Les fichiers sont ici :
http://manuel.luque.free.fr/Mars-Saros/oppositions-rapprochees-Mars-Saros.zip
ou
xintcfrac est un module de https://www.ctan.org/pkg/xint de Jean-François Burnol.
Le saros
Sur le saros on peut lire le très bel article de Wikipedia :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Saros
Cependant à mon avis, le plus beau texte et le plus complet sur le sujet est celui écrit par Yakov Perelman(1882 - 1942) dans son livre : «L’astronomie récréative» dont la traduction française est parue en 1958 aux éditions en langues étrangères de Moscou. Il s’intitule “Pourquoi les éclipses se répètent-elles tous les 18 ans ?”
Comme ce livre est (en anglais) dans le domaine public, je me permets d’en extraire une grande partie du chapitre qui nous intéresse. Tout le texte suivant est donc de Yakov Perelman.
1. Le mois «synodique» ; intervalle de temps pendant lequel la Lune fait sur son orbite une révolution complète si on observe ce mouvement depuis le Soleil. C’est le temps s’écoulant entre deux phases égales de la Lune, par exemple, une nouvelle Lune et une autre nouvelle Lune. Il est égal à 29,5306 jours(29,530588853).
2. Le mois «draconitique» : intervalle de temps après lequel la Lune revient au même "nœud" de son orbite. (le nœud est l’intersection de l’orbite lunaire avec le plan de l’orbite terrestre). La durée d’un tel mois est de 27,2122 jours (27,212220817). Les éclipses, comme il est facile à comprendre, n’ont lieu qu’aux instants où la pleine ou de la nouvelle Lune se trouve dans un de ses nœuds : le centre de la Lune se trouve alors sur une même droite avec le centre de la Terre et du Soleil. Il est clair qu’une éclipse ne se reproduit qu’après un intervalle de temps comprenant un nombre entier de mois «synodiques» et «draconitiques», ceci puisque les conditions dans lesquelles ont lieu les éclipses se répètent alors.
Comment trouver ces intervalles de temps ? Pour cela il faut résoudre l’équation :
\[ 29.5306x=27.2122y\]
où $x$ et $y$ sont des nombres entiers. Écrivons cette équations sous forme d'une proportion :
\[\frac{x}{y}=\frac{272122}{295306}\]
et nous verrons que les solutions exactes minima de cette équation sont :
\[x=272122,\quad y=295306\]
On obtient une énorme période comprenant des dizaines de milliers d'années et pratiquement tout à fait inutile. Les astronomes de l'antiquité se contentaient d'une solution approximative. Ce sont les fractions continues qui fournissent un moyen facile de de trouver dans ce cas l'approximation nécessaire.
\[
\frac{295306}{272122}=1+\cfrac{1}{11+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{17+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{7}}}}}}}}}
\]
\[
1\rightarrow\frac{12}{11}\rightarrow\frac{13}{12}\rightarrow\frac{38}{35}\rightarrow\frac{51}{47}\rightarrow\frac{242}{223}\rightarrow\frac{1019}{939}\rightarrow\frac{17568}{16186}\rightarrow\frac{18584}{17125}\rightarrow\frac{147653}{136061}
\]
La cinquième fraction de cette série donne une précision suffisante. Si nous nous arrêtons là, c'est-à-dire si nous prenons $x=223$ et $y=242$, la période de répétition des éclipses sera égale à 223 mois synodiques ou à 242 mois draconitiques. Cela fait 6585 1/3 jours, soit 18 ans 11,3 jours (ou 10,3 jours) selon que cette période comprend 4 ou 5 années bissextiles.
Telle est l'origine du saros. Maintenant nous pouvons nous rendre compte du degré de précision avec lequel on peut prédire des éclipses avec son aide. Nous voyons qu'en prenant le saros égal à 18 ans et 10 jours, on rejette 0,3 jour. Cela fait que les éclipses prévues en cette période plus courte commenceront à une heure différente du jour que la fois précédente (environ huit heures plus tard). Et c'est seulement dans une période égale à trois saros précis que les éclipses se répéteront à la même heure du jour. De plus le saros ne tient pas compte des variations de la distance séparant la Lune de la Terre et la Terre du Soleil, variations qui ont leur périodicité propre ; l'éclipse de Soleil sera totale ou partielle en fonction de ces distances. Voilà pourquoi si le saros permet de prédire une éclipse à un jour déterminé, il ne permet pas d'affirmer que ce sera une éclipse totale, partielle ou annulaire. Il ne permet pas non plus de connaître s'il sera possible de l'observer du même lieu que précédemment.
Les oppositions rapprochées
Dans son livre «L’astronomie récréative» Yakov Perelman, montre et illustre que les époques d’éclat maximal de Mars et de son rapprochement maximum de la Terre se répètent environ tous les 15 ans, voici son texte :
La Terre fait un tour complet des son orbite en 365¼ jours, Mars en 687 jours. Si les deux planètes se sont rapprochées à une distance minimum, elles doivent se rapprocher à nouveau après un intervalle de temps contenant un nombre entier des années terrestres et martiennes. Autrement dit, il nous faut résoudre en nombres entiers l’équation :
$x=\dfrac{687}{365.25}y$
\[
\frac{687}{365.25}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{11}}}}}}
\]
\[
1\rightarrow2\rightarrow\frac{15}{8}\rightarrow\frac{32}{17}\rightarrow\frac{47}{25}\rightarrow\frac{79}{42}\rightarrow\frac{916}{487}
\]
En prenant l'approximation $\dfrac{15}{8}$ nous en déduisons que 15 années terrestres sont égales à 8 années martiennes. Il en résulte que les époques de rapprochement maximal de Mars doivent se répéter tous les 15 ans.
Voici les oppositions de Mars de 2018 à 2033.
La photo de Mars est de Damian Peach prise le 30 octobre 2020 :
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