La solution de la question proposée au concours pour les deux académies de Montpellier et d'Aix (année 1870) a été rédigée par M. Auguste Macé, élève de Mathématiques spéciales au lycée de Grenoble.
http://www.numdam.org/item?id=NAM_1871_2_10__17_1
L’énoncé comporte 3 parties, la première est formulée ainsi :
« I. Étant donné un ellipsoïde, on détermine les points de contact des plans tangents parallèles aux plans des sections circulaires ; on mène deux sphères tangentes chacune en deux de ces points symétriques par rapport au grand axe : trouver l’équation des surfaces de révolution du second degré circonscrites à ces deux sphères. Classification et discussion de ces surfaces. »
On a compris qu’il s’agit de déterminer, dans la première étape de cette partie, les ombilics de l’ellipsoïde d’équation :
$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\quad\text{avec } a>b>c $
La démonstration d'Auguste Macé commence par : ``on sait que les plans des sections cycliques sont parallèles au plan'' :
$ x=z\sqrt{\frac{\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{b^2}}{\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{a^2}}} $
Démontrons que l'équation du plan de section circulaire passant par l'origine s'écrit bien ainsi.
La section circulaire passant par l'origine est un cercle de rayon égal au demi-axe suivant $Oy$ : $b$. Pour simplifier plaçons-nous dans le plan $xOz$. La section de l'ellipsoïde dans ce plan est une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $c$.
Les 2 sections circulaires passant par $O$ sont des cercles de rayon $b$. Déterminons les coordonnées des points $A_i$.
Ellipse : $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
Cercle de rayon $b$ :
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
x = b\cos\theta\\[1em]
z = b\sin\theta
\end{array}
\right.
\]
On remplace $x$ et $z$ dans l'équation de l'ellipse :
\[
\frac{b^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{b^2\sin^2\theta}{c^2}=1 \Rightarrow \frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{c^2}=\frac{1}{b^2}
\]
On cherche $\theta$.
\[
\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{1-\cos^2\theta}{c^2}=\frac{1}{b^2}\Rightarrow \cos^2\theta\left[\frac{1}{a^2}-\frac{1}{c^2}\right]=\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}
\]
On en déduit :
\[
\cos\theta=\pm\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{b^2}}{\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{a^2}}}\quad\text{et}\quad \sin\theta=\pm\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{a^2}}{\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{a^2}}}
\]
\[
\tan\theta=\pm\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{a^2}}{\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{b^2}}}
\]
Les équations des plans de section circulaire passant par $O$ sont :
\[
z=\pm\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{a^2}}{\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{b^2}}}x
\]
Pour les coordonnées des 4 ombilics, on se reportera à la démonstration imparable d'Auguste Macé.
Pour $O_1$ :
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
x_1 = a\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2-c^2}}\\[1em]
y_1 =0\\
z_1 = c\sqrt{\dfrac{b^2-c^2}{a^2-c^2}}
\end{array}
\right.
\]
Voici, par exemple, le plan tangent et la normale à l'ellipsoïde en $O_1$.
Le vecteur normal unitaire aux plans de section vaut :
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
n_x =\pm \dfrac{c}{b}\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2-c^2}}\\[1em]
n_y=0\\
n_z = \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b^2-c^2}{a^2-c^2}}
\end{array}
\right.
\]
Si l'on considère un point d'un des plans situé sur le rayon qui joint $O$ à un ombilic (par exemple $O_1(x_1,0,z_1)$), ses coordonnées valent :
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
x_P =kx_1\\[1em]
y_P=0\\
z_P = \dfrac{x_Pz_1}{x_1}
\end{array}
\right.
\]
La distance de $O$ au plan de section $d=|x_Pn_x+z_pn_z|$ avec $0<d<\dfrac{ac}{b}$, $\dfrac{ac}{b}$ est la distance de $O$ aux ombilics.
Le rayon des sections circulaires vaut :
\[
r=b\sqrt{1-\left(\frac{bd}{ac}\right)^2}
\]
On peut ajuster un cylindre de même rayon sur une section circulaire de l'ellipsoïde.
Découpe de 2 sections circulaires.
Découpe de 4 sections circulaires.
On découpe une tranche de section circulaire (une rondelle) :
On enlève une rondelle et on conserve les 2 parties restantes.
Toutes les images ont été obtenues avec pst-solides3d avec quelques options remarquables mises au point par Jean-Paul Vignault (en particulier la découpe d'un objet par un plan qui a été utilisée ici).
Pour faciliter les constructions, j'ai créé un \psSolid[objet=ellipsoid], dont les les exemples d'utilisation sont dans un fichier séparé (psEllipsoid.tex, psEllipsoid.pdf). Voici quelques images de cet objet :
Une variante intéressante, permet, avec l’option [
affinagerm], de conserver la face centrale et de la rendre transparente pour que l’intérieur soit visible, ou donner une couleur différente des armatures aux faces centrales.
Section par un plan horizontal, on enlève la calotte supérieure :
Les fichiers sont accessibles ici :
http://manuel.luque.free.fr/ellipsoid/Ellipsoid-sections.zip
ou sur drive :
ellipsoid-sections-circulaires
Les fichiers pdf sont les fichiers contenant les documentations. Les fichiers .tex sont éventuellement à compiler.avec la séquence habituelle : LaTeX ->DVIPS->pst2pdf
