Les fichiers à compiler :
http://manuel.luque.free.fr/Alkanes/pst-alkanes.zip
ou
C'est un package pst-alkanes comprenant cinq commandes pour représenter les molécules de méthane, éthane, propane, cyclohexane conformation chaise et bateau.
Quelques exemples de la documentation et des animations réalisées avec le package :
Les fichiers à compiler :
http://manuel.luque.free.fr/Alkanes/Methane.zip
ou
La molécule de méthane $\mathrm{CH_4}$ est constituée d'un atome de carbone placé au centre d'un tétraèdre régulier dont les sommets sont occupés par les atomes d'hydrogène. Déterminons l'angle entre deux liaisons $\mathrm{C-H}$.
Nous représentons ci-après le tétraèdre $\mathrm{ABCD}$ dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux de côté $a$. Sur la hauteur issue du sommet $\mathrm{D}$ sur la face $\mathrm{ABC}$, le centre de gravité $\mathrm{G}$ est situé au quart de la hauteur en partant de la base $\mathrm{ABC}$ : $\mathrm{HG=\dfrac{HD}{4}}$ et au trois-quarts en partant du sommet : $\mathrm{DG=\dfrac{3}{4}DH}$, on en déduit que $\mathrm{\dfrac{GH}{GD}=\dfrac{1}{3}}$. $\mathrm{G}$ est équidistant des sommets~: $\mathrm{GA=GB=GC=GD}$.
La molécule de méthane a déjà été dessinée avec pst-solides3d, vous la retrouverez avec d'autres exemples de molécules dans la documentation du package, le code est écrit en postscript avec les macros spécifiques de pst-solides3d.pro écrites par Jean-Paul Vignault en utilisant la commande \codejps. Cette fois-ci ce sont uniquement les commandes de pst-solides3d.tex qui sont utilisées. Les différentes étapes :
Les animations :
Les fichiers à compiler :
http://manuel.luque.free.fr/Alkanes/Methane.zip
ou
Construction des phases de la Lune par Jürgen Gilg
La Lune vue de la Terre, étant donné la grande distance entre Terre et Lune considérons que les rayons réfléchis par la Lune qui parviennent à l'observateur sont parallèles, c'est la direction d'observation.
Le premier schéma est vu du dessus de la Lune, le second est ce que voit l'observateur terrestre.
Les rayons du Soleil viennent du côté droit, alors la face droite de la Lune est illuminée.
La Lune a un rayon $r$.
Le point $D$ est à une distance $r\cos\alpha$ du centre du cercle.
Le croissant de Lune illuminé est composé d'une courbe extérieure (arc d'un cercle) et d'une courbe intérieure (arc d'une ellipse).
L'arc du cercle a un rayon $r$.
L'arc d'ellipse a pour demi-axes $a=r\cos\alpha$ et $b=r$.
Les fichiers de Jürgen Gilg sont téléchargeables ici :
http://manuel.luque.free.fr/Phases-Lune/construction-phases-Lune.zip
ou
Construction des phases de la Lune
Une animation au format SVG ;
http://www.le-gilgomat.de/phaseslune.html
Une deuxième version(les fichiers ont été mis à jour avec cette version) :
Les phases de la Lune avec pst-solides3d et xintexpr
Le fichier :
http://manuel.luque.free.fr/Phases-Lune/phases-lune.tex
à compiler : Latex -> dvips -> ps2pdf
convert -delay 25 -density 100x100 phases-lune.pdf[1-1000] -loop 0 phases-lune.gif
Il existe une version avec Mathematica, de Marvin De Jong (March 2011)
plus complète et plus rapide :
https://demonstrations.wolfram.com/MotionOfTheMoonPhases/
Le Gif obtenu avec les commandes précédemment citées :
Les nombres polygonaux est un thème qui a été et est abondamment traite et illustré, une recherche avec pour sujet "polygon numbers" vous en convaincra, c'est un domaine avec schémas, propriétés, théorèmes, généralisations, aussi vaste qu'un océan. Je ne connaissais pas ces nombres et c’est la lecture d’un article de la revue Quadrature n° 121 : Les nombres polygonaux est un thème qui a été et est abondamment traite et illustré, une recherche avec pour sujet "polygon numbers" vous en convaincra, c'est un domaine avec schémas, propriétés, théorèmes, généralisations, aussi vaste qu'un océan. Je ne connaissais pas ces nombres et c’est la lecture d’un article de la revue Quadrature n° 121 https://www.quadrature e.info/ intitulé : ``Au sujet des nombres polygonaux'' de Günhan Caglayan qui m'a permis de les découvrir, je recopie la première phrase de son article :
«
Le n-ième nombre k-gonal $ p_n^k $ peut-être défini en référence aux nombres triangulaires $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ par l'équation $p_n^k=n+(k-2)T_{n-1}$, ou de manière équivalente et plus explicite par l'équation :
\[
2p_n^k=(k-2)n^2-(k-4)n
\]
La représentation choisie est un peu différente de la majorité des représentations où les nombres sont représentés par des points, ici les nombres sont écrits aux sommets correspondants du polygone.
La suite des nombres polygonaux s'affiche en rouge sur le coté gauche, en bleu ce sont les nombres ajoutés sur la dernière ``couche''.
La commande s’écrit \psPolygonalNumbers[options].
Vous trouverez la suite et des exemples dans la documentation du package :
http://manuel.luque.free.fr/pst-polygonal-numbers/pst-PolygonalNumbers.zip
ou
Ci-après une animation et des exemples tirés de la documentation :
Le calcul des 78498 nombres premiers inférieurs à 1000000 calculés avec TeX et présentés avec LaTeX sous forme d'un tableau de 161 pages où les nombres sont alignés sur 10 colonnes, au choix dans l'ordre verticalement ou horizontalement en moins de 2 s !
Le calcul des 664 579 nombres premiers inférieurs à 10 000 000 demande pratiquement moins d'une minute pour les deux versions, la construction du pdf de 1357 pages demande un peu plus de temps(il faut être un peu plus patient) !
C'est la contribution de Jean-François Burnol à un challenge "Primes | A Software Drag Race"
https://github.com/PlummersSoftwareLLC/Primes
https://github.com/PlummersSoftwareLLC/Primes/tree/drag-race/PrimeTeX
Pour ceux qui sont sous Windows :
Avec Windows et PowerShell faire :
lualatex "\def\Range{10000000}\input wheel_primestopdf_h.tex"
lualatex "\def\Range{10000000}\input wheel_primestopdf_v.tex"
pour lister les nombres dans un pdf
ou
latex "\def\Range{10000000}\input wheel_primestopdf_h.tex"
pour le dvi puis dvi2pdf
Avec wheel_primestopdf_h.tex les nombres sont listés par ordre croissant ligne après ligne,
avec wheel_primestopdf_v.tex les nombres sont listés par ordre croissant colonne après colonne.
Sur le site : https://github.com/PlummersSoftwareLLC/Primes vous y verrez les très nombreuses contributions dans différents langages, une autre que celle en TeX a retenu en particulier mon attention celle en PostScript pour le calcul des 78498 nombres premiers inférieurs à 1000000, avec en supplément la possibilité de créer une image bitmap 1000x1000 où chaque carré noir représente un nombre premier.
Sous Windows :
gswin64c.exe -q -dNOSAFER -dNOPAUSE -dBATCH -sDEVICE=bmpmono -o img.bmp -g1000x1000 -f img.ps
Il s'est agit de créer une commande permettant de superposer les systèmes de coordonnées horizontales et équatoriales comme l'a déjà fait le professeur Kim :
https://web.njit.edu/~hmkim/phys322/Phy_322_Basics_2019Spring.pdf
Les fichiers sont ici :
http://manuel.luque.free.fr/milkyway/pst-eqhz.zip
ou
Les 3 images de la documentation.Le personnage est Basile le disciple de Léonard(de Vinci), dans la bande dessinée ``Léonard'' de Turk et Bob de Groot.
Le cercle du zodiaque avec PSTricks par Jürgen Gilg, avec les saisons.
http://manuel.luque.free.fr/milkyway/ZodiacCircle.zip
Différents systèmes de coordonnées en astronomie illustrés avec PSTricks par Jürgen Gilg.
Dans le package pst-coordinatesystems trois commandes sont disponibles pour permettre de représenter :
- les coordonnées équatoriales ;
- les coordonnées écliptiques ;
- les coordonnées horizontales.
Les fichiers sont accessibles avec les liens suivants :
http://manuel.luque.free.fr/milkyway/pst-coordinatesystems.zip
http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr
Les triangles équilatéraux dont les côtés ont pour longueur les nombres de la suite de Padovan s'enroulent dans le sens des aiguilles d'une montre.
Tous les sommets sont sur une spirale avec des arrondis parfaits, aucune discontinuité dans le tracé, de quoi est-il constitué ?
Êtes-vous observateur ? Dans chaque triangle il y a, au centre, la longueur du côté, ce sont les nombres de la suite de Padovan qui s'enroulent et vérifient :
\begin{equation*}
u_n = u_{n-2} + u_{n-3}
\end{equation*}
mais Jean-François Burnol a fait remarquer que cette suite, pour $ n \geqslant 5 $ vérifie une autre relation de récurrence, laquelle ?
Cette représentation de la spirale de Padovan, un bel ouvrage de marqueterie, a été créée par Jean-Michel Sarlat avec xint pour les calculs(à voir comme un exemple de l'utilisation de la récursivité avec xint) et PSTricks pour sa représentation.
https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/
La voici avec PSTricks calculée avec PostScript :
http://manuel.luque.free.fr/Nombre-Plastique/psPadovanSpiral-pstricks.pdf
http://manuel.luque.free.fr/Nombre-Plastique/psPadovanSpiral-pstricks.tex
Les termes de la suite sont calculés par récursion, nous ne pourrons jamais aller aussi loin qu'avec XINT, mais pour un dessin c'est bien suffisant.
Pour la récursivité en PostScript, il y a un excellent cours et des exemples superbes dans le document d' André Heck : "Learning PostScript by Doing" :
https://staff.science.uva.nl/a.j.p.heck/Courses/Mastercourse2005/tutorial.pdf
Je m'en suis largement inspiré. Pour la suite de Padovan on écrira :
/Padovan {
2 dict begin
/n exch def
n 3 gt {
n 3 sub Padovan n 2 sub Padovan add
}{
n 1 eq n 2 eq or n 3 eq or {1} if
} ifelse
end
} bind def
% le 48 ème terme s'obtiendra par
48 Padovan ==
C'est un supplément à l'article :
http://pstricks.blogspot.com/2021/07/le-nombre-plastique-avec-xint-et-pst.html
Nous avions pour calculer $\Psi$ proposé 4 méthodes :
- à partir de cette expression
$$\Psi=
\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots}}}}}}}
$$
avec xintexpr
- en résolvant l'équation $x^3-x-x=0$.dont $\Psi$ est la racine réelle. Pour cela, sur la suggestion de Jürgen Gilg c'est le package polexpr qui a été utilisé, et Jean-François Burnol en a développé l'idée, son utilisation est très détaillée et on peut obtenir bien plus de renseignements que de taper par exemple : Solve[x^3-x-x1==0,x] sur Mathematica, le calcul étant fait in-situ, le document se compose en harmonie avec la succession des calculs.
- à partir de la relation de récurrence linéaire :
\[
u_0=1\ ;\ u_1=1\ ;\ u_2=1\ ;\ u_n=u_{n-2}+u_{n-3}
\]
en utilisant xintexpr
- à partir de la relation de récurrence quadratique :
On considère la suite $(u_n)$ telle que $u_0$, $u_1$,$u_2$ valent $0$, $0$, $1$. Les
formules de récurrence suivantes pour trois valeurs d'indices consécutifs, l'indice milieu étant une puissance de $2$ s'écrivent :
\begin{align*}
u_{1+2^{n+1}} &= 2 u_{1+2^n} (u_{2^n} + u_{-1+2^n}) + u_{2^n}^2\\
u_{2^{n+1}} &= u_{1+2^n}^2 + u_{2^n}^2 + 2 u_{2^n}u_{-1+2^n} \\
u_{-1+2^{n+1}} &= 2u_{1+2^n}u_{2^n} + u_{-1+2^n}^2
\end{align*}
Pour la démonstration de ces relations, consultez le document "padovan-jfbu.pdf" intitulé "CALCUL PAR EXPONENTIATION RAPIDE DE TERMES DE LA SUITE DITE DE PADOVAN" inclus dans l'archive .zip. Comme exemple, cette façon a été utilisée pour calculer 6000 chiffres après la virgule.
Cette fois-ci Jean-François Burnol propose une comparaison sur la rapidité des calculs entre la récurrence linéaire et la quadratique.
Dans son document "PadovanLinVsQuad.pdf" (Le nombre plastique)
https://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr/
où comme toujours à son habitude, calculs et commentaires se complètent, il apparaît que les calculs par récurrence quadratique sont d'une rapidité qui surpasse ceux par récurrence linéaire.
Par exemple pour 1000 chiffres :
- Linéaire : 14.659s
- Quadratique : 0.435s
avec le processeur : Intel(R) Core(TM) i5-4440 CPU @ 3.10GHz
http://manuel.luque.free.fr/Nombre-Plastique/Padovan-Suite.zip
La revue Tangente vient de sortir son deux-centième numéro ! Il y a un article examinant le nombre 200.sous différents aspects, il y en a peu, mais il se trouve que 200 est l'un des termes de la suite de Padovan, dont on sait que le rapport de deux termes consécutifs tend vers le Nombre Plastique : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_plastique
et ainsi l’auteur de l’article Daniel Lignon, trouve le prétexte pour donner quelques aspects de cette suite dans un paragraphe intitulé “La géométrie du plastique”. Dans le “Pour la Science” n°206 d’août 1996, Ian Stewart, dans un article intitulé “La sculpture et les nombres” sous-titré : “Comme le nombre d’or, le nombre plastique inspire les sculpteurs” développe de façon plus détaillée cette “géométrie” :
« Une autre façon de construire les nombres de Padovan consiste à reproduire l'utilisation des carrés pour les nombres de Fibonacci, mais avec des parallélépipèdes. Partons d'un cube de côté égal à 1, et plaçons à côté de lui un autre cube identique, adjacent par une face. On obtient un parallélépipède dont deux côtés sont égaux à 1, et le troisième côté est égal à 2 (parallélépipède $1\times1\times2$).
Contre la face $1\times2$, plaçons un autre parallélépipède $1\times1\times2$. Nous obtenons un parallélépipède $1\times2\times2$.
Puis, contre une face $2\times2$, plaçons un cube $2\times2\times2$, afin de former au total un parallélépipède $2\times2\times3$.
Contre une face $2\times3$, plaçons un parallélépipède $2\times2\times3$, afin d'obtenir un parallélépipède $2\times3\times4$, et ainsi de suite en ajoutant successivement des parallélépipèdes à l'Est, au Sud, en bas, à l'Ouest, au Nord, et en haut. À chaque étape, le nouveau parallélépipède a pour longueur des côtés trois nombres de Padovan consécutifs. »
Nous allons d'abord donner 3 façons de calculer $\Psi$ avec une précision aussi grande que l'on veut. Jean-François Burnol, a apporté son concours décisif à la mise au point de ces méthodes, puis la représentation géométrique de la suite selon Ian Stewart.
Le texte qui suit n'est qu'un échantillon du document principal et des fichiers annexes que vous trouverez dans l'archive :
http://manuel.luque.free.fr/Nombre-Plastique/Nombre-Plastique.zip
ou
Méthode avec les racines cubiques
\[
\Psi=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots}}}}}}}
\]
% Ne pas oublier le * !
% Sinon les puissances fractionnaires calculées avec seulement 16 chiffres de précision!
\xintDigits* := 64;% de toute façon la précision de racine cubique pas au-delà
% de 62 chiffres, et 64 chiffres sont conservés au max
\xintdeffloatfunc cbrt(x):=x^(1/3);%
\xintdeffloatfunc plast(x):=(x+1)^(1/3);%
\pdfresettimer
\xintdeffloatvar n := 1;%
\def\x{0}%
\xintloop
\edef\x{\the\numexpr\x+1}%
\xintdeffloatvar m:=plast(n);%
\xintifboolexpr{abs(n-m)>1e-62}{\xintdeffloatvar n:=m;\iftrue}{\xintdeffloatvar n:=m;\iffalse}%
\repeat
\edef\tempsA{\strip@pt\dimexpr\pdfelapsedtime sp}%
$\Psi=\xinteval{n}\quad (\x\textrm{ itérations}, \tempsA s)$
$\Psi= 1.32471795724474602596090885447809734073440405690173336453401505$ (87 itérations, 2.72299s)
Méthode par calculs exacts de 100 décimales
\[
u_0=1\ ;\ u_1=1\ ;\ u_2=1\ ;\ u_n=u_{n-2}+u_{n-3}
\]
\[
U_0=(a_0=1, b_0=1, c_0=1); U_{n+1}=(b_n, c_n, a_n + b_n); \Psi_n = \frac{c_n}{b_n}
\]
\pdfresettimer
\xintdefvar a, b, c := 1, 1, 1;%
\xintiloop [1+1]%
\xintdefvar a, b, c := b, c, a + b ;%
% là aussi faudrait peut-être chercher un critère d'arrêt
% J'ai voulu déterminer par dichotomie en partant de 300 et en réduisant...
% ... c'est rapide mais en fait faut pas baisser en-dessous de 2 * 267
% itérations...
% faudrait faire ça de manière dynamique comme avec les racines cubiques
% mais ça ralentirait...
\ifnum\xintiloopindex<534
\repeat
% afficher la fraction avec 98 chiffres après la virgule (expansion décimale
% sans arrondi juste troncation)
\edef\chiffres{\xinteval{trunc(c/b,98)}}%
\edef\tempsC{\strip@pt\dimexpr\pdfelapsedtime sp}%
\makeatother
Obtenu en \tempsC s et 534 itérations :\newline
$\Psi=\chiffres...\relax$
\makebox[2.5cm][l]{numérateur :} \xinteval{c}
\makebox[2.5cm][l]{dénominateur :} \xinteval{b}
Fraction irréductible :
$\xintTeXFrac{\xinteval{reduce(c/b)}}$
Facteur commun :
$\xinteval{gcd(c,b)}$
Obtenu en 0.185s et 534 itérations :
$\Psi== 1.32471795724474602596090885447809734073440405690173336453401505030282785124554759405469934798178728...$
Le nombre plastique par résolution de l’équation avec 98 puis 199 décimales
Racine réelle de $x^3 = 1 + x $
On aborde le problème avec polexpr. Se souvenir de ses commandes...
\poldef f(x) := x^3 - x -1;
\PolToSturm{f}{f}
\PolSturmIsolateZeros{f}
Le polynôme \PolTypeset{f} possède \PolSturmNbOfIsolatedZeros{f} racines réelles distinctes qui sont situées dans les intervalles suivants : \PolPrintIntervals{f}
Calculer le nombre plastique avec 499 chiffres après la virgule, avec xintsession
Si vous souhaitez utiliser ce calculateur, rendez vous sur :
https://www.ctan.org/pkg/xintsession}{xintsession
La méthode utilisée est celle mise au point par Jean-François Burnol qu'il a intitulée ``Calcul par exponentiation rapide des termes de la suite dite de Padovan'', les fichiers ``padovan-jfbu.tex, padovan-jfbu.pdf'' sont dans l'archive : Nombre-Plastique.zip
Calculer le nombre plastique avec 6000 chiffres après la virgule
Le fichier ``Phi6000.tex'' est à compiler par : etex Phi6000.tex.
Le préambule suivant débute la compilation :
« Bienvenue ! Nous allons calculer Phi avec 6000 chiffres après la virgule.
Un peu de patience est demandée car cela prend environ (sur ma machine à 2GHz) 35 secondes pour trouver Phi puis près de 40 secondes pour valider que$ \Psi^3 =\Psi + 1$ à cette précision.
Vous trouverez après compilation les valeurs dans le fichier Phi6000-out.txt . »
La géométrie plastique
C'est la méthode de Ian Stewart qui est utilisée. Vous allez visualiser ci-dessous dex gifs
Dans le fichier principal l'animation est réalisée avec le package animate d'Amexander Grahn.
les fichiers servant à générer les images des Gifs sont dans l'archive :
http://manuel.luque.free.fr/Nombre-Plastique/Nombre-Plastique.zip
ou
L'héliolabe est un petit appareil cousin de l'astrolabe. Il est dédié au Soleil et permet de réaliser plusieurs mesures concernant cet astre à une date donnée :
- l'heure du lever et du coucher, du passage au méridien
- la déclinaison
et il permet bien d'autres observations qui sont décrites dans l'article des cahiers de Clairaut (revue du comité de liaison enseignants-astronomes).
Cet article décrit la procédure à suivre permettant de calculer et construire un héliolabe pour une latitude donnée.
Le projet de Jean-Michel Sarlat et Jürgen Gilg a consisté à calculer et dessiner un héliolabe valable pour toute latitude, permettant d'afficher l'instrument à une date donnée et d'y lire l'heure du lever et du coucher du Soleil.
En supplément on obtiendra ces heures avec celle du passage au méridien, en tenant compte de la longitude du lieu avec toute la précision possible.
Les heures de lever et de coucher du Soleil sont des notions assez complexes, par exemple on distingue l'aube nautique, astronomique, civile,et puis l'aurore lorsque le sommet du disque solaire apparaît à l'horizon. Pour le calcul il faut tenir compte aussi de la réfraction atmosphérique. Les calculs sont délicats, les auteurs les ont menés avec xint de Jean-François Burnol.
En attendant une version complète, voici une image et un pdf interactif réalisé avec le package animate d'Alexander Grahn, où l'on peut faire tourner, indépendamment l'un de l'autre l’écliptique et l'alidade afin de déterminer les heures de lever et du coucher du Soleil pour une latitude donnée, celle qu'on aura donnée à la compilation du fichier.
Le pdf avec la double animation :
http://manuel.luque.free.fr/heliolabe-double-animation/heliolabe-double-animation.pdf
Tous les fichiers nécessaires à la compilation sont ici :
http://manuel.luque.free.fr/heliolabe-double-animation/heliolabe-double-animation.zip
ou : Héliolabe double animation
vous les retrouverez sur la page de Jean-Michel Sarlat qui est l'auteur de la mise en scène(fichiers eps, PDFmark etc.) qui rendent la création de cette animation 2x360 images ultra-rapide avec un pdf très léger ! Un travail de professionnel !
https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/#/xint-meeus/heliolabe
https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/docs/heliolabe/heliolabe2/
Une double animation avec des curseurs, l'un pour l'écliptique et le second pour l'alidade, réalisée par Jean-Michel Sarlat, une merveille !
https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/images/xint-meeus/animations/anim003/
Gilg Jürgen a réalisé un animation au format SVG "Comment utiliser l’héliolabe" :
https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/images/xint-meeus/animations/anim002/
Une double animation, mais sans possibilité d'intervenir, alidade et écliptique tournent doucement en sens inverse l'un de l'autre, un effet hypnotique, apaisant...
https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/images/xint-meeus/animations/anim003/index1.html
1 juillet 2021 : Voici une version de la double animation de l'héliolabe proposée par Alexander Grahn. Elle utilise les mêmes éléments que celle de Jean-Michel, mais l'en-tête du fichier :
\makeatletter
\def\tympan {
\pst@killglue\begingroup\init@pscode%
etc.
qui peut paraître un peu absconse aux non-initiés disparaît au profit que quelques lignes plus simples comme :
\xsbox{Tympan}{\includegraphics{tympan}}%
grâce au package xsavebox dont Alexander est l'auteur.
Les fichiers heliolabe-animate-2.tex et heliolabe-animate-2.pdf ont été inclus dans l'archive référencée un peu plus haut.
Les fichiers à compiler sont dans l'archive :
http://manuel.luque.free.fr/Mars-Saros/Terre-Mars-Soleil-2017-2020.zip
ou
Représentations et animations de mouvement apparent du Soleil et de Mars dans le repère géocentrique avec mise en évidence des oppositions de Mars
opposition du 27 juillet 2018 à 5h13
opposition du 13 octobre 2020 23h25
Représentations et animations de mouvement de la Terre et de Mars dans le repère héliocentrique avec mise en évidence des oppositions de Mars.
Les données ont été prises sur :
