Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un de foyers. Leur vitesse est telle que le rayon vecteur les joignant au Soleil balaie des aires proportionnelles au temps (loi des aires).
Les résultats seront généralisés pour des coniques quelconques dans un prochain document.
Les fichiers sources sont à télécharger sur la page dédiée à xint-polexpr :
ou bien, avec le pdf, ici :
Pour tout $0\leq c < a$ l'équation $d_1 + d_2 = 2a$ équivaut à l'équation $d_1 = a - ex$.
On a utilisé les notations $d_i = \mathrm{d}(M,F_i)$, $M=(x,y)$, $F_1=(c,0)$,$F_2=(-c,0)$.
Par un raisonnement simple, la définition de la directrice pour un foyer est déduite ainsi qu'une autre construction de l'ellipse :
Voici une figure illustrant la relation entre le point M sur l'ellipse et le point N sur le cercle, et l'angle E au centre de l'ellipse. On y fait figurer aussi l'angle $\phi$ des coordonnées polaires centrées au foyer $F_1$. La relation entre $\phi$ et E fera l'objet de commentaires détaillés ultérieurement, tant du point du vue théorique que numérique.
La deuxième partie est dédiée à la deuxième loi de Képler.
L' objectif dans cet article est d'illustrer la seconde loi de Kepler par des figures faites avec PSTricks et des calculs faits avec l'aide de xint. Il nous faut donc trouver un moyen de calculer l'aire balayée par le rayon $\overrightarrow{SM}$ ($S$ est le Soleil, $S = F_1$) lorsque $M$ va de
$M_1$ en $M_2$. La formule théorique :
Il est ainsi démontré dans le document que :
L'aire algébrique totale balayée par le rayon vecteur $\overrightarrow{SM}$ pour $M$ allant (continûment) du sommet $A$ au point $P = (a\cos E, b\sin E)$ est (pour tout $E\in R$):
\begin{equation}
A = \frac{ab}2\bigl(E - e\sin E\bigr)
\end{equation}
Ellipse et aire elliptique via les coordonnées polaires, où comment découvrir l’anomalie excentrique même en s’acharnant à vouloir tout faire avec l’anomalie vraie.
Si nous utilisons des coordonnées polaires centrées en le foyer $F_1$, alors tout bêtement $d_1 = r$ et $x = c + r \cos\phi$.
Or l'équation (caractérisation de l'ellipse par foyer et directrice) est $d_1 = a - ex$, qui équivaut à $r = a - ec - er\cos\phi$ ou encore à $r = a(1 - e^2)/(1+e\cos\phi)$ et nous obtenons :
L'ellipse de demi-grand axe $a$ et d'excentricité $e$ a comme équation polaire, avec le centre des coordonnées en un foyer $F$ et $\phi\equiv\pi\pmod{2\pi}$ pour l'autre foyer $F'$ :
\begin{equation}
r = \frac{p}{1 + e\cos\phi}
\end{equation}
Lorsque le centre des coordonnées est en $F$ avec l'autre foyer ayant argument $\phi \equiv0\pmod{2\pi}$, l'équation est :
\begin{equation}
r = \frac{p}{1 - e\cos\phi}
\end{equation}
Ce cas de figure correspond à l'apogée ayant argument nul.
Les auteurs injectent cette équation polaire de l'ellipse dans l'élément d'aire $\frac{1}{2}r^2\mathrm{d} \phi$ et retrouvent (après un assez long calcul de primitives) la formule $\frac{ab}2(E - e \sin(E))$ pour l'aire balayée à partir du périgée, l'angle $E$ provenant de plusieurs changements de variables successifs. Ils signalent malicieusement « Il faut donc avoir fait une fois dans sa vie ce calcul brutal de $\frac12\int_0^\phi r^2 \mathrm{d} \phi$,... »..
La partie 4 établit les équations reliant $E$ et $\phi$ :
\begin{equation}
\cos E = \frac{a\cos \phi + c}{a + c \cos \phi}
\end{equation}
\begin{equation}
\tan\frac E2 = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac\phi2
\end{equation}
Il est démontré que le graphe de $E$ comme fonction de $\phi$ est symétrique par rapport à la droite $E+\phi = \pi$.
La partie 5 montre que la relation entre $(O;E)$ et $(F_1;\phi)$ est symétrique :
La partie 6 établit la relation entre les coordonnées angulaires aux deux foyers et en conclusion que la bissectrice intérieure au point $M$ aux droites $MF_1$ et $MF_2$ est normale à la tangente en $M$ à l'ellipse.
Deux animations Gif :
