PStricks : applications: février 2021

vendredi 26 février 2021

Polynômes cubiques plaisants

Peut-être connaissez-vous déjà les ``polynômes cubiques plaisants'', qui sont des polynômes très particuliers : polynômes cubiques à coefficients entiers dont les racines sont des entiers et dont les dérivées première et seconde ont également des racines entières.

En voici une étude originale et particulièrement approfondie dans le document intitulé :

Nice cubic polynomials: symmetry and arithmetic of the Lagrange resolvent

dont les auteurs sont Jean-François Burnol et Jürgen Gilg. En voici la présentation que les auteurs ont écrite( les schémas ont été réalisés avec PSTricks).

Les fichiers sont téléchargeables ici :

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/NiceCubicPolynomials.zip

Polynômes cubiques plaisants

http://melusine.eu.org/syracuse/G/xint-polexpr

On cherche la description complète des polynômes de degré 3
$P = (X-x_0)(X-x_1)(X-x_2)$
tel que $P$ et $P'$ ont toutes leurs racines rationnelles. On dit alors que $P$ est un polynôme (cubique) « plaisant ». Ce problème a été résolu il y a longtemps (Chapple 1960, Zuser 1963) mais dès le degré 4 n'est de nos jours pas complètement compris.
Le texte de J.-F.~B. et J.~G. montre que $P$ est plaisant si et seulement si la « résolvante de Lagrange »
$y = x_0 + x_1 j + x_2 j^2$
est, modulo l'action de $\mathbb{Q}^*$ par multiplication, un carré dans $\mathbb{Q}(j)$
(on a posé $j = \mathrm{exp}(2\pi i/3)$ ).

La résolvante de Lagrange $y$ dans le plan complexe a l'ambiguïté du choix de l'ordre des racines: le texte explique (on suppose ici les racines réelles) que ceci correspond à une orbite (de cardinalité $6$ si les racines sont distinctes) sous l'action du groupe des symétries du triangle équilatéral de sommets $1$ , $j$ , $j^2$ .

Il est important que dans la condition énoncée ci-dessus pour que $P$ soit plaisant, on considère $y$ seulement modulo l'action multiplicative de $\mathbb{Q}^*$ : non seulement parce que par exemple multiplier par 5 les 3 racines ne modifie certainement pas le fait d'être plaisant pour $P$ , tandis que 5 n'est pas un carré dans $\mathbb{Q}(j)$ , mais aussi parce que remplacer $x_0$ , $x_1$ , $x_2$ par $-x_0$ , $-x_1$ , $-x_2$ ne modifie pas non plus le fait d'être plaisant, mais que $-1$ n'est pas un carré dans $\mathbb{Q}(j)$ .

D'une manière générale, on peut appliquer une transformation affine aux racines et donc toujours supposer que $P=X(X-a)(X-1)$ , et si l'on regarde alors ce que signifie pour $y = 1 + aj$ d'être un carré dans $\mathbb{Q}(j)$ , modulo $\mathbb{Q}^*$ , on obtient une paramétrisation de la forme $a = (w^2-2w)/(w^2-1)$ , $w$ rationnel.

Ceci peut se reformuler de plusieurs manières par exemple que les $(X-u^2)(X-2uv)(X-v^2)$ pour $u$ et $v$ rationnels donnent toutes les solutions, à transformation affine des racines près. Pour des racines soient entières on prend $u$ et $v$ entiers et on autorise encore un facteur, en particulier il faut parfois multiplier par 3 les racines de $P$ pour que celles de $P'$ soient entières.

Dans le contexte rationnel, le texte explique qu'avec la formule $a =(w^2-2w)/(w^2-1)$ il y a 12 valeurs de $w$ qui donnent des $X(X-a)(X-1)$ équivalents modulo les transformations affines des racines (en en maintenant une en $0$ et une autre en $1$ ). Ceci s'exprime par 12 transformations homographiques de $w$ qui donnent une action du groupe diédral $D_{12}$ de cardinalité 12. Le texte explique que géométriquement ce $D_{12}$ est à voir comme le quotient $D_{24}/\{\pm e\}$ du groupe des symétries du dodécagone par son centre.

Le texte diffère des approches trouvées dans les références bibliographiques non seulement par l'intervention des groupes diédraux, mais aussi parce que les approches habituelles se contentent de ramener le problème à celui des solutions rationnelles de l'équation $a^2 -a + 1 = d^2$ , ou de manière équivalente, des solutions rationnelles à l'équation $a^2 - ab + b^2 = 1$ , mais ne déterminent pas les conditions d'unicité dans les paramétrisations obtenues.

Par exemple ici, une condition d'unicité dans le cas rationnel est $0<w<2-\sqrt{3}$ , pour les polynômes avec trois racines distinctes, prises à équivalence près sous les transformations affines.

Figure 1

Racines de

$X(X-3)(X-8)$ et mise en évidence du niveau

$\frac13=\mathrm{PGCD}(\frac43,3,6,8)$ (qui est

$\mathrm{PGCD}(4,9,18,24)/3$ ).

Figure 2

L'application $\mapsto a=\frac{w^2-2w}{w^2-1}$

Les points marqués correspondent à douze valeurs de

$w$ , qui sont une orbite du groupe diédral

$D_{12}$ (cf. la légende de la figure 4 pour les explications), à partir de

$w=\frac15$ (qui donne

$a=\frac38$ ).
Les deux valeurs

$w_1$ et

$w_2$ de même image

$a$ vérifient

$s=\frac{w_1+w_2}2 = (1 -a)^{-1}$ , donc

$a = \frac{s-1}s$ et le graphe en est donné en vert. Le fait
que

$w\mapsto\frac{w-2}{2w-1}$ échange

$w_1$ and

$w_2$ n'est pas représenté.

Figure 3

L'homographie cyclique d'ordre six

$f(w)=\frac{2w-1}{w+1}$ et deux de ses orbites.

Ensemble elles forment une orbite de l'action d'un groupe d'homographies isomorphe à

$D_{12}$ (voir la légende de la figure 4) et ces douze valeurs de

$w$ sont celles telles que

$X(X-1)(X-a(w))$ sont dans la même classe d'équivalence (permutation des racines, transformation affine des racines) de

$X(X-3)(X-8)$ .
On a indiqué l'axe de symétrie correspond à l'invariance du graphe sous

$(x,y)\mapsto (1-y,1-x)$ , ce qui signifie que

$1-w=f(1-f(w))$ . Avec

$\sigma(w)=1-w$ , ceci correspond à

$\sigma=f\sigma f$ , ou encore

$(f\sigma)^2=\mathrm{Id}$ . Plus généralement,

$\{\sigma, f\sigma, f^2\sigma, f^3\sigma, f^4\sigma, f^5\sigma\}$ donne tous les éléments d'ordre

$2$ de

$D_{12}$ , excepté l'élément central non trivial.

Figure 4

Réseau hexagonal dans le plan complexe et orbites du groupe diédral de l'hexagone

L'application

$w\mapsto a(w) = \frac{w^2-2w}{w^2-1}$ qui paramétrise les polynômes cubiques « plaisants » est simplement l'élévation au carré, appliquée à

$\mathbb{Q}(j)$ , projectivisée vers le quotient

$\mathbb{Q}(j)/\mathbb{Q}^*$ .

D'un point

$W$ dans le plan complexe, hors des lignes de symétrie de l'hexagone des racines sixièmes de l'unité, six points sont obtenus par l'action des symérties

$D_6$ du triangle équilatéral des racines cubiques de l'unité; et douze points par l'action du groupe

$D_{12}$ des symétries de l'hexagone, qui contient

$z\mapsto -z$ . La projection centrale de l'origine sur la droite

$1+\mathbb{R} j$ donne alors

$12/2=6$ points

$1+wj$ (ils sont distincts). Élever au carré

$1+wj$ (ou les points de la

$W$ -orbite) dans le plan complexe et projeter donne

$6$ points

$1+aj$ (ils sont distincts). Si

$w$ est rationnel alors les

$a$ le sont aussi (

$1+aj = [(\sigma(1+wj))^2]$ ,

$z\mapsto [z]$ est la projection,

$\sigma\in D_{12}$ ).

La figure est avec

$w=\frac15$ ,qui donne

$a=\frac38$ .

Une autre orbite sous

$D_{12}$ dans le plan complexe est obtenue de la première par une rotation de

$90$ degrés suivie d'une homothétie de rapport

$\sqrt 3$ , qui remplace

$W$ par le point

$W'$ indiqué. Donc après projection nous avons en tout

$12$ valeurs de

$w$ . Si on élève au carré, avant de projeter, on obtient

$6$ points sur la droite, les mêmes que précédemment (

$(i\sqrt 3 z)^2 = -3z^2$ donne la même projection que

$z^2$ ).
Cela signifie au total qu'il y a douze

$w\in\mathbb{Q}$ donnant les six

$a$ d'une orbite de l'action de

$D_6$ sur

$1+\mathbb{Q} j\cup\{\infty\}$ .

Les douze points

$1+wj$ sur la droite sont l'orbite d'une action projective sur

$1+\mathbb{Q} j$ de

$D_{24}/\{\pm\mathrm{Id}\}$ avec

$D_{24}$ le groupe des symétries du dodécagone.

L'action dans le plan de

$D_{24}$ (qui ajoute

$z\mapsto iz$ à

$D_{12}$ ) ne laisse pas stable

$\mathbb{Q}(j)$ car

$i\notin\mathbb{Q}(j)$ . Mais

$i\sqrt3\in\mathbb{Q}(j)$ , donc l'action projective induite sur

$1+\mathbb{R}j\cup\{\infty\}$ laisse stable

$1+\mathbb{Q}j\cup\{\infty\}$ .

Le secteur ombragé d'angle

$30^\circ$ est un domaine fondamental pour l'action of

$D_{12}$ sur le plan, et sa moitié inférieure d'angle d'ouverture

$15^\circ$ un domaine fondamental pour

$D_{24}$ . Sur la droite

$1+wj$ cela correspond à la restriction

$0<w<2-\sqrt3$ (car on exclut les points venant de l'intersection de la droite avec les axes de symétrie).

Bonus

Dans le cas d'une équation cubique à coefficients réels $P = 0$ avec trois racines, celles-ci sont les abscisses des sommets d'un triangle équilatéral dont le rayon est égal à la distance horizontale entre les deux extrema locaux du graphe de la fonction polynomiale; l'animation le met en évidence en faisant varier le second terme de l'équation $P = u$ , ce qui correspond à intersecter le graphe avec une droite horizontale.

Une animation au format SVG est accessible sur le lien :

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/animcuberoots.html

Les fichiers sources sont dans l'archive .zip indiquée au début. Les animations ont été créées avec le package animate d'Alexander Grahn.

Une animation complémentaire (de Jürgen Gilg) en rapport avec la figure 4, au format SVG est visible ici :

http://www.le-gilgomat.de/NiceCubics.html

http://manuel.luque.free.fr/NiceCubicPolynomials/animfig4.html

Les explications sont sur la première animation, le fichier source a été inclus dans l'archive .zip.

mardi 23 février 2021

Coordonnées sphériques avec PSTricks

Cette représentation des coordonnées sphériques en 3D est due à l'initiative d'Antonio Ferriz.

Elle a nécessité l'utilisation du package pst-solides3d et l'ajout de 2 nouveaux objets meridian et parallel.

Pour l'épaisseur et la couleur des méridiens et des parallèles ce sont les options usuelles de PSTricks qui sont utilisées (linecolor= et linewidth=), pour le dessin en pointillés de la partie cachée de ces lignes, c'est l'option visibility de pst-solides3d.

On n'est pas obligé de représenter la sphère, le dessin des parallèles et méridiens en donnent une image, mais il est possible de la représenter avec le booléen [showSphere].

Les fichiers sont dans l'archive .zip téléchargeable ici :

http://manuel.luque.free.fr/psCoorSph/psSphericalCoordinates.zip

Coordonnées Sphériques

Voici deux images possibles obtenues avec la commande :

\psSphericalCoordinates{longitude}{latitude}

Il est possible d'utiliser conjointement pst-solides3d et https://ctan.org/pkg/pst-geo :

https://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-solides3d/bonus/

à condition de respecter les correspondances entre les options de 2 packages :

On obtient par exemple, l'image suivante :

Le fichier est inclus dans l'archive .zip ainsi que le dossier data (données cartographiques)

dimanche 14 février 2021

Oscillations verticales d’un système formé de 2 masses et 2 ressorts

Vous trouverez la documentation et les références cet article dans l'archive .zip, téléchargeable ici :

http://manuel.luque.free.fr/psDoubleSpringMass/psDoubleSpringMass.zip

psDoubleSpringMass

La commande qui permet de réaliser des animations utilise, outre les packages habituels de PSTricks, les packages :

- https://ctan.org/pkg/pst-ode

- https://ctan.org/pkg/animate

tous deux d'Alexander Grahn,

et une autre version sur le même thème que celui de cette page :

http://pstricks.blogspot.com/2014/03/illustrations-avec-pstricks-du.html

Voici 3 animations obtenues avec la commande \psDoubleSpringMass[options] :

vendredi 12 février 2021

Le cercle de Carlyle avec PSTricks et animate

C'est une illustration du cercle de Carlyle réalisée par Jürgen Gilg avec PSTricks et animate

Ce cercle est abondamment documenté sur internet (voir par exemple :

https://en.wikipedia.org/wiki/Carlyle_circle).

On peut télécharger les fichiers de Jürgen ici :

http://manuel.luque.free.fr/Carlyle-Circle/Carlyle-Circle.zip

Cercle de Carlyle
Voici quelques explications essentielles à la compréhension des animations ci-dessous, extraites de la documentation.

C'est une méthode géométrique pour trouver les racines d'une équation quadratique.

On considère un polynôme normalisé de degré $2$ :
$\begin{equation*} P(x)=x^2-px+q \end{equation*}$
Les points : $C_1(0,1)$ et $C_2(p,q)$ -- définissent le diamètre du cercle de \textsc{Carlyle}.

Coordonnées du centre du cercle (milieu du segment de $[C_1C_2]$ : $M(\frac{p}{2},\frac{1+q}{2})$

Rayon du cercle : $r=\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q-1}{2}\right)^2}$

Équation du cercle :
$\begin{equation*} C:\,\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1+q}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q-1}{2}\right)^2 \end{equation*}$
Les racines $x_1$ , $x_2$ de l'équation $x^2-px+q=0$ , sont les abscisses des points d'intersection du cercle avec l'axe $x$ .

Alors on fait $y=0$ :
$\begin{align*} \left(x-\frac{p}{2}\right)^2+\left(0-\frac{1+q}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q-1}{2}\right)^2\\ x^2-px+\frac{p^2}{4}+\frac{1+2q+q^2}{4}&=\frac{p^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}\\ x^2-px+q&=0 \end{align*}$
Ce sont aussi les abscisses des points d'intersection de la parabole d'équation $y=x^2-px+q$ avec l'axe des abscisses.

Deux animations pour illustrer la propriété du cercle de Carlyle.

mercredi 3 février 2021

Plus vite que la pesanteur

La revue Pour la Science n◦434 - Décembre 2013, contient un article intitulé
"Tomber plus vite qu’en chute libre" dans lequel les auteurs Jean-Michel Courty et Édouard Kierlik décrivent 3 expériences illustrant le thème : chute verticale d’un ressort à boudin, chute simultanée d’une planche en rotation par une extrémité autour d’un axe horizontal et d’une bille en acier, chute d’une échelle à montants.
C’est la deuxième qui est illustrée dans cette page.

Parmi les auteurs ayant réalisé et publié cette expérience, une des plus illustrée est celle réalisée par Michael Vollmer et Klaus-Peter Möllmann. L'article est intitulé "Faster than g, revisited with high-speed imaging" et a été publié dans "European Journal of Physics" :

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/33/5/1277

L'article de Aljoša Erman est aussi très intéressant :

http://mafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2007_2008/Faster_than_gravity.pdf

L'archive(zip) contient 3 documents aux formats .tex (que vous pourrez éventuellement compiler) et .pdf.

http://manuel.luque.free.fr/FasterThanG/faster-than-g.zip

ou sur Drive :

Faster-Than-Gravity

- faster-than-gravity-theory : contient l'étude théorique du phénomène.
- psFasterThanG-animate : une animation incluse dans le pdf grâce au package animate.
- psFasterThanG-gif : le fichier pour créer les images en vue d'un Gif animé, avec l'option [export] du package animate.

Ces animations, sont mises en œuvre avec la macro \psFasterThanB{angle en degrés}{nombre d'images} dont les arguments peuvent prendre les valeurs suivantes :
111 = nombre d'images pour 35.26 degrés
115 = nombre d'images pour 30 degrés
20 = nombre d'images pour 25 degrés

Le nombre d'images est à ajuster (ou à calculer) pour que la bille retombe en fin de course sur la planche.

Pour les animations, les packages pst-ode et animate d'Alexander Grahn ont été utilisés.

https://ctan.org/pkg/animate

https://ctan.org/pkg/pst-ode

Pour le calcul des intégrales (elliptique ou autre) c'est la macro postscript (SIMPSON) de Dominique Rodriguez(l'auteur de pst-euclid)) qui a permis le calcul.

8 février 2021 : Alexander Grahn qui a eu la gentillesse de lire cet article, fait la remarque qu'on peut utiliser le package pst-ode pour calculer la durée de chute de la tige :

``Pour la durée de chute, c'est la méthode de Simpson que vous avez choisie pour calculer l'intégrale définie, Eq. (2). Cependant, l'intégrale définie peut aussi être traitée comme une équation différentielle, et donc être calculée avec la commande \pstODEsolve. Il suffit de mettre la condition initiale (limite
inférieure) à zéro:

%durée de la chute
\pstODEsolve[algebraicAll]{T1}{Coeff2*y[0]}{a1}{Pi/2}{2}{0}{1/sqrt(1-k2*sin(t)^2)}%
\pstVerb{/T1 T1 exch pop def}% supprimer cond. initiale."

Le code est ainsi allégée de la macro (SIMPSON).

L'archive zip contient la version d'Alexander Grahn (psFasterThanG-gif-ode.tex) à compiler.

Le rapporteur a été dessiné par Dominique Rodriguez.

https://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/rapporteurs/

2 Gif's

Angle initial =35,26 degrés

Angle initial = 25 degrés