Le Nombre Plastique (2)

C'est un supplément à l'article :

http://pstricks.blogspot.com/2021/07/le-nombre-plastique-avec-xint-et-pst.html 

Nous avions pour calculer $\Psi$ proposé 4 méthodes :

- à partir de cette expression

 $$\Psi=
\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots}}}}}}}
$$

 avec xintexpr

-  en résolvant l'équation $x^3-x-x=0$.dont $\Psi$ est la racine réelle. Pour cela, sur la suggestion de Jürgen Gilg c'est le package polexpr qui a été utilisé, et Jean-François Burnol en a développé l'idée, son utilisation est très détaillée et on peut obtenir bien plus de renseignements que de taper par exemple : Solve[x^3-x-x1==0,x]  sur Mathematica, le calcul étant fait in-situ, le document se compose en harmonie avec la succession des calculs.

- à partir de la relation de récurrence linéaire :

\[
u_0=1\ ;\ u_1=1\ ;\ u_2=1\ ;\ u_n=u_{n-2}+u_{n-3}
\]

en utilisant xintexpr

- à partir de la relation de récurrence quadratique :
On considère  la suite $(u_n)$ telle que $u_0$, $u_1$,$u_2$ valent $0$, $0$, $1$. Les
formules de récurrence suivantes pour trois valeurs d'indices consécutifs, l'indice milieu étant une puissance de $2$ s'écrivent :

\begin{align*}
  u_{1+2^{n+1}} &= 2 u_{1+2^n} (u_{2^n} + u_{-1+2^n}) + u_{2^n}^2\\
  u_{2^{n+1}} &= u_{1+2^n}^2 + u_{2^n}^2 + 2 u_{2^n}u_{-1+2^n} \\
  u_{-1+2^{n+1}} &= 2u_{1+2^n}u_{2^n} + u_{-1+2^n}^2
\end{align*}

Pour la démonstration de ces relations, consultez le document  "padovan-jfbu.pdf" intitulé "CALCUL PAR EXPONENTIATION RAPIDE DE TERMES DE LA SUITE DITE DE PADOVAN" inclus dans l'archive .zip. Comme exemple, cette façon a été utilisée pour calculer 6000 chiffres après la virgule.

Cette fois-ci Jean-François Burnol propose une comparaison sur la rapidité des calculs entre la récurrence linéaire et la quadratique.
Dans son document "PadovanLinVsQuad.pdf" (Le nombre plastique) 

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/

où comme toujours à son habitude, calculs et commentaires se complètent, il apparaît que les calculs par récurrence quadratique sont d'une rapidité qui surpasse ceux par récurrence  linéaire.
Par exemple pour 1000 chiffres :
- Linéaire : 14.659s
- Quadratique : 0.435s
avec le processeur : Intel(R) Core(TM) i5-4440 CPU @ 3.10GHz 

http://manuel.luque.free.fr/Nombre-Plastique/Padovan-Suite.zip