Dessin d'une strophoïde

La revue "tangente" de mars-avril 2019, n°187 a pour thème "Enveloppes de familles de droites" et développe plusieurs points sur le sujet :

• enveloppes, point courant ;
• enveloppes sous plis ;
• enveloppe d'une famille de courbes.

tous joliment illustrés.
Dans ce numéro, je me suis intéressé au problème 18708(page 49) intitulé : "Une courbe singulière", présenté ainsi :
"Deux poulies, une petite et une grande, sont reliées par une courroie, de sorte que la petite poulie fait 2 tours quand la grande en fait un.
Sur chaque poulie, on a tracé un diamètre. On note E la droite qui prolonge le diamètre de la petite poulie et F la droite qui prolonge le diamètre de la grande.
Au départ, F et horizontale, E est verticale. On met les poulies en mouvement et on s'intéresse à la courbe décrite par le point d'intersection de E et de F.
Quelle courbe obtient-on ? "

La revue donne une solution, que je ne dévoilerai pas, ce magazine est en vente dans toutes les maisons de la presse.
Je vous propose une variante du mouvement d'entraînement, avec des engrenages,  réalisée dans deux versions :

• les calculs sont faits avec postscript ;
• les calculs sont faits avec les extensions "xintexpr" et "poormantrig.tex" de Jean-François Burnol, celle-ci est une version de développement qui sera très prochainement intégrée sous une forme améliorée à xint, les fonctions trigonométriques y seront donc disponibles d'office sans aucune extension supplémentaire.

 Tous les fichiers(hormis ceux qui sont déjà sur le CTAN) sont disponibles dans le répertoire :

strophoid

Le fichier zippé les contient tous.

Concernant les engrenages, roues dentées, pignons et crémaillères, vous trouverez dans ce blog quelques pages qui leur sont consacrées :
http://pstricks.blogspot.com/2016/11/mise-jour-des-liens-de-pst-gears-le.html
http://pstricks.blogspot.com/2013/05/horloge-pstricks-train-dengrenages.html
http://pstricks.blogspot.com/2013/05/engrenages.html
http://pstricks.blogspot.com/2013/06/pignon-cremaillere.html
http://pstricks.blogspot.com/2013/06/pignon-cremaillere-application-1.html
http://pstricks.blogspot.com/2013/06/pignon-cremaillere-application-2.html
http://pstricks.blogspot.com/2013/06/pst-spirograph-version-03-du-11-juin.html

polexpr et xint : applications (13)

Calculs vectoriels (3) 

Cet article de Thomas Söll traite de deux sujets :

• rotation d'un vecteur autour d'un axe défini par un vecteur directeur donné ;
• calculs d'angles.

Par exemple, considérons les vecteurs :
$\overrightarrow{EA} = \begin{pmatrix}
                    -4\\
                    0\\
                    0
\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}
                    0\\
                    0\\
                    1
\end{pmatrix}%
$
La rotation d'un angle de 227.5° du vecteur
$\begin{pmatrix}
                    -4\\
                    0\\
                    0
\end{pmatrix}$ autour de l'axe $\begin{pmatrix}
                    0\\
                    0\\
                    1
\end{pmatrix}$est le vecteur $\begin{pmatrix}
                    2.702\\
                    2.949\\
                    0
\end{pmatrix}%
$

On obtiendra ceci en écrivant :

\VecDef{A}{-5,-1,0}
\VecDef{D}{4.5,5,0}
\VecDef{E}{-1,-1,0}
\SetVecToSub{EA}{A}{E}
\SetVecToSub{ED}{D}{E}
\VecDef{n}{0,0,1}
\VecRotateAroundLine{ar}{EA}{n}{227.5}

Les calculs d'angles :
Avec \cosphi{EA}{ED} :
on obtient le $\cos(\varphi)$ de l'angle entre les deux vecteurs $\overrightarrow{EA}$ et $\overrightarrow{ED}$.
Avec \VecPhi{EA}{ED}: l'angle est calculé. Cet angle est inférieur ou égal à 180°.
Pour les angles supérieurs à 180° il y a une macro \CalcAngleX[phi]{A}{E}{D} pour calculer l'angle, où A est un point de la première demi-droite, D est le point de  la seconde demi-droite (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) et E est le sommet.
Par exemple, avec les points et vecteurs  donnés , on obtiendra avec cette commande :
\CalcAngleX[eta]{A}{E}{D}        : $\widehat{AED}=227.4896°$
\CalcAngleX[beta]{C}{B}{A}      : $\widehat{CBA}=138.8141°$
\CalcAngleX[alpha]{B}{A}{E}    : $\widehat{BAE}=45°$
\CalcAngleX[gamma]{D}{C}{B} : $\widehat{DCB}=86.1859°$

Ce qui est illustré avec la figure suivante :

 Tous les fichiers sont dans le répertoire :

Calcul-Vectoriel-Geometrie

Le fichier de cette partie(3) est intitulé : CalculVector-part3.tex et .pdf. Le fichier zippé les contient tous. La version française est incluse dans le répertoire. Tous ces fichiers peuvent être téléchargés sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/

Section d'un cube par un plan

Coupes d'un cube par un plan orthogonal à l'une des diagonales du cube

Il y a trois versions, dans les deux premières pst-3d est utilisé pour la 3D :

• Les calculs sont faits avec le package fp : CubeIntersectionPlanFP.tex
• Les calculs sont faits avec le package xintexpr : CubeIntersectionPlanPolexpr.tex
•  Les calculs sont faits avec le package xintexpr, pour la 3D, c'est pst-solides3D qui est utilisé.
  

 Les fichiers sont dans le répertoire :

CubeSectionPlan

Avec pst-solides3d :

polexpr et xint : applications (12)

 Les différents types des polynômes de degré 4 illustrés avec polexpr et PSTricks 

par Jürgen Gilg

Il existe d’excellents cours sur les polynômes et sur ceux de degré 4 en particulier, par exemple celui de wikiversity.org :

 https://fr.wikiversity.org/wiki/Équation_du_quatrième_degré/Fonctions_polynômes_du_quatrième_degré

Il s’agit ici, simplement, d’une application de l’extension polexpr de Jean-François Burnol qui permet d’effectuer tous les calculs formels et numériques utiles à l’étude des polynômes. PSTricks permet ensuite d’en effectuer les représentations graphiques. 

https://ctan.org/pkg/polexpr 

Ce document décrit les différents types de polynômes de degré 4 avec des explications  sur la manière dont ``polexpr'' est utilisé.
Vous trouverez tous les fichiers dans ce répertoire :

Polynômes de degré 4 

Type I : 

• 4 zéros
• 3 extremums
• 2 points d’inflexion 

\[f(x)=\frac{1}{15}x^4+\frac{2}{15}x^3-\frac{4}{5}x^2-\frac{2}{15}x+\frac{2}{5}\]

 Type II :

• 2 zéros
• 1 extremums
• 2 points d’inflexion (un avec pente nulle)

 \[f(x)=\frac{3}{10}x^4-2x^3+\frac{21}{5}x^2-\frac{18}{5}x-2\]

Type III :

• 2 zéros
• 1 extremums
• 2 points d’inflexion  \[f(x)=\frac{1}{10}x^4+\frac{3}{5}x^2-\frac{6}{5}x-\frac{1}{2}\]
  
  
  
  Type IV :
• 2 zéros
• 1 extremum
•  1 point flat 

  \[f(x)=\frac{1}{10}x^4+\frac{2}{5}x^3+\frac{3}{5}x^2-\frac{14}{5}x-2\]

 Type V :

• 0 zéro
• 1 extremum (avec courbure nulle) = 1 point flat (avec pente nulle)

  \[ f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+\frac{3}{2} \]

 Type VI :

• 2 zéros
• 1 extremum

  \[ f(x)=\frac{1}{10}x^4-\frac{1}{5}x^3+\frac{3}{5}x^2-\frac{11}{5}x-1 \]

Tous les fichiers concernant les applications des extensions polexpr et xint de Jean-François Burnol présentées dans ce blog et des exemples d'utilisation de celles-ci avec PSTricks sont disponibles aussi sur :

  https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/

polexpr et xint : applications (11)

Comment déterminer la tangente commune en 2 points d’une courbe représentant une fonction polynomiale de degré 4.

Cet article de Jean-François Burnol et Jürgen Gilg est composé de deux parties principales :

• Comment déterminer les coefficients d’un polynôme de degré 4 en se donnant au départ les abscisses de 2 points de la courbe ayant une tangente commune et la pente de la tangente.
• La méthode générale pour déterminer la “tangente double” d’un polynôme de degré 4 donné.

 Elles sont précédées de 2 exemples et complétées par une étude sur les familles de courbes avec “tangente double”.
Cette étude a été réalisée en utilisant les extensions "polexpr" de Jean-François Burnol :

https://ctan.org/pkg/polexpr

pour les calculs formels et numériques et de PSTricks pour les représentations graphiques.Vous trouverez à la fin du document quelques explications sur l'utilisation de ces packages qui ont permis d'élaborer ce document..
Tous les fichiers sont dans le répertoire :

Tangente-Double

Le fichier zippé les contient tous.
Voici une animation :

et quelques images extraites de la documentation, dans l'ordre où elles sont placées dans le document

Tous les fichiers concernant les applications des extensions polexpr et xint de Jean-François Burnol présentées dans ce blog et des exemples d'utilisation de celles-ci avec PSTricks sont disponibles aussi sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/ 

polexpr et xint : applications (10)

Géométrie

Cette partie est dédiée à la géométrie dans R³. Elle est la suite de

http://pstricks.blogspot.com/2019/03/polexpr-et-xint-applications-9.html 

qui était consacrée au calcul vectoriel  Elle utilise un ensemble de commandes regroupées dans les fichiers "vecteurs.sty" et "pst-pers.tex" de Thomas Söll. Ces commandes ont été écrites en utilisant les extensions "polexpr" et "xint" de Jean-François Burnol.

https://ctan.org/pkg/polexpr

https://ctan.org/pkg/xint

Tous les autres fichiers sont regroupés dans le répertoire :

Calcul-Vectoriel-Geometrie

Le fichier zippé les contenant tous.

De très nombreuses commandes sont disponibles, en voici les principales :

• Différentes façons de définir une droite 
•  Obtenir l'équation de la droite
•  Calcul de l'intersection(ou pas) de 2 droites
•  Affichage du système d'équations et sa résolution
• Projeter orthogonalement un point sur une droite
•  Différentes façons de définir un plan
• Obtenir l'équation du plan
• Calculer les points d'intersection d'un plan avec les axes du repère
• Intersection d’une droite et d’un plan
• Projeter l'origine du repère sur le plan, calculer sa distance au plan et représenter le vecteur normal unitaire
• Transformation d'un point 3D à un repère 2D (plan) avec origine O
• Transformation d'un point 2D d'un repère 2D (plan) avec origine O en un point 3D
• Obtenir les coordonnées sphériques d'un point ou d'un vecteur à partir de ses coordonnées cartésiennes
• Trouver des vecteurs orthogonaux
• Calculer les coordonnées d'un point d'une droite avec une valeur de paramètre donnée 
• etc .

Les schémas ci-dessous sont extraits de la documentation et illustrent quelques-unes des commandes précédemment décrites.

Les schémas suivants illustrent la résolution de problèmes posés par un utilisateur de PSTricks à Thomas Söll. Leur énoncé est précisé dans la documentation (part2). Par exemple :
Soit une pyramide de sommet S et de base le carré ABCD, F le centre de la base et E le milieu de CD.
Déterminer les points suivants :

1. H projection orthogonale de F sur l’arête SB ;
2. Q projection orthogonale de F sur la hauteur SE de la face SCD.

et 2 autres problèmes un peu plus complexes dont voici les dessins.

Tous les fichiers concernant les applications des extensions polexpr et xint de Jean-François Burnol présentées dans ce blog et des exemples d'utilisation de celles-ci avec PSTricks sont disponibles aussi sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/ 

polexpr et xint : applications (9)

Calcul Vectoriel

Thomas Söll et Jürgen Gilg ont développé à partir des extensions xint et polexpr de
Jean-François Burnol :

https://ctan.org/pkg/polexpr 

https://ctan.org/pkg/xint 

une série de commandes permettant le calcul vectoriel formel et numérique et ses applications à la géométrie 3D par utilisation du package `pst-pers' qui est en cours de finalisation et est inclus avec les autres fichiers.
Cette première partie concerne le calcul vectoriel, la seconde sera dédiée à la géométrie.
Les composantes des vecteurs sont des nombres et/ou des polynômes.
Tous les fichiers, hormis ceux qui sont disponibles sur le CTAN, sont dans le répertoire :

Calcul-Vectoriel-Geometrie

Ci-dessous, quelques images extraites de la documentation.
On peut faire du calcul formel et numérique avec :
1- L'addition et soustraction de vecteurs.:

2- La combinaison linéaire de 2 vecteurs :

3- Le produit vectoriel :

3- Le produit scalaire :

4 - La norme :

Pour x=11 :

 5 - Plus grand facteur commun aux composantes d'un vecteur :

6 - Propriété vérifiée formellement : produit mixte invariant par permutation circulaire :

Tous les fichiers concernant les applications des extensions polexpr et xint de Jean-François Burnol présentées dans ce blog et des exemples d'utilisation de celles-ci avec PSTricks sont disponibles aussi sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/ 

polexpr et xint : applications (8)

Comment utiliser la macro \listplot de pst-plot avec xint (2)

Dans une précédente page :

http://pstricks.blogspot.com/2019/02/polexpr-et-xint-applications-6.html

Jean-François Burnol, l'auteur des packages xint et polexpr :

https://ctan.org/pkg/polexpr

https://ctan.org/pkg/xint 

présentait plusieurs exemples d'utilisation de la macro \listplot de pst-plot avec xint, les fichiers sources des animations avaient été promis, les voici :

 Xint-ListPlot

Vous trouverez dans le répertoire tous les fichiers sources nécessaires à leur compilation hormis ceux déjà disponibles sur le CTAN. Il contient aussi, 6 fichiers intitulés LISMOI[...].txt donnant des indications sur l'utilisation de la commande convert de ImageMagick pour créer les animations, sur les problèmes qu'il a fallu résoudre afin de pouvoir utiliser \listplot avec xint, sur la paramétrisation d'une courbe par la (variation absolue de la) direction de déplacement) :

http://pstricks.blogspot.com/2019/03/polexpr-et-xint-applications-7.html 

etc. Le fichier zippé les contient tous, avec deux nouveaux exemples.

 5/03/2019

Le symbole ⌘ d'un clavier d'ordinateur Macintosh

Remarque : Jean-François Burnol a mis au point les paramètres de la commande convert de ImageMagick pour créer les Gif's animés (une seule ligne suffit) à partir des pdf, son utilisation se révèle à l'usage particulièrement rapide et efficace, même pour des Gif's de plus de 200 images !

Tous les fichiers concernant les applications des extensions polexpr et xint de Jean-François Burnol présentées dans ce blog et des exemples d'utilisation de celles-ci avec PSTricks sont disponibles aussi sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/ 

polexpr et xint : applications (7)

Paramétrisation d’une ellipse avec vecteur vitesse tournant à vitesse constante

Jean-François Burnol présente une application à l'ellipse de l'étude générale de la paramétrisation d'une courbe par la (variation absolue de la) direction de déplacement, présentée dans la page précédente :

http://pstricks.blogspot.com/2019/02/polexpr-et-xint-applications-6.html

les calculs sont faits avec l'extension xintexpr qui est un module du package xint :

https://ctan.org/pkg/xint

et les graphiques avec PSTricks qui est parfaitement compatible avec xint.

Vous trouverez dans le répertoire :

Paramétrisation d'une courbe

les documents et le fichier source ayant servi à produire l'animation suivante. Le fichier .zip contient tous les fichiers(hormis ceux qui sont disponibles sur le CTAN) nécessaires à la compilation.

Tous les fichiers concernant les applications des extensions polexpr et xint de Jean-François Burnol présentées dans ce blog et des exemples d'utilisation de celles-ci avec PSTricks sont disponibles aussi sur :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/