Le triangle de Reuleaux - 3 : une propriété du triangle curviligne équilatéral dans le carré

Dans son livre “Principes fondamentaux d’une théorie générale des machines” Franz Reuleaux donne quelques propriétés du triangle curviligne équilatéral tournant dans un carré, en voici une telle qu’il l’énonce(dans la traduction de A. Debize) :
« Nous allons chercher à déterminer les trajectoires polaires, en supposant d’abord que la figure extérieure soit un carré. Pour trouver celle de ces trajectoires qui correspond au carré ABCD (fig. 102), imaginons qu’on imprime au triangle curviligne une rotation autour du pôle O. Dans la position initiale représentée sur la figure, ce point est le milieu de PQ et se trouve situé sur l’axe de symétrie RQ du carré. Si nous supposons maintenant que la rotation se fasse à gauche, le sommet P du triangle curviligne glissera, en descendant, le long du côté AD, tandis que 1e point B marchera vers C, sur le côté DC. Les normales en P et R se coupant toujours à angle droit, il en résulte que le pôle est
le lieu géométrique du sommet d’un triangle rectangle, dont l’hypoténuse glisse, par ses extrémités, sur les côtés d’un angle droit ; ce pôle est aussi toujours l’un des sommets d’un rectangle PDBO, dont la diagonale est constante et égale à PR. Par conséquent, la trajectoire polaire est un arc de cercle, décrit du point D, comme centre, avec un rayon égal à PR=PQ=AB, c’est-a-dire à la longueur du côté du carré. Cet arc doit être pris comme trajectoire jusqu’au point 2, pour lequel la distance de B au point C se trouve précisément réduite à celle qui sépare P de A. A partir de cette position, le
glissement de la corde PQ commence à se produire sur les côtés BA et AD; la trajectoire polaire correspondante est l’arc de cercle 2.5, identique au précédent; on obtient ensuite l’arc 5.4  et, finalement, l’arc 4.1 ou 4.0. La trajectoire polaire du carré est, par conséquent, un carré curviligne, qui se compose de quatre arcs de cercle, décrits des sommets du carré primitif, comme centres, avec la longueur du côté de ce carré pour rayon. »

En voici une animation dont les images ont été calculées avec PSTricks.

Dans le fichier pdf suivant, l'animation a été réalisée avec la package animate d'Alexander Grahn :

Triangle-Reuleaux

Si vous compilez le fichier TeX, le fichier fig102.eps (inclus dans l'archive) suivant doit être placé dans le même répertoire :