samedi 16 juin 2018

pst-contourplot : exemples 3

Encore des exemples avec la package pst-contourplot, les précédents concernaient les ovales de Descartes par Henri Bouasse :
Le package est dans le répertoire :
Les images, puis les listings :

\documentclass[pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-contourplot,multido}
\begin{document}
\begin{pspicture}[showgrid](-4,-4)(8,4)
\pstVerb{/ai 2 def}%
\psset{algebraic,ncell=150 80,a=0.1}
\multido{\n=-3.50+0.25,\r=0+0.0476}{21}{
\definecolor{Descartes}{hsb}{\r\space 1 1}
\psContourPlot[linecolor=Descartes]{-0.75*sqrt(x^2+y^2)+1.25*sqrt((x-ai)^2+y^2)+\n}}
\psline{<->}(0,4)(0,0)(8,0)
\uput[d](0,0){$O_1$}
\uput[l](0,3.75){$y$}
\uput[u](7.9,0){$x$}
\psdots(!ai 0)(0,0)
\uput[d](!ai 0){$O_2$}
\end{pspicture}

\begin{pspicture}[showgrid=false](-4,-4)(8,4)
\pstVerb{/ai 2 def}%
\psset{algebraic,ncell=150 80,a=0.1}
\multido{\n=-3.50+0.25,\r=0+0.0476}{21}{
\definecolor{Descartes}{hsb}{\r\space 1 1}
\psContourPlot[linecolor=Descartes,fillcolor=Descartes,Fill]{-0.75*sqrt(x^2+y^2)+1.25*sqrt((x-ai)^2+y^2)+\n}}
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psframe*[linecolor=cyan](-5,-5)(5,5)
\psset{unit=0.5}%
\psContourPlot[algebraic,ncell=200 200,a=0.1,linecolor=red,Fill,fillcolor=yellow,ReverseColors]{sin(x)*(sin(y)-1)*sin(y)*(sin(x)-1)}
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-6.28,-6.28)(6.28,6.28)
% http://www.ensiie.fr/~gacogne/courbes.pdf
\psframe*[linecolor=cyan](-6.28,-6.28)(6.28,6.28)
\psset{unit=0.5}%
\psContourPlot[algebraic,ncell=512 512,a=0.05,linecolor=red,Fill,fillcolor=yellow,ReverseColors]{(sin(y)*cos(x)-sin(x))*(sin(x)*cos(y)-sin(y))}
\end{pspicture}
\end{document}


Exemples avec pst-contourplot : les ovales de Descartes

 Suite de  :

pst-contourplot a été utilisé pour reproduire 3 images du livre d'Henri Bouasse et Émile Turrière : “Exercices et compléments de mathématiques générales”(1920), dont plusieurs paragraphes sont consacrés aux Ovales de Descartes et de Cassini.
Henri Bouasse (1866-1953) est l’auteur d’une série d’ouvrages publiés sous l’intitulé “Bibliothèque scientifique de l’ingénieur et du physicien” à la librairie Delagrave à Paris entre les années 1900 et 1934. Chaque livre, et parfois deux sont nécessaires, traite d’un sujet particulier comme “Gyroscopes et projectiles”(1923), “Phénomènes liés à la symétrie”(1931), “Vision et reproduction des formes et des couleurs”(1917). Cet ensemble d’ouvrages constitue l’encyclopédie la plus complète de la physique classique qui ait jamais été publiée. Chaque livre s’ouvre sur une préface d’Henri Bouasse dans laquelle celui-ci exprime ses idées sur l’enseignement des sciences. Ses propos y sont d’une telle franchise qu’on peut dire qu’Henri Bouasse n’était pas un adepte de la langue de bois ! J’avais mis en ligne quelques extraits sur le site :
où vous pourrez lire l’opinion d’Henri Bouasse sur le téléphone dans le document :
Si on regroupait toutes ces préfaces, on obtiendrait un volume d’un intérêt certain par la qualité de son écriture, la pertinence de ses remarques qui paraissent toujours très actuelles, son humour et l’acidité de ses observations.
Wikipedia donne la liste des ouvrages et le thème des préfaces :
Le texte et les images sont dans le répertoire :
Le fichier zippé contient tous les fichiers.  Celui sur les ovales de Descartes est ``Les-Ovales-de-Descartes.pdf et .tex''.
Les images extraites du pdf :



mardi 5 juin 2018

Le dessin de la spirale de Cornu avec PSTricks

Comment dessiner la spirale de Cornu de différentes manières.
Avec les équations paramétriques de la spirale, en utilisant celles d’Augustin Fresnel :
 Sur l'établissement de celles-ci :
On peut opérer de deux façons : soit en utilisant la méthode de Simpson, soit en se servant de tables pré-calculées comme celles de Milton Abramowitz et Irene A. Stegun :
ou de Jean-Paul Vignault :
Les 2 méthodes sont illustrées dans la documentation.
Une autre méthode consiste à se servir des équations différentielles et du package pst-ode :
Les fichiers sont dans le répertoire :
Le fichier zippé les contient tous. Toutes les références sont indiquées dans la documentation.
 On s'intéresse aussi à la représentation en 3D et aux extensions de la spirale de Cornu. Quelques images extraites de la documentation :
Dans son article “Études sur la diffraction ;méthode géométrique pour la discussion des problèmes de diffraction” publié dans le journal de Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences du 12 janvier 1874 :
Marie Alfred Cornu donne une méthode pour calculer et dessiner la spirale qui porte son nom et c’est son dessin qui est à la page (116), que j’ai essayé de reproduire ci-dessous.
Une animation, qui reproduit avec PSTricks celle du site  :
https://couleur-science.eu/?d=2016/04/10/22/01/41-la-spirale-deuler-ou-le-trace-des-routes

Le listing avec le package animate :
\documentclass[pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-plot}
\pstheader{pst-fresnel-simpson.pro}
\title{Rayon de courbure et cercle osculateur de la spirale de Cornu avec PSTricks et animate}
\date{07 juin 2018}
\author{manuel.luque27@gmail.com}
\begin{document}
\multido{\N=0.1+0.1}{31}{%
\begin{pspicture}(-1,-1)(10.5,10.5)
\psset{unit=10}
\psgrid[subgriddiv=10](0,0)(1,1)
\pstVerb{
/Pi 3.14159265359 def
/FresnelG {dup mul 2 div 180 mul cos} def
/FresnelF {dup mul 2 div 180 mul sin} def
/SpiraleCornuA {%
0 0.02 3.1 {/s exch def
    0 s {FresnelG} 1000 simpson
    0 s {FresnelF} 1000 simpson
    } for
} def
/SpiraleCornuB {%
0 0.01 \N\space {/s exch def
    0 s {FresnelG} 1000 simpson
    0 s {FresnelF} 1000 simpson
    } for
} def
/CentreCourbure {
                /nu exch def
                /pointSpirale { 0 nu {FresnelG} 1000 simpson
                                0 nu {FresnelF} 1000 simpson
                               } def
                /radius 1 Pi nu mul div def
                /AngleN nu dup mul 2 div 180 mul dup sin neg exch cos exch atan def
                /xC radius AngleN cos mul def
                /yC radius AngleN sin mul def
              } def}%
\listplot[linestyle=dotted,linewidth=2\pslinewidth,linecolor=blue]{SpiraleCornuA}
\listplot[linecolor=blue,linewidth=2\pslinewidth]{SpiraleCornuB}
\multido{\n=0.1+0.1}{9}{\uput[d](\n,0){\footnotesize\n}}
\multido{\n=0.1+0.1}{9}{\uput[l](0,\n){\footnotesize\n}}
\psdot[dotstyle=+](0.5,0.5)
\pstVerb{ \N\space CentreCourbure}%
\rput(! pointSpirale){\psdot(!xC yC)\psline(!xC yC)\pscircle[linecolor=red](!xC yC){!radius}}
\end{pspicture}}
\end{document}
Remarque :
Le fichier `pst-fresnel-simpson.pro' est dans le dossier indiqué au début.



mercredi 30 mai 2018

Les attracteurs de Lorenz, Rössler, Chua et Duffing avec PSTricks

Quatre exemples d'attracteurs réalisés avec le package pst-ode :
d'Alexander Grahn et les commandes \listplotHSB et \listplotIIID extension du package pst-solides3d créée pour les exemples en 3D.

Les fichiers sont dans le répertoire :
le fichier zippé les contient tous (pdf et .TeX)
Les paramètres et conditions initiales devront être adaptés à vos souhaits.
2 juin 2018 : ajout de l'option [showpoints]  permettant un tracé en 3D en pointillés.  L'exemple est inclus dans le fichier attracteur2.tex.
3 juin 2018 : modification des options de la commande \listplotIIID.
Les images extraites de la documentation :
LorenzXY
Lorenz3D


Rössler3D
 Chua3D

 
Duffing

dimanche 27 mai 2018

Exemples avec pst-contourplot - suite

Le numéro spécial 8 de juillet 1976 de la Revue du Palais de la Découverte, contient de multiples exemples de courbes, en voici encore une, celle de la page 125. Cette courbe fait suite aux exemples :
et à la documentation du package pst-contourplot :
le package, la documentation sont dans le répertoire :



 Le listing de ces 2 figures :

\documentclass[pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-contourplot,pst-plot}
\begin{document}
% Courbe déduite de droites et de cercles
% page 125 : Revue du Palais de la Découverte
% Courbes mathématiques
% Numéro spécial 8 . Juillet 1976
\begin{pspicture}(-4,-4)(4.1,4.1)
\psframe*[linecolor=cyan!50](-4,-4)(4.1,4.1)
\pstVerb{/Atan { /atan load stopped { pop pop 0 } if } def % return 0 if atan not known
         /RHO {x dup mul y dup mul add} def
         /THETA {y x Atan DegToRad} def}%
\psContourPlot[algebraic,ncell=160 160,a=0.05,linecolor=blue,Fill,fillcolor=orange]{RHO^3*(RHO-4)*(RHO-9)*(RHO-16)*sin(6*THETA)+1000}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-4,-4)(4.1,4.1)
\psframe*[linecolor=cyan!50](-4,-4)(4.1,4.1)

\pstVerb{/Atan { /atan load stopped { pop pop 0 } if } def % return 0 if atan not known
         /RHO {x dup mul y dup mul add} def
         /THETA {y x Atan DegToRad} def}%
\psContourPlot[algebraic,ncell=160 160,a=0.05,linecolor=blue,Fill,fillcolor=orange]{RHO^3*(RHO-1)*(RHO-4)*(RHO-9)*(RHO-16)*sin(8*THETA)+100}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}
\end{document}

La courbe suivante est à la page 126 du numéro spécial 8 (Juillet 1976) ‘Courbes mathématiques’ de la revue du Palais de la Découverte, elle s'intitule ``courbe déduite de quatre lemniscates''.
Les équations des lemniscates sont :
Ils sont représentés ci-dessous :
On représente ensuite la courbe définie par :
 Suivant les valeurs de K on obtient :
K=0

 K=-5

 K=5

Le listing de ces courbes :

\documentclass[pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-contourplot,pst-plot}
\title{Exemples pst-contourplot (suite-2)}
\date{27 mai 2018}
\author{manuel.luque27@gmail.com}
\begin{document}

% Courbe déduite de quatre lemniscates
% page 126 : Revue du Palais de la Découverte
% Courbes mathématiques
% Numéro spécial 8 . Juillet 1976

\def\lemniscateA{sqrt(((ai+x)^2+y^2)*(x^2+(ai-y)^2))-AI}
\def\lemniscateB{sqrt(((ai-x)^2+y^2)*(x^2+(ai-y)^2))-AI}
\def\lemniscateC{sqrt(((ai-x)^2+y^2)*(x^2+(ai+y)^2))-AI}
\def\lemniscateD{sqrt(((ai+x)^2+y^2)*(x^2+(ai+y)^2))-AI}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4.1,4.1)
\pstVerb{/ai 2 def /AI ai dup mul 2 div def}%
\psContourPlot[algebraic,ncell=80 80,a=0.1,linecolor=blue]{\lemniscateA}
\psContourPlot[algebraic,ncell=80 80,a=0.1,linecolor=red]{\lemniscateB}
\psContourPlot[algebraic,ncell=80 80,a=0.1,linecolor=green]{\lemniscateC}
\psContourPlot[algebraic,ncell=80 80,a=0.1,linecolor=cyan]{\lemniscateD}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-4,-4)(4.1,4.1)
\pstVerb{/ai 2 def /AI ai dup mul 2 div def}%
\psContourPlot[algebraic,ncell=150 150,a=0.04,linecolor=blue,Fill,fillcolor=orange]{(\lemniscateA)*(\lemniscateB)*(\lemniscateC)*(\lemniscateD)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-4,-4)(4.1,4.1)
\pstVerb{/ai 2 def /AI ai dup mul 2 div def}%
\psContourPlot[algebraic,ncell=150 150,a=0.04,linecolor=blue,Fill,fillcolor=orange]{(\lemniscateA)*(\lemniscateB)*(\lemniscateC)*(\lemniscateD)-5}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(-4,-4)(4.1,4.1)
\pstVerb{/ai 2 def /AI ai dup mul 2 div def}%
\psContourPlot[algebraic,ncell=150 150,a=0.04,linecolor=blue,Fill,fillcolor=orange]{(\lemniscateA)*(\lemniscateB)*(\lemniscateC)*(\lemniscateD)+5}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}
\end{document}

Courbes ornementales - partie 2

Le numéro spécial 8 de la revue du Palais de la Découverte (juillet 1976) contient une autre série de courbes ornementales obtenues par transformations complexes (par des logarithmes, argument de tangente hyperbolique, cosinus complexe de Jacobi). Ces courbes ont été étudiées, d’après le rédacteur de la revue, Jean Brette, par le mathématicien japonais M.K. Kurokawa. Mais pour ce mathématicien aussi, il m’a été impossible de trouver une trace de sa biographie et de ses travaux.
Toutes ces courbes ont pour point de départ un limaçon de Pascal qui subit, avec une nouvelle origine, la transformation complexe : U = u^(1/5) , ensuite on fait subir aussi à la courbe obtenue une autre transformation complexe, avec une nouvelle origine, par exemple avec la courbe étudiée ci-dessous (page 151) : W = ln w. Le choix des nouvelles origines n’est pas précisé, de même que les caractéristiques du limaçon, il est seulement écrit pour le limaçon : « Si l’on transforme à l’aide de la transformation complexe Z = z^2 un cercle par rapport à un point autre que l’origine on obtient un limaçon de Pascal.»
Les différentes étapes à partir de ce limaçon de Pascal :
sont décrites dans le document "courbes-ornementales-2.pdf" "courbes-ornementales-2.tex" situé dans le répertoire contenant les courbes de l'article précédent :
Le fichier zippé contient tous les fichiers.
La courbe obtenue :
et une animation obtenue en faisant varier un paramètre de la nouvelle origine. Dans la documentation, l'animation est réalisée avec le package animate.
Pour ceux qui ne possèdent pas le numéro spécial 8 de la revue du Palais de la Découverte (juillet 1976)  et voudraient essayer de représenter ces courbes, voici les images des pages correspondantes :


samedi 19 mai 2018

Courbes ornementales avec pst-ode

La revue du Palais de la Découverte de juillet 1976 (numéro spécial 8) est dédiée aux “Courbes Mathématiques”, elle contient un chapitre, à partir de la page 117, qui traite de courbes ornementales. Parmi celles-ci, dix définies par des équations différentielles ont été étudiées, d’après la revue, par un mathématicien suédois M.G. Gyllström dont je n’ai pas trouvé la trace ni de sa biographie ni de ses travaux. La revue PI MU EPSILON JOURNAL de 1953 donne 4 exemples de ces courbes sans plus de renseignement supplémentaire que “Courtesy of SCRIPTA MATHEMATICA” dont les archives ne semblent pas accessibles.
Les fichier sources .tex et .pdf  sont accessibles à cette adresse :
Ce numéro du revue du Palais de la Découverte n’étant plus disponible, je mets en ligne une copie de ces courbes à la fin de cette page. Les images sont incluses dans le fichier zippé.
Le tracé des 3 courbes suivantes utilise le package ‘https://ctan.org/pkg/pst-ode’ d’Alexander Grahn.

Le tracé est incomplet, il a nécessité 3 étapes. Une quatrième étape nécessitant de placer les conditions initiales dans les espace incomplets n’a pas donné de bons résultats
Pour les autres courbes dont les images extraites de la revue du Palis de la Découverte sont affichées ci-après, leur tracé me paraît très délicat, tout au moins très pointilleux : trouver pour chaque région le point de départ avec des conditions initiales correctes et donc prévoir de multiples étapes. Si un lecteur a réussi à compléter la figure précédente et à tracer une ou plusieurs des autres courbes, ce serait sympathique de sa part de me le faire savoir afin de partager ses résultats.





Voici une proposition pour calculer et tracer ces courbes. Par exemple celles ci-dessus d'équation :
On peut avoir une idée de la cartographie des courbes en traçant un vecteur tangent à celles-ci en des points placés sur un quadrillage de l’écran.
Soit M(x, y) un point. Le vecteur unité tangent en ce point a pour coordonnées :
 On cherche les limites des différentes parties de la figure grâce aux discontinuités qui correspondent à y′ infini ce sont les côtés verticaux  et y'=0 ce sont les côtés horizontaux. [0, 1.02051, 2.12108,pi ]
Les cases ne sont pas toutes rigoureusement identiques, ce qui complique le travail, car chaque case nécessitera des calculs différents, mais on peut maintenant choisir les conditions initiales pour tracer les courbes. Voici une ébauche, qui est loin de représenter l'idée que l'on se fait de courbes ornementales !
 Les fichiers correspondant à cette partie (courbe-ornementale-167.tex et courbe-ornementale-167.pdf) sont dans le dossier indiqué au début que je rappelle :