Les rosaces de Maurer

À partir de l'équation polaire d'une rosace (rhodonea, rose) : $r=\sin(n\theta)$ ou ($r=\cos(n\theta)$), Peter M. Maurer, dans l'article ``A Rose is a Rose...'' imagine (Il semble probable que l'idée lui soit venue des tableaux réalisés avec des fils tendus à partir de pointes fichées sur une planche(string art) et qu'on illustre en géométrie par les courbes enveloppes de droites)  de tracer des segments de droite joignant une succession de points de la rosace définis par $\theta=\theta_0+kd$, $d$ est l'incrément, jusqu'à revenir au point de départ. Il prend $\theta_0=0$ et il remarque que le nombre de traits pour revenir au point de départ vaut $\dfrac{360}{\mathrm{PGCD}(360,d)}$ si $n$ est pair et $\dfrac{180}{\mathrm{PGCD}(360,d)}$ si $n$ est impair, $n$ fixant le nombre de pétales suivant la parité(2$n$ si pair et $n$ si impair). Si $d$ et $360$ ou $180$ selon $n$, sont premiers entre eux, le polygone aura un grand nombre de côtés, par exemple si $d=97$ et $n$ pair, on tracera $\dfrac{360}{1}=360 $ traits pour revenir au point de départ, c'est l'algorithme A. Mais Peter M. Maurer fait une autre remarque :  “Beaucoup de dessins ne contiennent que quelques lignes, et beaucoup se composent d'un seul point. Il serait esthétiquement agréable de se débarrasser de ces figures dégénérées". Par exemple si $d=72$ et $n=4$, la suite de lignes se ferme au bout de 5 traits.

Pour remédier à ce problème il propose l'algorithme B. Schématiquement, il consiste à répéter l'algorithme A, mais en décalant chaque fois l'origine initiale.

Dans son article,  Peter M. Maurer ne considère que le cas où le nombre de divisions est 360, cependant on peut obtenir une plus grande variété de figures en considérant le cas de $z$ divisions de 360 avec $z\leqslant360$, c'est ce qu'on fait Jay Warendorff dans son adaptation à Mathematica : {https://demonstrations.wolfram.com/MaurerRoses/ et Gregg Helt dans son article :
``A Rose by Any Other Name\ldots''
 https:/archive.bridgesmathart.org/2016/bridges2016-445.pdf, d'où les équations :
\[
\theta=(\theta_0+kd)\frac{360}{z}\quad ; \quad r=\sin(n\theta)
\]
\[
\left\{
\begin{array}[m]{l}
  x=r\cos(\theta)\\
  y=r\sin(\theta)
\end{array}
\right.
\]

La commande \psMaurerRose permet d'explorer l'idée de Peter M. Maurer. Le package et la documentation sont téléchargeables ici :
 http://manuel.luque.free.fr/pst-Maurer-Rose/pst-maurerrose.zip
ou ici :
pst-maurerrose.zip
Voici les exemples extraits de la documentation :