Traîneau

Dans le cours de Mécanique de Henri Bouasse publié par la librairie Ch. Delagrave à Paris en 1910, on trouve page 207, ce petit problème, intitulé ``Traîneau'', que je reproduis ci-dessous :

Un traîneau de poids $P$ est remorqué sur un plan incliné (faisant avec l'horizon un angle $\alpha$, et dont le coefficient de frottement est $k=\tan \varphi$) par une force $R$ faisant avec le plan incliné l'angle $\beta$.
On demande les conditions d'équilibre.
Voici sa solution :
La pression normale du traîneau sur le plan incliné est :
$$P\cos \alpha-R\sin \beta$$
La composante utile de la traction est $R\cos\beta$. On a :
$$R\cos\beta=P\sin\alpha+k(P\cos\alpha-R\sin\beta)$$
$$R=P\dfrac{\sin\alpha+k\cos\alpha}{\cos\beta+k\sin\beta}=P\frac{\sin(\alpha+\varphi)}{cos(\beta-\varphi)}$$
$R$ est minimum quand le dénominateur est maximum ; il vient alors :
$$\beta=\varphi\ ,\quad R=P\sin(\alpha+\varphi)\ ;$$
on doit tirer dans une direction faisant l'angle $\varphi$ avec le plan incliné ; tout se passe comme si l'angle du plan incliné était augmenté de $\varphi$.
Pour le tirage horizontal, on a :
$$\beta=-\alpha\ , \quad R=P\tan(\alpha+\varphi)\ ;$$
la force nécessaire au tirage devient infinie pour $\alpha+\varphi=\pi/2$ ; il y a arc-boutement.

Les fichiers sont téléchargeables ici : Traîneau