Dans un superbe article `Wheels on Wheels on Wheels-Surprising Symmetry', très joliment illustré :
https://scholarcommons.scu.edu/math_compsci/5/
Frank A. Farris raconte comment en concevant un exercice pour ses étudiants, il a dessiné la courbe définie par l'équation vectorielle :
\[
(x,y)=\big(\cos(t), \sin(t)\big) + \frac{1}{2} \big(\cos(7t), \sin(7t)\big) +\frac{1}{3}\big(\sin(17t), \cos(17t)\big)
\]
Frank A. Farris remarque que cette courbe a une symétrie d'ordre 6, un fait, d'après lui, que l'on ne devinerait probablement pas en regardant la formule. L'introduction de la notation complexe :
\[
f(t)=x(t)+iy(t)=\mathrm{e}^{it}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{7it}+\frac{i}{3}\mathrm{e}^{17it}
\]
va lui permettre de démontrer, plus généralement, que la courbe résultante présentera une symétrie d'ordre $m$ si les trois fréquences sont congruentes (mod $m$).
Frank A. Farris propose un autre bel exemple, qui fait l'objet d'un fichier qui lui est dédié.
\[
f(t)=x(t)+iy(t)=\mathrm{e}^{-2it}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{5it}+\frac{i}{4}\mathrm{e}^{19it}
\]
et dont voici l'animation :
Créer la plus belle courbe par le choix de $m$, des fréquences et des coefficients, le nombre de termes n'étant pas limité à 3, pourrait faire l'objet d'un concours, une animation des roues est un plus.
Le hors-série 81 de la revue tangente : https://www.tangente-mag.com est intitulé ``Les distances''. Dans ce numéro très riche en articles, je me suis intéressé à deux d'entre-eux afin de voir s'il était possible de réaliser les illustrations qui étaient proposées avec PSTricks.
Les deux articles sont de Robert Ferréol, qui est aussi l'auteur du renommé site :
Le premier ``Des boules dans le plan'' est la généralisation de la notion de distance dans le plan :
« Ce qu'on appelle boule unité(fermée), notée $\mathrm{B}_p(\mathrm{O},1)$ et l'ensemble des points dont la distance à l'origine $\mathrm{O}(0,0)$ est inférieure ou égale à 1, ce qui correspond à la partie du plan limité par la courbe d'équation $|x|^p+|y|^p=1$ appelée courbe de Lamé. »
https://mathcurve.com/courbes2d/lame/lame.shtml
Voici pour $p\in \{0,25; 0,5; 1 ; 2 ; 5 ; 30\}$
La seconde partie de son article, sous-titrée ``Des polynômes réguliers'' :
« Qu'obtient-on si l'on considère des combinaisons linéaires des coordonnées $x$ et $y$ ? » ne pose pas non plus de problème insoluble à leurs réalisations avec PSTricks.
Le deuxième article de Robert Ferréol est l'extension du premier dans $\mathbb{R}^3$ :
«
Si $p$ est un réel strictement positif, on définit la norme $\mathrm{N}_p$ du vecteur de $\mathbb{R}^3$ par $N(x,y,z)=\big(|x|^p+|y|^p+|z|^p\big)^{1/p}$
»
Les résultats sont ici moins convaincants par rapport à ceux de l'article réalisés avec Mathematica et/ou PovRay~? Mais restent acceptables :
\[|x|+|y|+|z|=1\]
\[\big(|x|^{2/3}+|y|^{2/3}+|z|^{2/3}\big)^{3/2}=1\]
\[
\text{max}\left(2|x|,2|y|,2|z|,|x+y+z|,|-x+y+z|,|x-y+z|,|x+y-z|\right)\leq 1
\]
Les fichiers sont ici :
http://manuel.luque.free.fr/Nice-curves-with-PStricks/Nice-curves-with-PStricks.zip
ou
