L'article "La voie-sans-effort™ vers le cubisme" de Jean-François Burnol, écrit en français, est la suite ou le complément de "Les polynômes cubiques plaisants" écrit lui en anglais conjointement avec Jürgen Gilg et intitulé :
"Nice cubic polynomials: symmetry and arithmetic of the Lagrange resolvent"
disponible ici : http://pstricks.blogspot.com/2021/02/polynomes-cubiques-plaisants.html
Il est rédigé de manière indépendante de l'autre et s'attache au problème suivant : décrire tous les triangles équilatéraux inscrits dans le cercle unité et dont les sommets ont des abscisses rationnelles.
Le texte évidemment écrit avec des démonstrations rigoureuses, est néanmoins empreint d'un humour doux un peu ironique qui rend sa lecture ``plaisante''.
Les fichiers sont ici :http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/Effortslesscubism.zip
ou :
La voie-sans-effort™ vers le cubisme
ainsi que sur :http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr
C'est aussi, pour les illustrations, une magistrale démonstration des possibilités de xint utilisé pour
manipuler exactement des fractions qui associé à PSTricks donne des figures remarquables et des animations aux formats SVG(grâce au package animate d'Alexander Grahn) que vous apprécierez.
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-effortless-1.html
http://www.le-gilgomat.de/NiceCubics.html
Deux échantillons au format Gif.
Bonus
Les animations suivantes concernent des polynômes de la forme P(x) = x^3 - Ax . On s'occupe des cas où les racines de P(x)=u sont entières. Ces animations sont obtenues avec A fixé en donnant à u des valeurs adéquates. Comme déjà indiqué les racines sont les abscisses des sommets d'un triangle équilatéral dont le rayon est égal à la distance horizontale entre les deux extrema locaux du graphe de la fonction polynomiale
On remarquera en particulier le cas où A=1729 pour lequel il existe 8 valeurs de u.
Chaque valeur de u correspond à deux triangles équilatéraux (exceptionnellement un seul, lorsqu'il est symétrique dans l'axe horizontal).
Donc pour A=1729, cela fait 16 triangles.
Jean-François Burnol a effectué les calculs avec xint (il est en aussi l'auteur). Les animations sont générées avec le package animate d'Alexander Grahn.
Le fichier anim-integer-auto.tex (écrit par Jean-François Burnol) permet de générer 8 SVG (pour 8 valeurs de A).
Les fichiers qui permettent de générer les images pour les Gifs ont été adaptés par Jürgen Gilg.
Les fichiers sont ici :
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto.zip
ou sur Drive :
ainsi que sur :
http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr
Vous aurez un aperçu de tout ce qui a été publié par Jean-François Burnol et Jürgen Gilg sur ce thème des "polynômes cubiques plaisants" en allant sur :
http://www.le-gilgomat.de/NiceCubics.html
et
https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/xint-polexpr/
Voici les liens pour les animations au format SVG :
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-1.html
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-2.html
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-3.html
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-4.html
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-5.html
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-6.html
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-7.html
http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/anim-integer-auto-8.html
Les animations au format Gif :
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire