Engrenages pour une horloge astronomique

Dans son document, l’auteur du site : https://vanoise49.pagesperso-orange.fr/index.html, explique au chapitre 4 comment déterminer les nombres de dents des roues d’un train d’engrenage.
Le principe est connu, par exemple l’auteur cite la rénovation de l’horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg, au XIX$^{\text{ième}}$ siècle, par Jean-Baptiste Schwilgué. Je relève dans le livre de ce dernier “Description abrégée de l’horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg” la phrase suivante : « La sphère opère sa révolution d’orient en occident dans un jour sidéral, c’est-à-dire dans l’intervalle entre les retours successifs d’une même étoile au méridien ; durée plus courte d’environ 3 minutes 56 secondes que celle du jour solaire moyen. » et aussi,encore un exemple, sur le site :
 http://www.ens-lyon.fr/RELIE/Cadrans/Musee/HorlogesAstro/Lyon/Cathedrale.htm
« L'alidade doit accomplir un tour en 1 jour solaire moyen de 24 heures, pendant que l'araignée accomplit un tour en 1 jour sidéral de 23 heures 56 minutes et 4 secondes. Autrement dit, pour 365,25 tours de l'alidade (portant le soleil), l'araignée (portant les étoiles) fait 366,25 tours. »
L'auteur du site "Astronomie et planétaire géocentrique" utilise les données plus précises de :
http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/ : année sidérale = 365,256 363 004 j.
En ce qui concerne les explications, tout ce qui suit est une paraphrase de celles de l'auteur du site cité.
Le rapport de transmission de l'engrenage doit être très proche de :
 $ r=\frac{365.256363004}{366.256363004}=0.9972696720084312.$.
L'auteur décompose les calculs en 2 étapes :

1. choix du nombre rationnel approché ;
2. choix du train d'engrenage.

Pour la première étape, il propose d'abord une méthode « manuelle » puis informatique. Son document est très bien expliqué et l'outil informatique utilisé est MATLAB. Pour illustrer ce document-ci, les calculs seront faits avec le package https://ctan.org/pkg/xint de Jean-François Burnol, qui n'a rien a envier aux logiciels de calculs commerciaux.
Par exemple :
\xintFrac {365.256363004/366.256363004}=\xintCFrac {365256363004/366256363004}
donne :
\[
0+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
365+\cfrac{1}{
3+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
9+\cfrac{1}{
13+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
4+\cfrac{1}{
3+\cfrac{1}{
2+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
6+\cfrac{1}{
4+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
8+\cfrac{1}{
1+\cfrac{1}{
7}}}}}}}}}}}}}}}}}
\]
Et \xintFrac{365.256363004/366.256363004}\to\red\xintListWithSep{\allowbreak\ }{\xintApply\xintFrac{\xintFtoCv{365.256363004/366.256363004}}}
donne :

$$\displaystyle
\frac{365}{366}\ \frac{1096}{1099}\ \frac{1461}{1465}\ \frac{14245}{14284}\ \frac{186646}{187157}\ \frac{200891}{201441}\ \frac{990210}{992921}\ \frac{3171521}{3180204}\ \frac{7333252}{7353329}\frac{10504773}{10533533}\ \frac{70361890}{70554527}\ \frac{221590443}{222197114}\ \frac{956723662}{959342983}\ \frac{1178314105}{1181540097}\ \frac{10383236502}{10411663759}\ \frac{11561550607}{11593203856}\ \frac{91314090751}{91564090751}
$$
Nous avons tous les rationnels possibles en fonction de la précision. L'auteur du document de référence a choisi le rapport $r=\dfrac{14245}{14284}=0.9972696723606833$, dont les 9 chiffres après la virgule coïncident avec le rapport théorique souhaité. Il reste à déterminer un choix d’engrenages avec des nombres de dents peu élevés. 
La suite des calculs et des choix effectués par l'auteur est sur son site :
 Astronomie et planétaire géocentrique et dans le document suivant, où les calculs ont été effectués avec xint : "Engrenage-planetaire-doc.tex et  Engrenage-planetaire-doc.pdf" dans l'archive (pst-gear-2020-v0.6.zip) téléchargeable ici 
:
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/pst-gear-2020-v0.6.zip
ou
pst-gear-2020-v0.6.zip 

Deux Gif's obtenus avec le package pst-gears inclus dans l'archive dans sa version 0.6 (version opaque et version transparente)

Un autre choix possible, avec une précision supérieure, trouvé par l'auteur du site mentionné et dessiné avec pst-gears :

http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/horloge-lanetaire-v3-opaque.gif
http://manuel.luque.free.fr/pst-gears-2020/horloge-olanetaire-v3-transparente.gif