Avec une sphère de rayon unité. $\Omega$ est le pôle nord. Le plan horizontal de projection est tangent au pôle sud.
\[O \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\quad
\Omega \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\quad
A \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\quad x^2+y^2+z^2=1
\quad
B \begin{pmatrix}
X \\
Y \\
-1
\end{pmatrix}
\quad
\overrightarrow{ \Omega A} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z-1
\end{pmatrix}
\quad
\overrightarrow{ \Omega B} \begin{pmatrix}
X \\
Y \\
-2
\end{pmatrix}
\]
\[
\overrightarrow{\Omega A}=k\overrightarrow{\Omega B} \Longleftrightarrow
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z-1
\end{pmatrix}
=k
\begin{pmatrix}
X \\
Y \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Le problème posé est le suivant : on donne les coordonnées d'un point $B$ du plan $z=-1$, il faut en déduire les coordonnées du point $A$ de la sphère $x=f(X,Y);y=g(X,Y);z=h(X,Y)$.
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
x=kX\\
y=kY\\
1-z=2k
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\begin{array}[m]{l}
x^2+y^2=k^2(X^2+Y^2)\\
k=\dfrac{1-z}{2}
\end{array}
\]
Sachant que $x^2+y^2=1-z^2$ on a, en remplaçant :
\[
1-z^2=\frac{(1-z)^2}{4}(X^2+Y^2)\Longrightarrow 4(1+z)=(1-z)(X^2+Y^2)
\]
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
x=\dfrac{4X}{X^2+Y^2+4}\\[1em]
y=\dfrac{4Y}{X^2+Y^2+4}\\[1em]
z=\dfrac{X^2+Y^2-4}{X^2+Y^2+4}
\end{array}
\right.
\]
Les exemples suivants, extraits de la documentation, sont réalisés avec la commande
\psInverseStereographicProjection[options] dont l'utilisation et les options sont dcrites dans la documentation.
Les fichiers sont téléchargeables ici :
http://manuel.luque.free.fr/ProjectionStereographiqueInverse/psInverseStereographicProjection.zip
ou ici sur Drive :
Projection stéréographique inverse
Vue de dessus, dans l'axe $Oz$, en se plaçant très haut :
Vue de dessus, en positionnant la caméra au pôle nord $(z=1$).
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