Projection stéréographique inverse

Avec une sphère de rayon unité. $\Omega$ est le pôle nord. Le plan horizontal de projection est tangent au pôle sud.

$$O \begin{pmatrix}   0 \\   0 \\   0  \end{pmatrix}  \quad  \Omega \begin{pmatrix}   0 \\   0 \\   1  \end{pmatrix}   \quad  A \begin{pmatrix}   x \\   y \\   z  \end{pmatrix}  \quad x^2+y^2+z^2=1   \quad  B \begin{pmatrix}   X \\   Y \\   -1  \end{pmatrix}   \quad \overrightarrow{ \Omega A} \begin{pmatrix}   x \\   y \\   z-1  \end{pmatrix}   \quad \overrightarrow{ \Omega B} \begin{pmatrix}   X \\   Y \\   -2  \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{\Omega A}=k\overrightarrow{\Omega B} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix}   x \\   y \\   z-1  \end{pmatrix}  =k  \begin{pmatrix}   X \\   Y \\   -2  \end{pmatrix}$$

Le problème posé est le suivant : on donne les coordonnées d'un point $B$ du plan $z=-1$, il faut en déduire les coordonnées du point $A$ de la sphère $x=f(X,Y);y=g(X,Y);z=h(X,Y)$.

$$\left\{ \begin{array}[m]{l}   x=kX\\   y=kY\\   1-z=2k \end{array} \right. \Longrightarrow \begin{array}[m]{l}   x^2+y^2=k^2(X^2+Y^2)\\   k=\dfrac{1-z}{2} \end{array}$$
Sachant que $x^2+y^2=1-z^2$ on a, en remplaçant :
$$1-z^2=\frac{(1-z)^2}{4}(X^2+Y^2)\Longrightarrow 4(1+z)=(1-z)(X^2+Y^2)$$
$$\left\{ \begin{array}[m]{l}   x=\dfrac{4X}{X^2+Y^2+4}\\[1em]   y=\dfrac{4Y}{X^2+Y^2+4}\\[1em]   z=\dfrac{X^2+Y^2-4}{X^2+Y^2+4} \end{array} \right.$$

Les exemples suivants, extraits de la documentation, sont réalisés avec la commande 

\psInverseStereographicProjection[options] dont l'utilisation et les options sont dcrites dans la documentation.

Les fichiers sont téléchargeables ici :

  http://manuel.luque.free.fr/ProjectionStereographiqueInverse/psInverseStereographicProjection.zip

ou ici sur Drive :

Projection stéréographique inverse

 

Vue de dessus, dans l'axe $Oz$, en se plaçant très haut :

Vue de dessus, en positionnant la caméra au pôle nord $(z=1$).