Projection stéréographique inverse

Avec une sphère de rayon unité. $\Omega$ est le pôle nord. Le plan horizontal de projection est tangent au pôle sud.

\[
O \begin{pmatrix}
  0 \\
  0 \\
  0
 \end{pmatrix}
 \quad
 \Omega \begin{pmatrix}
  0 \\
  0 \\
  1
 \end{pmatrix}
  \quad
 A \begin{pmatrix}
  x \\
  y \\
  z
 \end{pmatrix}
 \quad x^2+y^2+z^2=1
  \quad
 B \begin{pmatrix}
  X \\
  Y \\
  -1
 \end{pmatrix}
  \quad
\overrightarrow{ \Omega A} \begin{pmatrix}
  x \\
  y \\
  z-1
 \end{pmatrix}
  \quad
\overrightarrow{ \Omega B} \begin{pmatrix}
  X \\
  Y \\
  -2
 \end{pmatrix}
\]
\[
\overrightarrow{\Omega A}=k\overrightarrow{\Omega B} \Longleftrightarrow
\begin{pmatrix}
  x \\
  y \\
  z-1
 \end{pmatrix}
 =k
 \begin{pmatrix}
  X \\
  Y \\
  -2
 \end{pmatrix}
\]

Le problème posé est le suivant : on donne les coordonnées d'un point $B$ du plan $z=-1$, il faut en déduire les coordonnées du point $A$ de la sphère $x=f(X,Y);y=g(X,Y);z=h(X,Y)$.
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
  x=kX\\
  y=kY\\
  1-z=2k
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\begin{array}[m]{l}
  x^2+y^2=k^2(X^2+Y^2)\\
  k=\dfrac{1-z}{2}
\end{array}
\]
Sachant que $x^2+y^2=1-z^2$ on a, en remplaçant :
\[
1-z^2=\frac{(1-z)^2}{4}(X^2+Y^2)\Longrightarrow 4(1+z)=(1-z)(X^2+Y^2)
\]
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
  x=\dfrac{4X}{X^2+Y^2+4}\\[1em]
  y=\dfrac{4Y}{X^2+Y^2+4}\\[1em]
  z=\dfrac{X^2+Y^2-4}{X^2+Y^2+4}
\end{array}
\right.
\]

Les exemples suivants, extraits de la documentation, sont réalisés avec la commande 

\psInverseStereographicProjection[options] dont l'utilisation et les options sont dcrites dans la documentation.

Les fichiers sont téléchargeables ici :

  http://manuel.luque.free.fr/ProjectionStereographiqueInverse/psInverseStereographicProjection.zip

ou ici sur Drive :

Projection stéréographique inverse

 

Vue de dessus, dans l'axe $Oz$, en se plaçant très haut :

Vue de dessus, en positionnant la caméra au pôle nord $(z=1$).