PStricks : applications

lundi 4 mai 2020

La spirale d'Ulam avec PSTricks

Tous ceux qui s’intéressent à l’arithmétique connaissent ou ont entendu évoquer la spirale d’Ulam, son histoire et ses propriétés. De très nombreux sites lui sont dédiés, en voici un en particulier :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Ulam.htm
Ceci en est une réalisation avec PSTricks. Deux commandes pour illustrer deux aspects de cette spirale.
\psUlamSpiralNumbers[options] pour dessiner la spirale en affichant les nombres dans les cases, les nombres premiers étant situés dans les cases rouges, dont les options sont les suivantes :

[N=196] : le nombre d’entiers de la spirale. On prendra si possible un carré parfait, sinon c’est le carré le plus proche qui sera calculé ;
[center=1] : point de départ de la spirale, elle est centrée autour du nombre choisi par cette option.

\psUlamSpiralPixels[options] pour placer uniquement les nombres premiers par un pixel de couleur fixée avec [linecolor=...]. Le choix de l’unité [unit=...], permet d’ajuster le dessin aux dimensions souhaités en fonction du nombre d’entiers choisi, et le nombre de départ de la spirale comme dans la commande précédente; le point rouge indique ce nombre.

Les fichiers sont disponibles ici :
http://manuel.luque.free.fr/spirale-ulam/Ulam-spiral.zip
ou
spirale d'Ulam

5 mai : l'option [center=...] devient [StartSpiral=...]
la taille des nombres s'ajuste automatiquement avec l'unité choisie.

Les exemples suivants ont été choisi pour illustrer des alignements particuliers lorsque la spirale a pour point de départ 17 ou 41.

\begin{pspicture}(14,14)
\psUlamSpiralPixels[StartSpiral=41,unit=0.1,N=20000,linecolor=blue]
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(14,14)
\psUlamSpiralNumbers[StartSpiral=17,linecolor=blue]
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(14,14)
\psUlamSpiralNumbers[StartSpiral=41]
\end{pspicture}

Les fichiers sont tous dans l'archive .zip
Un Gif avec déplacement de la loupe :
http://manuel.luque.free.fr/spirale-ulam/ulam-spiral-lens.gif

Une animation avec le package https://ctan.org/pkg/animate d'Alexander Grahn, à compiler parLaTex->dvips->ps2pdf :

http://manuel.luque.free.fr/spirale-ulam/ulamspiral-animate.tex
http://manuel.luque.free.fr/spirale-ulam/ulamspiral-animate.pdf

vendredi 1 mai 2020

pst-prime : les nombres premiers jusqu'à 10000

Dans son livre “Merveilleux nombres premiers” sous-titré “Voyage au cœur de l’arithmétique” publié aux éditons Belin, Jean-Paul Delahaye donne à la page 11, une présentation originale des nombres premiers jusqu’à 10000. C’est cette représentation que j’ai pris la liberté de reproduire avec les outils de PSTricks.
Le package “pst-prime” comprend 2 commandes :

\psArrayPrimeNumbers qui ne possède aucune option sauf le choix d’unité avec [unit=1] par défaut et qui affiche à la manière de Jean-Paul Delahaye le tableau des nombres premiers
jusqu’à 10000, une case noire désigne un nombre premier.
\psCheckPrimeNumber[N=4603] qui possède une seule option : le nombre à tester. La commande représente le bloc contenant le nombre à tester. Si c’est un nombre premier la case correspondante est coloriée en vert, dans le cas contraire en rouge.

Les fichiers sont accessibles ici :
http://manuel.luque.free.fr/pst-prime/pst-prime.zip
ou
pst-prime
Des exemples de ces 2 commandes :

\begin{pspicture}(0,0)(17,17)
\psArrayPrimeNumbers
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(0,0)(17,17)
\psCheckPrimeNumber[N=4603]
\end{pspicture}

\begin{pspicture}(0,0)(17,17)
\psCheckPrimeNumber[N=625]
\end{pspicture}

lundi 27 avril 2020

Engrenages pour une horloge astronomique

Dans son document, l’auteur du site : https://vanoise49.pagesperso-orange.fr/index.html, explique au chapitre 4 comment déterminer les nombres de dents des roues d’un train d’engrenage.
Le principe est connu, par exemple l’auteur cite la rénovation de l’horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg, au XIX$^{\text{ième}}$ siècle, par Jean-Baptiste Schwilgué. Je relève dans le livre de ce dernier “Description abrégée de l’horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg” la phrase suivante : « La sphère opère sa révolution d’orient en occident dans un jour sidéral, c’est-à-dire dans l’intervalle entre les retours successifs d’une même étoile au méridien ; durée plus courte d’environ 3 minutes 56 secondes que celle du jour solaire moyen. » et aussi,encore un exemple, sur le site :
http://www.ens-lyon.fr/RELIE/Cadrans/Musee/HorlogesAstro/Lyon/Cathedrale.htm
« L'alidade doit accomplir un tour en 1 jour solaire moyen de 24 heures, pendant que l'araignée accomplit un tour en 1 jour sidéral de 23 heures 56 minutes et 4 secondes. Autrement dit, pour 365,25 tours de l'alidade (portant le soleil), l'araignée (portant les étoiles) fait 366,25 tours. »
L'auteur du site "Astronomie et planétaire géocentrique" utilise les données plus précises de :
http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/ : année sidérale = 365,256 363 004 j.
En ce qui concerne les explications, tout ce qui suit est une paraphrase de celles de l'auteur du site cité.
Le rapport de transmission de l'engrenage doit être très proche de :
$ r=\frac{365.256363004}{366.256363004}=0.9972696720084312.$.
L'auteur décompose les calculs en 2 étapes :

choix du nombre rationnel approché ;
choix du train d'engrenage.

Pour la première étape, il propose d'abord une méthode « manuelle » puis informatique. Son document est très bien expliqué et l'outil informatique utilisé est MATLAB. Pour illustrer ce document-ci, les calculs seront faits avec le package https://ctan.org/pkg/xint de Jean-François Burnol, qui n'a rien a envier aux logiciels de calculs commerciaux.
Par exemple :
\xintFrac {365.256363004/366.256363004}=\xintCFrac {365256363004/366256363004}
donne :
\[
0+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
365+\cfrac{1}{
3+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
9+\cfrac{1}{
13+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
4+\cfrac{1}{
3+\cfrac{1}{
2+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
6+\cfrac{1}{
4+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
8+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
7}}}}}}}}}}}}}}}}}
\]
Et \xintFrac{365.256363004/366.256363004}\to\red\xintListWithSep{\allowbreak\ }{\xintApply\xintFrac{\xintFtoCv{365.256363004/366.256363004}}}
donne :

$$\displaystyle
\frac{365}{366}\ \frac{1096}{1099}\ \frac{1461}{1465}\ \frac{14245}{14284}\ \frac{186646}{187157}\ \frac{200891}{201441}\ \frac{990210}{992921}\ \frac{3171521}{3180204}\ \frac{7333252}{7353329}\frac{10504773}{10533533}\ \frac{70361890}{70554527}\ \frac{221590443}{222197114}\ \frac{956723662}{959342983}\ \frac{1178314105}{1181540097}\ \frac{10383236502}{10411663759}\ \frac{11561550607}{11593203856}\ \frac{91314090751}{91564090751}
$$
Nous avons tous les rationnels possibles en fonction de la précision. L'auteur du document de référence a choisi le rapport $r=\dfrac{14245}{14284}=0.9972696723606833$, dont les 9 chiffres après la virgule coïncident avec le rapport théorique souhaité. Il reste à déterminer un choix d’engrenages avec des nombres de dents peu élevés.
La suite des calculs et des choix effectués par l'auteur est sur son site :
Astronomie et planétaire géocentrique et dans le document suivant, où les calculs ont été effectués avec xint : "Engrenage-planetaire-doc.tex et Engrenage-planetaire-doc.pdf" dans l'archive (pst-gear-2020-v0.6.zip) téléchargeable ici
:
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gear-2020-v0.6.zip
ou
pst-gear-2020-v0.6.zip

Deux Gif's obtenus avec le package pst-gears inclus dans l'archive dans sa version 0.6 (version opaque et version transparente)

Un autre choix possible, avec une précision supérieure, trouvé par l'auteur du site mentionné et dessiné avec pst-gears :

http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/horloge-lanetaire-v3-opaque.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/horloge-olanetaire-v3-transparente.gif

jeudi 23 avril 2020

pst-gears vs gear-generator

Le site : https://geargenerator.com/ propose un générateur d’engrenages qui me paraît très performant, le choix des roues et leurs positions se fait très simplement à la souris. Une fois la configuration souhaitée obtenue il est possible de la télécharger moyennant le paiement de 2\$ (pour un jour) et différents formats sont proposés. ‘pst-gears’ peut arriver à reproduire certaines configurations obtenues par ‘gear generator’, mais il faut prévoir de faire quelques petits calculs
préliminaires.
La configuration suivante est identique à celle qui est proposé par défaut par ‘gear generator’, elle a ici été obtenue avec ‘pst-gears’.

Voici la méthode que j’ai suivie.
D’abord le choix de la roue menante : ce sera la roue en bleue avec Z1=16 dents, la roue qui lui est associée est la roue verte avec Z2=8 dents, elle est placée dans une positon angulaire $\alpha=135^\mathrm{o}$ avec le paramètre [polarangle=135].
Le module commun à ces 2 roues est m = 0.25. Le dessin et le placement sont automatiques.

\pstgears[m=0.25,Z1=16,Z2=8,polarangle=135]

Le placement des 2 autres roues est un peu plus compliqué et nécessite quelques calculs élémentaires. Pour une configuration faisant intervenir une roue à denture intérieure, celle-ci est considérée comme la roue menante, ici c’est le paramètre Z1=60 dents qui lui est attribué. La petite roue à l’intérieur sera fixée avec Z2=12 dents avec une position angulaire de $\alpha=180^\mathrm{o}$.
Le problème est de faire coïncider le centre de cette roue rouge avec le centre de la roue bleue. La position du centre de la roue menante est fixé par les coordonnées qui suivant la commande \pstgears[...](x,y).
L’entraxe : distance entre les centres des 2 roues se calcule par la formule $a=\frac{m(Z1-Z2)}{2}$, c’est cette distance qui donnera l’abscisse de la position du centre de la roue à denture intérieure. Il reste à fixer le module de ces dents; différent des 2 premières, j’ai choisi m = 0.1, on en déduit $a=\frac{0.1(60-12)}{2}=2.4$.

\pstgears[m=0.1,Z1=60,Z2=12,int,polarangle=180,color1=yellow,color2=red](2.4,0)

La petite roue est bien centrée en (0,0).
Dans le pdf 'pst-gears-application-1.pdf' inclus dans le zip, l'animation est obtenue avec le package `animate' d'Alexander Grahn.
Les fichiers ont été rajoutés dans les archives précédentes, voir :
http://pstricks.blogspot.com/2020/04/pst-gears-2020-5.html

Les Gif's sont téléchargeables avec les liens suivants :
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-geargenerator-2.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-geargenerator.gif

dimanche 19 avril 2020

pst-gears-2020-5

L'option de PSTricks [linestyle=none] est possible comme dans l'exemple ci-dessous.
Les fichiers avec cette option :
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gear-2020-v0.5.zip
ou `pst-gear-2020-v0.5.zip' dans le répertoire :
pst-gear-2020-v0.5.zip
Les gif sont téléchargeables avec les liens :
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-72-48-12x12-v1fill.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/planetary-gear-60-3x12-24-fill.gif

vendredi 17 avril 2020

Jacques Blamont

Jacques Blamont est décédé le 13 avril 2020 à l'âge de 93 ans.
Il était un ancien directeur scientifique et technique du CNES (Centre national d'études spatiales).
Dominique Leglu retrace la carrière de Jacques Blamont dans l'article :

Jacques Blamont passionné d'espace, inquiet du futur de l'humanité

Je n'ai pas lu le livre de Jacques Blamont que Dominique Leglu cite dans son article, mais j'ai lu "Le chiffre et le songe" paru aux éditions Odile Jacob en 1993. Il est sous-titré "Histoire politique de la découverte". J'ai beaucoup appris dans son livre pour préparer mes cours. C'est, à mon humble avis, un livre de référence pour l'histoire des sciences, en particulier pour l'histoire de l'astronomie.
À l'occasion de la sortie de son livre Jacques Blamont avait été l'invité de France Culture et c'est un enregistrement que j'avais fait de cette émission que je propose. Il manque juste quelques secondes au début et pour comprendre les propos de Jacques Blamont, il suffit de savoir qu'il est en train d'expliquer le choix du titre de son livre "Le chiffre et le songe" par un vers du poème de Victor Hugo "Plein ciel" de "La Légende des siècles" :

Oh ! ce vaisseau, construit par le chiffre et le songe,
Éblouirait Shakespeare et ravirait Euler !

http://manuel.luque.free.fr/Jacques-Blamont/Le-Chiffre-et-le-Songe-1.mp3

http://manuel.luque.free.fr/Jacques-Blamont/Le-Chiffre-et-le-Songe-2.mp3

Il manque aussi la fin (environ 30 min), c'était une K7 2x30 min.