Roues adaptées aux routes à profil périodique défini par une série de Fourier - suite 1

La roue épouse le profil de la route, mais c'est sur 3 périodes de la route que la roue fait un tour.

Les fichiers (Route-fourier-3tours.pdf et Route-fourier-3tours.tex) dans :

RoadsAndWheels 

N'oubliez pas d'inclure dans le répertoire le package pst-solve (voir le message précédent). Tous les fichiers utiles sont dans ce répertoire.


Sur 4 périodes :

Roues adaptées aux routes à profil périodique défini par une série de Fourier

Dans le document de LEON HALL et STAN WAGON : “Roads and Wheels”, qu’ils ont publié en 1992, dans la revue “Mathematics Magazine”, vol.65 :

http://web.mst.edu/~lmhall/Personal/RoadsWheels/RoadsWheels.pdf

les auteurs généralisent, à partir de la page 295, les solutions en définissant le profil de la route à partir d’une série de Fourier, ce profil reste donc périodique mais avec des vallonnements beaucoup plus variés qu’un simple profil sinusoïdal.

pstricks.blogspot.fr/2014/06/des-roues-pour-des-routes-au-profil.html

Les calculs sont un peu plus compliqués, mais tout à faut réalisables avec PSTricks.

Le fichier suivant contient tous(je l'espère) les renseignements pour réaliser ces animations( roues-route-Fourier.pdf et  roues-route-Fourier.tex)

RoadsAndWheels

La plupart des packages utilisés sont disponibles sur le serveur du CTAN. Seul le package pst-solve est à télécharger au même emplacement que le fichier source du document et, éventuellement, la documentation de ce package.

Approximation d’un polygone régulier par une série de Fourier avec une commande PSTricks

Il s'agit du développent en série de l'équation polaire du polygone, par une commande permettant de fixer le nombre de côtés (N) et le nombre de termes de la suite (n). Voici quelques exemples, le calcul est très rapide.

Les fichiers :
http://manuel.luque.free.fr/Fourier-Polygones/Exemples-Fourier-polygones.tex
http://manuel.luque.free.fr/Fourier-Polygones/Exemples-Fourier-polygones.pdf

Remarque : s'il y a un problème à cause des fontes Garamond à la compilation, supprimez cette ligne dans l'en-tête :
\usepackage[garamond]{mathdesign}

Des roues pour des routes au profil sinusoïdal

Toujours inspiré par l'article de LEON HALL et STAN WAGON, voici des  roues pour des routes au profil sinusoïdal.
Une animation pour n=2 :

Animation pour n=3 :

Animation pour n=4:

Animation pour n=5 :

Une autre animation pour n=6:

Le fichier (Gif-animation-roues-pour-route-sinusoidale-n6.tex) générant les images pour créer le Gif animé ci-dessus dans le répertoire :

RoadsAndWheels

Ci-dessous, quelques images du document, des animations sont incluses dans le pdf, fichiers (roues-pour-route-sinusoidale.pdf roues-pour-route-sinusoidale.tex) dans le réppertoire ci-dessus.

Vous trouverez quelques animations un peu plus détaillées dans les fichiers suivants :
animation-roues-pour-route-sinusoidale-n1.pdf et animation-roues-pour-route-sinusoidale-n1.tex

animation-roues-pour-route-sinusoidale-n2.pdf et animation-roues-pour-route-sinusoidale-n2.tex

animation-roues-pour-route-sinusoidale-n3.pdf et animation-roues-pour-route-sinusoidale-n3.tex

qui sont dans le répertoire :

  RoadsAndWheels

N'oubliez pas d'inclure le fichier Road-Wheels.pro dans le même répertoire que les précédents, si vous souhaitez compiler les fichiers .tex

Une ellipse comme roue et la route adaptée à une telle roue

Une roue adaptée à une forme de route donnée, ou inversement, de telle sorte que le moyeu de la roue reste à hauteur constante, c’était le sujet d’un amusant article de IAN STEWART, intitulé “Rolling Stones”, publié dans le numéro 188 de juin 1993 de la revue “Pour la Science”.
L'article précédent avait déjà ce problème pour thème.

http://pstricks.blogspot.fr/2014/06/cardioide-roulant-sur-une-cycloide.html

Aujourd'hui, on s'intéresse au cas où la roue est une ellipse, avec deux possibilités :

• L’axe de la roue est le centre de l’ellipse ;
• l’axe de la roue est l’un des foyers de l’ellipse.

Sur ce sujet, LEON HALL et STAN WAGON ont publié, en 1992, dans la revue “Mathematics Magazine”, vol.65 un remarquable article très complet : “Roads and Wheels”, avec des exemples inédits, il est cité dans l’une des références de l’article de IAN STEWART.

http://web.mst.edu/~lmhall/Personal/RoadsWheels/RoadsWheels.pdf

J'utilise les principaux résultats de leur magistral article, pour représenter avec PSTricks les 2 exemples .

Des animations, un peu plus complètes, ont été réalisées avec le package animate d'Alexander Grahn, elles sont incluses dans le fichier pdf (fichiers animation_ellipse_centre.pdf animation_ellipse_centre.tex et  animation_ellipse_foyer.pdf animation_ellipse_foyer.tex dans :

RoadsAndWheels

Je reprends dans le document une étude détaillée de ces 2 cas, fichiers :
(Road-Wheels.pdf Road-Wheels.tex Road-Wheels.pro) du répertoire ci-dessus.

N'oubliez pas d'inclure le fichier Road-Wheels.pro dans le même répertoire que les précédents, si vous souhaitez compiler le fichier .tex

Cardioïde roulant sur une cycloïde

Pour compléter les 2 précédents articles dédiés à des représentations de la cardioïde :
http://pstricks.blogspot.fr/2014/06/cardioide-comme-enveloppe-des-cercles.html
http://pstricks.blogspot.fr/2014/05/cardioide-comme-enveloppe-des-cercles.html
 Voici le véhicule roulant sur une cycloïde sans que les passagers ne s'en trouvent incommodés de telle sorte que tout se passe comme s'ils étaient dans un véhicule ordinaire, la route étant toujours bien droite et horizontale.

On peut imaginer un véhicule tout-terrain, à condition d'adapter les roues au profil de la route.
Ian Stewart aborde ce problème, de façon amusante, dans le numéro de Pour la Science de juin 1993.
Alain Esculier, a pris pour point de départ cet article et a calculé de superbes animations visibles sur sa page :
http://aesculier.fr/fichiersMaple/rouesdroles/rouesdroles.html

Je n'oublierai pas de mentionner le site de Robert Ferréol qui contient une page très détaillée sur ce thème :
http://www.mathcurve.com/courbes2d/engrenage/engrenage2.shtml

Le document dont vous trouverez le lien à la fin, contient quelques informations supplémentaires. Voici quelques images extraites de ce document, dont les animations ont été réalisées et incluses dans le fichier pdf grâce au package animate d'Alexander Grahn.

Les fichiers (roue-cardioide.pdf et roue-cardioide.tex) sont dans :

cardioid-damier

Cardioïde comme enveloppe des cercles + damier + coloriage (suite)

C'est un complément à la version écrite précédemment :

Cardioïde comme enveloppe des cercles + damier 

Les nouveaux fichiers sont toujours ici :

cardioid-damier

J'ai rajouté le coloriage des lunules formées par deux cercles consécutifs. J'ai vu que ce type de coloriage était appelé ``hibou'' dans un livre d'activités mathématiques de 5^e.

 

Du côté de la physique, je permets de rappeler les documents suivants, qui complèteront cette partie mathématique : :

http://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-caustic/ 

avec en particulier celui-ci concernant  :

Caustique de miroirs paraboliques et sphériques avec PStricks

Et pour terminer le coloriage type ``oignon'' :