L'héliolabe avec xint et PSTricks

 L'héliolabe est un petit appareil cousin de l'astrolabe. Il est dédié au Soleil et permet de réaliser plusieurs mesures concernant cet astre à une date donnée :
- l'heure du lever et du coucher, du passage au méridien
- la déclinaison
et il permet bien d'autres observations qui sont décrites dans l'article des cahiers de Clairaut (revue du comité de liaison enseignants-astronomes).

(Cahiers Clairaut n°18)

Cet article décrit la procédure à suivre permettant de calculer et construire un héliolabe pour une latitude donnée.
Le projet de Jean-Michel Sarlat et Jürgen Gilg a consisté à calculer et dessiner un héliolabe valable pour toute latitude, permettant d'afficher l'instrument à une date donnée et d'y lire l'heure du lever et du coucher du Soleil.
En supplément on obtiendra ces heures avec celle du passage au méridien, en tenant compte de la longitude du lieu avec toute la précision possible.
Les heures de lever et de coucher du Soleil sont des notions assez complexes, par exemple on distingue l'aube nautique, astronomique, civile,et puis l'aurore lorsque le sommet du disque solaire apparaît à l'horizon. Pour le calcul il faut tenir compte aussi de la réfraction atmosphérique. Les calculs sont délicats, les auteurs les ont menés avec xint de Jean-François Burnol.
En attendant une version complète, voici une image et un pdf interactif réalisé avec le package animate d'Alexander Grahn, où l'on peut faire tourner, indépendamment l'un de l'autre l’écliptique et l'alidade afin de déterminer les heures de lever et du coucher du Soleil pour une latitude donnée, celle qu'on aura donnée à la compilation du fichier.

 

Le pdf avec la double animation :

http://manuel.luque.free.fr/heliolabe-double-animation/heliolabe-double-animation.pdf

Tous les fichiers nécessaires à la compilation sont ici :

http://manuel.luque.free.fr/heliolabe-double-animation/heliolabe-double-animation.zip

ou : Héliolabe double animation

vous les retrouverez sur la page de Jean-Michel Sarlat qui est l'auteur de la mise en scène(fichiers eps, PDFmark etc.) qui rendent la création de cette animation 2x360 images ultra-rapide avec un pdf très léger ! Un travail de professionnel !

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/#/xint-meeus/heliolabe

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/docs/heliolabe/heliolabe2/ 

Une double animation avec des curseurs, l'un pour l'écliptique et le second pour l'alidade, réalisée par Jean-Michel Sarlat, une merveille !

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/images/xint-meeus/animations/anim003/ 

Gilg Jürgen a réalisé un animation au format SVG  "Comment utiliser l’héliolabe" :

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/images/xint-meeus/animations/anim002/

Une double animation, mais sans possibilité d'intervenir, alidade et écliptique tournent doucement en sens inverse l'un de l'autre, un effet hypnotique, apaisant...

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/images/xint-meeus/animations/anim003/index1.html
 

 1 juillet 2021 : Voici une version de la double animation de l'héliolabe proposée par Alexander Grahn. Elle utilise les mêmes éléments que celle de Jean-Michel, mais l'en-tête du fichier :

\makeatletter
\def\tympan {
 \pst@killglue\begingroup\init@pscode%

etc.

qui peut paraître un peu absconse aux non-initiés disparaît au profit que quelques lignes plus simples comme :

\xsbox{Tympan}{\includegraphics{tympan}}%

grâce au package xsavebox dont Alexander est l'auteur.

Les fichiers heliolabe-animate-2.tex et  heliolabe-animate-2.pdf ont été inclus dans l'archive référencée un peu plus haut.

Les oppositions de Mars (période 2017-2020) avec PSTricks

Les fichiers à compiler sont dans l'archive  :

 http://manuel.luque.free.fr/Mars-Saros/Terre-Mars-Soleil-2017-2020.zip

ou

Terre-Mars-Soleil-2017-2020 

Représentations et animations de mouvement apparent du Soleil et de Mars dans le repère géocentrique avec mise en évidence des oppositions de Mars

opposition du 27 juillet 2018 à 5h13

 opposition du 13 octobre 2020 23h25

Représentations et animations de mouvement de la Terre et de Mars dans le repère héliocentrique avec mise en évidence des oppositions de Mars.

Les données ont été prises sur :

http://vo.imcce.fr/webservices/miriade/?forms

Construction de l’orbite de Hill avec xint

Jean-Michel Sarlat s’est attaché à la résolution numérique d’un problème de mécanique céleste ardu. Pour une présentation du problème, je vais prendre dans le livre de V.Béletski : « Essais sur le mouvement des corps cosmiques »(Éditions Mir Moscou 1977), le cinquième essai.

 « Le problème du vol spatial vers la Lune peut-être examiné dans le cadre du problème restreint des trois corps. Soit $m_1$ la masse de la Terre et $m_2$ celle de la Lune ; l'attraction de ces deux masses provoque le déplacement du vaisseau spatial. de masse $m_0$ si petite devant $m_2$ et $m_2$ qu'on peut négliger l'attraction exercée par le vaisseau sur la Lune et la Terre. Dans ces conditions la Lune et la Terre parcourent des trajectoires képlériennes connues autour de leur centre de masse commun. Supposons que ce soit des trajectoires circulaires, auquel cas le problème des trois corps est appelé circulaire. »

Il y a diverses approches du problème, de sa mise en équations, Jean-Michel en a choisi une très synthétique, qu'il a parfaitement menée à son terme en mettant au point la méthode de résolution numérique de Runge-Kutta avec xint. de Jean-François Burnol.

Dans des conditions initiales très particulières, le vaisseau décrit une orbite «fascinante», la voici, après avoir été calculée avec xint et dessinée avec PSTricks:

 Les fichiers de Jean-Michel sont accessibles ici :

 https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/docs/fragments/f002/

Fractions continues avec xintcfrac et astronomie

Les fichiers sont ici :

http://manuel.luque.free.fr/Mars-Saros/oppositions-rapprochees-Mars-Saros.zip

 ou 

Mars-Saros

xintcfrac est un module de https://www.ctan.org/pkg/xint  de Jean-François Burnol.

  Le saros

Sur le saros on peut lire le très bel article de Wikipedia :

 https://fr.wikipedia.org/wiki/Saros

Cependant à mon avis, le plus beau texte et le plus complet sur le sujet est celui écrit par Yakov Perelman(1882 - 1942) dans son livre : «L’astronomie récréative» dont la traduction française est parue en 1958 aux éditions en langues étrangères de Moscou. Il s’intitule “Pourquoi les éclipses se répètent-elles tous les 18 ans ?”
Comme ce livre est (en anglais) dans le domaine public, je me permets d’en extraire une grande partie du chapitre qui nous intéresse. Tout le texte suivant est donc de Yakov Perelman.

1. Le mois «synodique» ; intervalle de temps pendant lequel la Lune fait sur son orbite une révolution complète si on observe ce mouvement depuis le Soleil. C’est le temps s’écoulant entre deux phases égales de la Lune, par exemple, une nouvelle Lune et une autre nouvelle Lune. Il est égal à 29,5306 jours(29,530588853).
2. Le mois «draconitique» : intervalle de temps après lequel la Lune revient au même "nœud" de son orbite. (le nœud est l’intersection de l’orbite lunaire avec le plan de l’orbite terrestre). La durée d’un tel mois est de 27,2122 jours (27,212220817). Les éclipses, comme il est facile à comprendre, n’ont lieu qu’aux instants où la pleine ou de la nouvelle Lune se trouve dans un de ses nœuds : le centre de la Lune se trouve alors sur une même droite avec le centre de la Terre et du Soleil. Il est clair qu’une éclipse ne se reproduit qu’après un intervalle de temps comprenant un nombre entier de mois «synodiques» et «draconitiques», ceci puisque les conditions dans lesquelles ont lieu les éclipses se répètent alors.
Comment trouver ces intervalles de temps ? Pour cela il faut résoudre l’équation : 

\[ 29.5306x=27.2122y\]
où $x$ et $y$ sont des nombres entiers. Écrivons cette équations sous forme d'une proportion :
\[\frac{x}{y}=\frac{272122}{295306}\]
et nous verrons que les solutions exactes minima de cette équation sont :
\[x=272122,\quad y=295306\]
On obtient une énorme période comprenant des dizaines de milliers d'années et pratiquement tout à fait inutile. Les astronomes de l'antiquité se contentaient d'une solution approximative. Ce sont les fractions continues qui fournissent un moyen facile de de trouver dans ce cas l'approximation nécessaire.

\[
\frac{295306}{272122}=1+\cfrac{1}{11+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{17+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{7}}}}}}}}}
\]
\[
1\rightarrow\frac{12}{11}\rightarrow\frac{13}{12}\rightarrow\frac{38}{35}\rightarrow\frac{51}{47}\rightarrow\frac{242}{223}\rightarrow\frac{1019}{939}\rightarrow\frac{17568}{16186}\rightarrow\frac{18584}{17125}\rightarrow\frac{147653}{136061}
\]

La cinquième fraction de cette série donne une précision suffisante. Si nous nous arrêtons là, c'est-à-dire si nous prenons $x=223$ et $y=242$, la période de répétition des éclipses sera égale à 223 mois synodiques ou à 242 mois draconitiques. Cela fait 6585 1/3 jours, soit 18 ans 11,3 jours (ou 10,3 jours) selon que cette période comprend 4 ou 5 années bissextiles.

Telle est l'origine du saros. Maintenant nous pouvons nous rendre compte du degré de précision  avec lequel on peut prédire des éclipses avec son aide. Nous voyons  qu'en prenant le saros égal à 18 ans et 10 jours, on rejette 0,3 jour. Cela fait que les éclipses prévues en cette période plus courte commenceront à une heure différente du jour que la fois précédente (environ huit heures plus tard). Et c'est seulement dans une période égale à trois saros précis que les éclipses se répéteront à la même heure du jour. De plus le saros ne tient pas compte des variations de la distance séparant la Lune de la Terre et la Terre du Soleil, variations qui ont leur périodicité propre ; l'éclipse de Soleil sera totale ou partielle en fonction de ces distances. Voilà pourquoi si le saros permet de prédire une éclipse à un jour déterminé, il ne permet pas d'affirmer que ce sera une éclipse totale, partielle ou annulaire. Il ne permet pas non plus de connaître s'il sera possible de l'observer du même lieu que précédemment.

 Les oppositions rapprochées

Dans son livre «L’astronomie récréative» Yakov Perelman, montre et illustre que les époques d’éclat maximal de Mars et de son rapprochement maximum de la Terre se répètent environ tous les 15 ans, voici son texte :
La Terre fait un tour complet des son orbite en 365¼ jours, Mars en 687 jours. Si les deux planètes se sont rapprochées à une distance minimum, elles doivent se rapprocher à nouveau après un intervalle de temps contenant un nombre entier des années terrestres et martiennes. Autrement dit, il nous faut résoudre en nombres entiers l’équation :

 $x=\dfrac{687}{365.25}y$
\[
\frac{687}{365.25}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{11}}}}}}
\]
\[
1\rightarrow2\rightarrow\frac{15}{8}\rightarrow\frac{32}{17}\rightarrow\frac{47}{25}\rightarrow\frac{79}{42}\rightarrow\frac{916}{487}
\]

En prenant l'approximation $\dfrac{15}{8}$ nous en déduisons que 15 années terrestres sont égales à 8 années martiennes. Il en résulte que les époques de rapprochement maximal de Mars doivent se répéter tous les 15 ans.

Voici les oppositions de Mars de 2018 à 2033.

La photo de Mars est de Damian Peach prise le 30 octobre 2020 :

https://blogs.futura-sciences.com/feldmann/2020/11/08/voici-la-plus-belle-image-de-la-planete-mars-jamais-realisee/ 

 

Le problème des sommes de trois cubes

Dans un article de la revue Pour la Science  :

https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/les-secrets-du-nombre-42-18744.php 

Jean-Paul Delahaye disserte de façon amusante et  instructive sur le nombre 42 et son article se poursuit avec :
"Du nombre 42 au problème des sommes de trois cubes !"

Oui, si vous lisez l'article vous verrez que 42 est égal à la somme des cubes de 3 nombres ! Mais pas n'importe quels nombres !

$ 42=(– 80538738 812075 974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123 297335 631^3$

Pour le vérifier, j'ai utilisé xintexpr : https://www.ctan.org/pkg/xintexpr  de Jean-François Burnol et  ÇA MARCHE formidablement avec une rapidité de calcul époustouflante !!!

J'ai testé avec d'autres nombres donnés par l'article de Jean-Paul Delahaye et xintexpr passe brillamment le test à chaque fois ! Il n'y a aucune différence avec Mathematica, l'avantage c'est que les calculs sont faits in situ et qu'avec LaTeX on peut en personnaliser l'affichage et la représentation.

Le fichier revu par Jean-François Burnol est ici (il y a deux fichiers avec des variantes)   :

http://manuel.luque.free.fr/Mars-Saros/somme-de-trois-cubes.zip

 

Simulation de l'éclipse partielle du 10 juin

En complément de "l'éclipse solaire du 10 juin 2021 avec xint" de Jean-Michel Sarlat :

 http://pstricks.blogspot.com/2021/06/leclipse-solaire-du-10-juin-2021-avec.html

voici une simulation de l'éclipse partielle :
Les fichiers(avec les instructions pour la compilation) sont ici :

http://manuel.luque.free.fr/milkyway/simulation-eclipse-partielle.zip 

Pierre Albaladejo et Jean Gachassin

 C'est un exercice donné en 1998 à une classe de terminale du Lycée Aristide Briand d'Évreux et qui m'a été réclamé récemment par un ancien élève. Pour le schéma j'ai utilisé le package pst-3d de Timothy Van Zandt. J'ai rajouté les photos de ces deux exceptionnels joueurs.

Pour les photos, je me suis servi d'une partie du code que j'avais écrit pour ;

http://pstricks.blogspot.com/2019/07/cryptographie-visuelle-avec-pstricks-3.html

Le fichier source .tex, les données des images et le pdf sont ici :

http://manuel.luque.free.fr/albaladejo-gachassin/albaladejo-gachassin.zip

Une image du pdf ;

 

L'éclipse solaire du 10 juin 2021 avec xint

Les prévisions pour l'éclipse du soleil du 10 juin 2021 calculées avec xint de Jean-François Burnol et illustrées avec PSTricks (Timothy Van Zandt) et ses extensions, par Jean-Michel Sarlat.

La documentation, explications et fichiers sont ici :

 https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/#/xint-meeus/eclipse0621

 Pour le fichier à compiler, utilisez les fichiers de l'archive :

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/docs/zip/2021/

Exemples :
 

Iqaluit est la plus grande ville et la capitale territoriale du territoire canadien du Nunavut.

Vous pourrez comparer ces prévisions avec les calculs des astronomes professionnels de l'Institut de Mécanique Céleste : https://www.imcce.fr/

https://ssp.imcce.fr/forms/solar-eclipses/2021-06-10/local-circumstances#map=15.49/50.640643/3.048739&observer=50.64092008320753/3.0445197951694354 

https://ssp.imcce.fr/forms/solar-eclipses/2021-06-10/local-circumstances#map=9.28/63.6478/-68.5351&observer=63.730091331986415/-68.49501295158962 

pst-caelum version 0.6a

 

 

L'exemple ci-dessus est de Jürgen Gilg, c'est une représentation de la sphère céleste pour un observateur situé un point du globe de longitude 0° et de latitude 47° à la date du 1 juin 2021 à 21h25min.

8 juin 2021 : pst-caelum est composé de couches qui contiennent respectivement :

- les étoiles

- les dessins des constellations (les astérismes)

- le nom abrégé des constellations

- les bordures des constellations

- la voie lactée

- les graduations

- l'horizon

- l'écliptique

- le graticule

Le détail des différentes couches est  à consulter ici ;

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/#/pst-caelum/layers

Jürgen Gilg  a eu l'idée d’utiliser le package ocgx2 d'Alexander Grahn pour visualiser, superposer les différentes couches, on peut voir les étoiles seulement, ajouter le dessin des constellations, leur nom etc. comme le fait l'immense logiciel d’astronomie stellarium ! Une vraie prouesse ! À expérimenter sur cette page :

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/images/pst-caelum/figures/z08/ 

Le package pst-caelum élaboré par Jean-Michel Sarlat est parfaitement utilisable, ses possibilités sont infinies, mais l'emploi des différentes options est très simple, la documentation est en ligne :

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/#/pst-caelum/doc

 Les exemples très nombreux sont sur cette page :

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/images/pst-caelum/figures/

La page principale dédiée à pst-caelum est ici :

https://melusine.eu.org/syracuse/WMS/astronomie/ 

Rendez-vous donc à tous les amateurs d'astronomie, à tous les curieux qui savent apprécier la beauté d'un ciel étoilé  sur la page de Jean-Michel Sarlat.