jeudi 1 septembre 2016

Les courbes de Bézier rationnelles quadratiques

Le package pst-bezier traitait uniquement des courbes de Bézier polynomiales. Cependant, s'il est parfait pour l'interpolation, il ne peut modéliser que des arcs de parabole.
Il vient d'être complété par une commande sur les courbes de Bézier rationnelles quadratiques, lesquelles jouent un rôle fondamental pour la modélisation d'arcs de coniques. L'utilisation de points massiques permet de généraliser les courbes de Bézier classiques et de modéliser des demi-cercles, des demi-ellipses, des demi-paraboles, des branches d'hyperboles dans le plan affine euclidien. Avec cette nouvelle commande les points de contrôle de la courbe de Bézier sont soit des points pondérés de poids non nul, soit des vecteurs que l'on affecte d'un poids nul.
À partir d'une courbe de Bézier quadratique donnée, il est possible de déterminer la nature et les caractéristiques de la conique définie par cette courbe.
Cette nouvelle approche des courbes de Bézier est issue de la thèse de Jean-Paul Bécar et des travaux de Lionel Garnier et de ses collègues. La documentation du package comprend un exposé sur ces courbes de Bézier rationnelles quadratiques ainsi que des références de documents récents.


La documentation comprend 2 animations incluses dans le pdf, voici une adaptation de l'une d'elles au format Gif :

L'animation suivante de Lionel Garnier, illustre les différentes étapes  servant à déterminer les caractéristiques de la parabole de Bézier polynomiale. Chaque image affiche les différents résultats obtenus à chaque étape, par applications successives d'un changement de paramètre homographique(cliquez sur le lien pour lancer l'animation), elle est dans l'archive :
Le cas suivant illustre les différentes étapes  servant à déterminer les caractéristiques de la parabole de Bézier non polynomiale(cliquez sur le lien pour lancer l'animation), elle est dans l'archive :
Sur ce dernier exemple, voici quelques explications de Lionel Garnier :
En fait, si ω0=ω1=ω2, via la formule du binôme de Newton, le dénominateur disparaît par simplification avec la valeur du poids du numérateur : la courbe est donc polynomiale et l'arc de parabole est borné. Si nous avons ω0=ω2=1 et ω1=-1, nous obtenons le complémentaire de l'arc précédent, le dénominateur s'annule pour t=1/2 et la courbe de Bézier est rationnelle.
En fait, les courbes de Bézier les plus utilisées sont les courbes polynomiales, mais les points à l'infini ne sont jamais atteints. Le modèle rationnel avec les points massiques est beaucoup plus riche puisque les points à l'infini sont atteignables et nous pouvons modéliser des arcs de coniques propres (bornées ou non) ainsi que les arcs non bornés de paraboles.
Cependant, la commande du package ne permet pas d'accéder aux caractéristiques de la conique. Une commande supplémentaire (qui hélas n'est pas compatible avec celle du package) permet d'obtenir les caractéristiques d'une parabole ou d'une ellipse (foyer et directrice de la parabole, centre, grand axe et petit axe pour l'ellipse) : il reste à traiter le cas de l'hyperbole. C'est une adaptation des fichiers Pov-Ray de Lionel Garnier.





Les fichiers concernant ces dernières images et l'animation Gif sont dans l'archive :


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