samedi 15 octobre 2016

L’attracteur de Hénon avec PSTricks

Robert Dony est l’auteur de livres remarquables sur le graphisme dans le plan et dans l’espace et il est regrettable que ces livres ne soient plus édités car ils sont riches en exemples et d’une grande qualité pédagogique. Par exemple l’algorithme du peintre a servi de référence au package pst-solides3d et la représentation des surfaces par des lignes au document :
 http://pstricks.blogspot.fr/2015/03/representer-une-surface-par-des-lignes_25.html
http://pstricks.blogspot.fr/2015/03/representer-une-surface-par-des-lignes.html
Voici la lumineuse introduction de Robert Dony pour le chapitre sur l’attracteur de Hénon :
« Une fois de plus c’est Poincaré qui a mis en évidence la complexité des mouvements des planètes que les lois simples de la mécanique céleste ne montrent généralement pas immédiatement. Un exemple typique est la trajectoire de la Terre autour du soleil dont tout le monde s’accorde à dire qu’elle est périodique de période un an. Cela est vrai en première approximation au sens de Képler mais ne l’est plus si on tient compte de toutes les perturbations planétaires ! Or les trajectoires périodiques sont très utiles pour au moins deux raisons, la première étant qu’on sait les calculer de façon précise et la seconde dans le fait qu’on sait décrire de façon convenable la situation autour d’elles. Pour décrire aisément la situation autour d’une trajectoire périodique on procède comme suit. Soit T la trajectoire périodique de référence que l’on coupe par un plan perpendiculaire et O le point de percée de cette trajectoire avec le plan. Soit également T’ une trajectoire voisine de T, celle-ci
rencontrera le plan en une infinité de points A0,A1, A2. . . voisins du point O si T’ n’est pas périodique et en nombre fini de points si T’ est périodique. Si l’on substitue à la trajectoire T’ la suite des points d’impact avecle plan on remplace un problème de trajectoire dans l’espace complexe par une représentation dans le plan qui est plus simple.
[. . . ]
La suite des points d’impact A0, A1, A2. . . nous permettra de visualiser la trajectoire dans l’espace issue du point A0. Si l’on constate que les points A0 et An coïncident cela signifiera que la trajectoire est N-périodique.»


« L’astronome Michel Hénon a décrit en 1969 un système dynamique qui illustre parfaitement ce qui précède :
Cet exemple simple et célèbre a l’avantage de ne pas nécessiter le calcul de la trajectoire dans l’espace entre deux impacts car ce calcul est déjà contenu dans les équations de Michel Hénon ! »
La commande \psHenon[options] comprend différentes options décrites dans la documentation. 


Quelques images obtenues avec cette commande :

Les réalisations sur ce sujet sont très nombreuses, j'ai retenu en particulier celles de  :

Paul Bourke qui code son exemple en C :


Sur le site suivant, on trouve un code en Mathematica très élaboré, le nom de l'auteur n'est pas mentionné :

Pascale et Vincent Bourges proposent des figures codées avec Maple, avec des explications très détaillées, un superbe travail :




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