mercredi 15 février 2012

Cylindre inhomogène remontant spontanément un plan incliné

http://spazioinwind.libero.it/gabinetto_di_fisica/meccanicas/statica/discodisomogeneo.htm

Dans son livre ``Cours de mécanique rationnelle et expérimentale'' : http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABR2526.0001.001?view=toc édité par la Librairie Delagrave en 1910, Henri Bouasse étudie à la page 229, l'expérience, attribuée à l'Abbé Nollet, du cylindre qui remonte un plan incliné http://www.inrp.fr/she/instruments/instr_mec_plan_incline.htm et semble ainsi défier les lois de la gravité et il en donne en quelques lignes des explications beaucoup plus précises que toutes celles que j'ai pu lire sur la toile.
Le texte d'Henri Bouasse :
Un cylindre de bois est surchargé de plomb intérieurement et latéralement, de manière que son centre de gravité soit reporté en G, assez loin de l'axe de révolution de la surface. Placé sur un plan incliné, de manière que les génératrices soient normales à la ligne de plus grande pente, il peut remonter le long du plan. En effet, le centre de gravité décrit une cycloïde raccourcie. À partir du point A (situé après le maximum G de la cycloïde rapportée au plan incliné) jusqu'au point C (situé avant le minimum D de la cycloïde, rapportée au même plan), la remontée du cylindre correspond à une descente du centre de gravité. Quand le centre de gravité est en A, il y a équilibre instable ; quand il est en C, il y a équilibre stable. À mesure que l'angle α du plan augmente, les points A et C se rapprochent. La remontée n'a plus lieu quand l'angle α vaut l'angle que fait avec le plan incliné la tangente d'inflexion de la cycloïde.
 Quelques figures réalisées avec PStricks illustrant le texte de Henri Bouasse :

 On fait rouler le cylindre légèrement au-delà de A et on le lâche. Le cylindre remonte. Au point C qui est la position la plus basse de G la vitesse du cylindre n'est pas nulle et s'il n'y avait pas de frottements, le cylindre pourrait encore remonter la pente jusqu'à ce que G occupe la position E qui est sur la même horizontale que A, pour redescendre ensuite et effectuer des oscillations non symétriques autour de C.
 On peut observer les oscillations du cylindre sur les deux enregistrements vidéos suivants :
http://www.louislegrand.eu/index.php?option=com_content&view=article&id=92:mec1-2&catid=10:mecanique-du-solide&Itemid=17
http://www.youtube.com/watch?v=ySR28y2QJm0

L'étude théorique des oscillations est ici :
http://pstricks.blogspot.fr/2012/03/mouvement-dun-cerceau-leste-sur-un-plan_18.html
Le fichier LaTeX contient les macros PStricks nécessaires à la réalisation des figures ci-dessus et à la compilation du fichier :



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