Les deux méthodes permettant de déterminer les équations paramétriques des sections coniques aboutissent à deux systèmes apparemment très différents. Je reprends l'un des exemples déjà étudiés.
Pour la section elliptique du cône de demi-angle au sommet égal à 45°, coupé par le plan d'équation :
on obtient les deux systèmes d'équations :
Dont voici les tracés correspondants :
Je me pose la question suivante : comment expliquer que ces deux systèmes d'équations apparemment si dissemblables décrivent exactement la même courbe ? Il doit exister un moyen, une méthode ou une astuce permettant de passer de l'un à l'autre. On peut évidemment vérifier que les coordonnées de chacun des deux systèmes vérifient respectivement les équations du cône et du plan, mais imaginons que l'on ignore l'origine des ces équations paramétriques : elle sont là et je vois qu'elles dessinent la même courbe qui semble être une ellipse, puis-je découvrir un procédé permettant de passer d'un système à l'autre ?
En clair quelle est la relation existant entre $t_1$ et $t_2$ ?
Dans l'exemple ci-dessus, la relation est facile à trouver et la vérification ne pose pas de difficultés (merci à Jean-Gabriel Luque qui m'a indiqué la méthode).
Vous trouverez des calculs plus détaillés dans le document (calculs_intersection.pdf) (calculs_intersection.tex)
ainsi que dans cette étude (un peu plus ancienne), dont les fichiers se trouvent dans l'archive zip :
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