Problème de mécanique du concours de l’Agrégation de 1 848, illustré avec PStricks : 1ère partie

Un cylindre droit à bases circulaires, de matière hétérogène, mais dont tous les points situés sur une même droite parallèle à l’axe ont la même densité, est posé sur un plan horizontal. Déterminer le mouvement qu’il prend sous l’action de la pesanteur, et en particulier le mouvement du centre de gravité, ainsi que celui d’un point quelconque du rayon qui passe par ce centre. On fera abstraction du frottement.

 Concours Agrégation aux Lycées, Année 1848

On pourra noter la concision de l’énoncé, si on le compare avec l’énoncé d’un problème de physique du concours actuel de l’agrégation. La correction de cet exercice a fait l’objet de deux rédactions, celle de Théodore Désiré Dieu qui se trouve dans l’ouvrage Problèmes d’analyse infinitésimale et de mécanique , qui contient les énoncés relatifs aux années 1841 à 1851, et celle de Jules Marie Louis Vieille dans le Cours complémentaire d’analyse et de mécanique rationnelle publié en 1851. Pour la démonstration j’ai adopté(et adapté) celle de J. Vieille, et pour les développements ceux de T. Dieu.
Quelques images du document de la première partie.
État initial :

 

À un instant t :

Au cours du mouvement :

L'équation différentielle régissant les variations de Θ(t) :

La représentation graphique de la solution de l’équation différentielle , qui se réalise très simplement avec la commande : \psplotDiffEqn du package pstricks-add.

En pointillés, une approximation avec la fonction cosinus.
Le calcul de la période :

Les variations de la position y(t) du centre de gravité :

 

Les variations de la position xC(t) du centre du cylindre :

 Mouvement d’un point quelconque du rayon qui passe par le centre de gravité.
 Suivant la position du point sur CG, celui-ci décrit une portion d'ellipse ou de cercle.

Les fichiers de cette première partie (pst-oscCylindre.tex et (pst-oscCylindre.pdf) :

Agrégation 1848