lundi 24 octobre 2016

Courbes de Koch avec PSTricks - version 2

Cette version permet de tracer les courbes avec les couleurs de l'arc-en-ciel avec l'option HSB=true activée par défaut.
Les nouveaux fichiers :



Voici quelques images extraites de la documentation avec cette option.


dimanche 23 octobre 2016

Les fractales avec PSTricks

Dans l'article précédent : http://pstricks.blogspot.fr/2016/10/courbes-de-koch-avec-pstricks.html 
je disais : ``Les courbes (fractales) de Koch ont été traitées par d’innombrables auteurs et à peu près avec tous les langages informatiques connus, mais je ne pense pas que qu’elles aient été dessinées avec PSTricks encore''. Je me trompais. Il existe un très joli package pst-fractal du à Herbert Voss qui permet de représenter les principaux types de fractales : (triangle de Sierpinski, Julia et Mandelbrot, fougère, flocons de Koch, cercles d'Appolonius, arbre). Il est disponible sur le serveur du CTAN :


En voici une image extraite de la documentation :





vendredi 21 octobre 2016

Courbes de Koch avec PSTricks





Les fichiers : package (pst-koch) et documentation peuvent être téléchargés sur l'un des liens suivants :

Les courbes (fractales) de Koch ont été traitées par d’innombrables auteurs et à peu près avec tous les langages informatiques connus, mais je ne pense pas que qu’elles aient été dessinées avec PSTricks encore. C’est pour combler ce petit manque, si manque il y a, que j’ai écrit une commande \psKoch à cet effet. Robert Dony dans son livre “Graphisme dans le plan et dans l’espace” paru en 1991 aux éditions Masson, traite la célèbre courbe de Von Koch de façon très complète et très variée par les nombreux motifs et bases qu’il propose pour les variantes de cette courbe. D’un point de vue théorique il établit toutes les relations géométriques utiles.
Voici une reproduction(avec PSTricks) de la figure servant de support à sa démonstration :
 L'essentiel de sa démonstration est incluse dans la documentation.
Quelques images obtenues avec la commande \psKoch extraites de la documentation :




samedi 15 octobre 2016

L’attracteur de Hénon avec PSTricks

Robert Dony est l’auteur de livres remarquables sur le graphisme dans le plan et dans l’espace et il est regrettable que ces livres ne soient plus édités car ils sont riches en exemples et d’une grande qualité pédagogique. Par exemple l’algorithme du peintre a servi de référence au package pst-solides3d et la représentation des surfaces par des lignes au document :
 http://pstricks.blogspot.fr/2015/03/representer-une-surface-par-des-lignes_25.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/03/representer-une-surface-par-des-lignes.html
Voici la lumineuse introduction de Robert Dony pour le chapitre sur l’attracteur de Hénon :
« Une fois de plus c’est Poincaré qui a mis en évidence la complexité des mouvements des planètes que les lois simples de la mécanique céleste ne montrent généralement pas immédiatement. Un exemple typique est la trajectoire de la Terre autour du soleil dont tout le monde s’accorde à dire qu’elle est périodique de période un an. Cela est vrai en première approximation au sens de Képler mais ne l’est plus si on tient compte de toutes les perturbations planétaires ! Or les trajectoires périodiques sont très utiles pour au moins deux raisons, la première étant qu’on sait les calculer de façon précise et la seconde dans le fait qu’on sait décrire de façon convenable la situation autour d’elles. Pour décrire aisément la situation autour d’une trajectoire périodique on procède comme suit. Soit T la trajectoire périodique de référence que l’on coupe par un plan perpendiculaire et O le point de percée de cette trajectoire avec le plan. Soit également T’ une trajectoire voisine de T, celle-ci
rencontrera le plan en une infinité de points A0,A1, A2. . . voisins du point O si T’ n’est pas périodique et en nombre fini de points si T’ est périodique. Si l’on substitue à la trajectoire T’ la suite des points d’impact avecle plan on remplace un problème de trajectoire dans l’espace complexe par une représentation dans le plan qui est plus simple.
[. . . ]
La suite des points d’impact A0, A1, A2. . . nous permettra de visualiser la trajectoire dans l’espace issue du point A0. Si l’on constate que les points A0 et An coïncident cela signifiera que la trajectoire est N-périodique.»


« L’astronome Michel Hénon a décrit en 1969 un système dynamique qui illustre parfaitement ce qui précède :
Cet exemple simple et célèbre a l’avantage de ne pas nécessiter le calcul de la trajectoire dans l’espace entre deux impacts car ce calcul est déjà contenu dans les équations de Michel Hénon ! »
La commande \psHenon[options] comprend différentes options décrites dans la documentation. 


Quelques images obtenues avec cette commande :

Les réalisations sur ce sujet sont très nombreuses, j'ai retenu en particulier celles de  :

Paul Bourke qui code son exemple en C :


Sur le site suivant, on trouve un code en Mathematica très élaboré, le nom de l'auteur n'est pas mentionné :

Pascale et Vincent Bourges proposent des figures codées avec Maple, avec des explications très détaillées, un superbe travail :




lundi 3 octobre 2016

Les surfaces de Bézier avec PSTricks

La commande \psBezierSurface[option,controlpoints={points de contrôle}] est une extension du package pst-solides3d qui permet de tracer la surface de Bézier définie par les 16 points de contrôle correspondants.
Les options de la commande sont définies dans la documentation incluse dans l'archive, qui contient les fichiers du package pst-beziersurface  et les exemples :
Quelques images :

Quelques exemples célèbres :
Le modèle de la théière créé en 1975 par Martin Newell :
Uniquement les polygones de contrôle :

La théière modélisée par les surfaces de Bézier :
L'éléphant :
La tasse de thé. Les couleurs ont été inversées dans la deuxième image avec The Gimp.

La cuillère à thé :
Les données ont été obtenues sur la page de John Burkardt :
https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/data/bezier_surface/bezier_surface.html
Une version de la théière avec le fond de la théière (il n'y est pas dans la première version incluse dans la documentation).
Cette version est incluse dans le fichier zippé.(5 octobre 2015)