un foyer $F$ et $\phi\equiv\pi\pmod{2\pi}$ pour l'autre foyer $F'$ :
  \begin{equation}
    r = \frac{p}{1 + e\cos\phi}
  \end{equation}
Lorsque le centre des coordonnées est en $F$ avec l'autre foyer ayant argument $\phi \equiv0\pmod{2\pi}$, l'équation est :
  \begin{equation}
    r = \frac{p}{1 - e\cos\phi}
  \end{equation}
Ce cas de figure correspond à l'apogée ayant argument nul.
Les auteurs injectent cette équation polaire de l'ellipse dans l'élément d'aire $\frac{1}{2}r^2\mathrm{d} \phi$ et retrouvent (après un assez long calcul de primitives) la formule $\frac{ab}2(E - e \sin(E))$ pour l'aire balayée à partir du périgée, l'angle $E$ provenant de plusieurs changements de variables successifs. Ils signalent malicieusement « Il faut donc avoir fait une fois dans sa vie ce calcul brutal de $\frac12\int_0^\phi r^2 \mathrm{d} \phi$,... »..
 La partie 4 établit les équations reliant $E$ et $\phi$ :
\begin{equation}
  \cos E = \frac{a\cos \phi + c}{a + c \cos \phi}
\end{equation}

\begin{equation}
  \tan\frac E2 = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac\phi2
\end{equation}
Il est démontré que le graphe de $E$ comme fonction de $\phi$ est symétrique par rapport à la droite $E+\phi = \pi$.
Graphes de $E$ en fonction de $\phi$, pour différentes valeurs de l'excentricité on a indiqué sur la figure l'axe de symétrie $E + \phi =  \pi$.

La partie 5 montre que la relation entre $(O;E)$ et $(F_1;\phi)$ est symétrique :

 La partie 6 établit la relation entre les coordonnées angulaires aux deux foyers et en conclusion que la bissectrice intérieure au point $M$ aux droites $MF_1$ et $MF_2$ est  normale à la tangente en $M$ à l'ellipse.

 Une longue annexe est consacrée à des considérations sur des calculs numériques tels que celui de $E$ à partir de $\phi$ en comparant l'utilisation de Python et de xint.

Deux animations Gif :



vendredi 27 décembre 2019

Bonne Année 2020

Le fichier de calcul des images nécessite le package pst-crayon disponible sur ce blog avec de nombreux exemples.
Les fichiers sont disponibles ici :
http://manuel.luque.free.fr/2019-2020/2019-2020.zip
ou
2019-2020

Pour convertir le pdf en animation Gif :
convert  -density 150x150 -alpha remove  -delay 5 2019.20.pdf[1-1000]  -loop 0   2019.20.gif

Remarque : un clic sur l'image permet d'avoir seulement l'animation sur une page.