Collisions de Galperin et π

La méthode de G.Galperin pour calculer $\pi$ avait été présentée dans la page :
http://pstricks.blogspot.com/2019/04/la-methode-de-ggalperin-pour-calculer.html

Jean-François Burnol a reconsidéré ce problème et en propose une étude originale et innovante dans un document en deux parties que l'on peut télécharger ici :

 Galperin-JFB-I-II

En voici une brève présentation.
Dans la première partie sont établis : le nombre de collisions, les vitesses après n collisions(suivant la parité de n), les emplacements des collisions  donnés par récurrence et les instants de collisions. Cette partie se conclut par des remarques sur "l’observation amusante de Galperin : pour calculer des décimales de $\pi$ on peut compter les collisions de deux boules de masses différentes convenablement choisies..."
Voici l'illustration du cas particulier où après la dernière collision, la bille $B_1$ reste sur place à la position qu'elle occupait initialement, tandis que la bille $B_2$ part avec la vitesse initiale qu'elle possédait mais dans l'autre sens.

La seconde partie est intitulée "Une limite du système des collisions élastiques de deux boules avec mur réflecteur, lorsque le rapport des masses est infini".
Après un rappel des résultats de la première partie :
Boules $B_1$ de masse $m_1$, $B_2$ de masse $m_2\geq m_1$. La boule $B_1$ est immobile à  distance $X$ du mur réflecteur en $x=0$, la boule $B_2$ est animée d'une vitesse $V$ négative et vient heurter $B_1$ par la droite.
L'auteur y introduit la notion de "Ligne d’univers hyperbolique" pour les boules.
Voici quelques idées suivies par l'auteur (il s'agit de son texte, on se reportera au texte complet, ci-dessous un dessin extrait du document pour donner un sens aux propos qui suivent) :

Afin de donner une interprétation géométrique de la trajectoire dans l'espace-temps de $B_2$ en termes de tangentes à une hyperbole (qui correspondrait au cas idéal d'un nombre infini de collisions avec $B_1$ de masse nulle) :
D'abord $B_2$ se déplace le long de l'asymptote dans le passé à l'hyperbole $\mathcal{H}$.
À un certain moment elle heurte la boule $B_1$. Elle prend alors la direction de l'unique tangente à l'hyperbole qui passe par sa position $(x,t)$.
Elle poursuit sur cette tangente au-delà du point de contact jusqu'à se trouver sur une autre hyperbole c$\mathcal{H}$ qui est $\mathcal{H}$ modulo une multiplication des $x$ par un coefficient c.
C'est la deuxième collision avec $B_1$ et la trajectoire est alors modifiée pour suivre à nouveau une tangente à $\mathcal{H}$ etc...
Les paramètres sont liés par la relation suivante :
en supposant que les droites asymptotes à l'hyperbole s'intersectent en $(0, 0)$
Si $X$ est la position du premier choc et $x_0$ celle du sommet de l'hyperbole, alors
$c = \cos(\phi)$ avec $\phi$ l'angle du triangle rectangle de côtés $X$ et $x_0$, soit encore
$\tan(\phi) = x_0/X$,
$\sin(\phi) = x_0/\sqrt{x_0^2+X^2}$,
et donc
$c = X/\sqrt{x_0^2 + X^2}$
Physiquement $X/x_0$ est la racine carrée du rapport des masses.
L'hyperbole étant donnée (d'asymptotes de pentes -V et +V respectivement) dans l'espace-temps, on voit que le processus géométrique est entièrement déterminé par la position de la première collision sur l'asymptote passée.
Il est probable que si l'on n'impose pas que cette position ait une abscisse à droite du sommet, ça donne les collisions d'une boule légère sur une boule massive au lieu d'une boule massive sur une boule légère (elle-même heurtant le mur réflecteur).
La seconde hyperbole c$\mathcal{H}$ est déterminée géométriquement comme devant passer par le point dans l'espace-temps de la première collision et provenant de $\mathcal{H}$ par un changement d'échelle des $x$ (toujours avec asymptotes se croisant en $(0, 0)$).

Cet ensemble de 2 articles est très riche, remarquable en bien des points ! Un humour léger, parfois caustique teinte toutes les démonstrations qui sont exposées avec une précision mathématique rigoureuse.  Le texte plaisant à lire, l'auteur possède d'évidentes qualités d'écriture, nous offre un exposé complet et original du problème imaginé par Galperin.

On peut aussi télécharger les documents de Jean-François Burnol ici :

https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/