Équations paramétriques des sections coniques : compléments

Deux façons de trouver les équations paramétriques des sections coniques. On se limite dans cette étude à un cas particulier : la section parabolique.
Le document (calculs_intersection.pdf) est dans l'archive:

sections_coniques.zip

Méthode utilisant les équations paramétriques du bicône :

\begin{center}
 \begin{pspicture}(-4,-7)(4,7)
        \psset{lightsrc=viewpoint}
        \psset{viewpoint=100 20 30 rtp2xyz,Decran=100}
        \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,linecolor={[rgb]{0.72 0.72 0.5}}](0,0,-3)
        \psSolid[object=cone,h=3,r=3,
                 fillcolor={[rgb]{0.5 0.72 0.5}},incolor=yellow!50,
                 grid,
                 ngrid=9 30](0,0,-3)
\psset{solidmemory}%
        \psSolid[object=cone,h=3,r=3,
                 rm=0,
                 plansepare={[0 0.707 0.707 -1.30]},
                 name=ConeB,
                 RotY=180,
                 ngrid=9 30,
                 action=none](0,0,3)%
        \psSolid[object=load,
                 load=ConeB1,
                 hollow,rm=0,
                 grid,
                 fillcolor={[rgb]{0.5 0.72 0.5}},incolor=yellow!50]%
        \psSolid[object=plan,definition=equation,
                 args={[0 0.707 0.707 -1.3] 180},
                 base=-4 4 -8 4,
                 planmarks,showBase,
                 opacity=.5,
                 fillcolor=green!20]%
\pstVerb{/omega 45 def /H 3 def
         /t_1 1.3 H omega sin mul sub H div omega cos div Arcsin def
         /t_2 pi t_1 sub def}%

\defFunction[algebraic]{parabole}(t)%

        {1.3*cos(t)/(0.707+0.707*sin(t))}

        {1.3*sin(t)/(0.707+0.707*sin(t))}

        {1.3/(0.707+0.707*sin(t))}

        \psSolid[object=courbe,

                r=0,

%                range=-0.4 3.54,

                range=t_1 t_2,

                linecolor=blue,

          linewidth=2\pslinewidth,

               function=parabole]

\axesIIID(0,0,1.3)(5,5,7)
        \end{pspicture}
    \end{center}

 Méthode utilisant l'équation cartésienne du bicône :

\begin{center}
 \begin{pspicture}(-4,-7)(4,7)
        \psset{lightsrc=viewpoint}
        \psset{viewpoint=100 15 15 rtp2xyz,Decran=100}
        \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,linecolor={[rgb]{0.72 0.72 0.5}}](0,0,-3)
        \psSolid[object=cone,h=3,r=3,
                 fillcolor={[rgb]{0.5 0.72 0.5}},incolor=yellow!50,
                 grid,
                 ngrid=9 30](0,0,-3)
\psset{solidmemory}%
        \psSolid[object=cone,h=3,r=3,
                 rm=0,
                 plansepare={[0 0.707 0.707 -1.30]},
                 name=ConeB,
                 RotY=180,
                 ngrid=9 30,
                 action=none](0,0,3)%
        \psSolid[object=load,
                 load=ConeB1,
                 hollow,rm=0,
                 grid,
                 fillcolor={[rgb]{0.5 0.72 0.5}},incolor=yellow!50]%
        \psSolid[object=plan,definition=equation,
                 args={[0 0.707 0.707 -1.3] 180},
                 base=-4 4 -8 4,
                 planmarks,showBase,
                 opacity=.5,
                 fillcolor=green!20]%

\defFunction[algebraic]{parabole}(t)%

        {t}

        {-0.272*t^2+0.919}

        {0.272*t^2+0.919}

        \psSolid[object=courbe,

                r=0,

                range=-2.766 2.766,

                linecolor=red,

                linewidth=2\pslinewidth,

               function=parabole]

        \axesIIID(0,0,1.3)(5,5,7)
        \end{pspicture}
    \end{center}

On notera les différences entre les équations et les limites du paramètre, mais que les courbes obtenues sont absolument identiques !